Страница 59 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

270. а) $a+b$; б) $a-b$; в) $a \cdot b$; г) $a:b$;

д) $(a+b)^2$; е) $(a-b)^2$; ж) $(a+b)^3$; з) $(a-b)^3$;

и) $(a \cdot b)^2$; к) $(a:b)^2$; л) $(a \cdot b)^3$; м) $(a:b)^3$;

н) $a^2+b^2$; о) $a^3+b^3$; п) $a^2-b^2$; р) $a^3-b^3$,

где $a$ и $b$ — натуральные числа.

а) Выражение $a + b$ представляет собой одну из основных арифметических операций — сложение. Результатом этой операции является сумма двух натуральных чисел $a$ и $b$.

Ответ: сумма чисел $a$ и $b$.

б) Выражение $a - b$ представляет собой операцию вычитания, где из числа $a$ вычитается число $b$. Результат называется разностью.

Ответ: разность чисел $a$ и $b$.

в) Выражение $a \cdot b$ представляет собой операцию умножения двух натуральных чисел $a$ и $b$. Результат этой операции называется произведением.

Ответ: произведение чисел $a$ и $b$.

г) Выражение $a : b$ представляет собой операцию деления, где число $a$ (делимое) делится на число $b$ (делитель). Результат называется частным.

Ответ: частное чисел $a$ и $b$.

д) В выражении $(a + b)^2$ сначала выполняется действие в скобках — сложение чисел $a$ и $b$. Затем полученная сумма возводится во вторую степень (в квадрат).

Ответ: квадрат суммы чисел $a$ и $b$.

е) В выражении $(a - b)^2$ сначала выполняется действие в скобках — вычитание числа $b$ из числа $a$. Затем полученная разность возводится в квадрат.

Ответ: квадрат разности чисел $a$ и $b$.

ж) В выражении $(a + b)^3$ сначала находится сумма чисел $a$ и $b$, а затем полученный результат возводится в третью степень (в куб).

Ответ: куб суммы чисел $a$ и $b$.

з) В выражении $(a - b)^3$ сначала находится разность чисел $a$ и $b$, а затем полученный результат возводится в куб.

Ответ: куб разности чисел $a$ и $b$.

и) В выражении $(a \cdot b)^2$ сначала вычисляется произведение чисел $a$ и $b$, после чего результат возводится в квадрат.

Ответ: квадрат произведения чисел $a$ и $b$.

к) В выражении $(a : b)^2$ сначала находится частное от деления числа $a$ на число $b$, а затем результат возводится в квадрат.

Ответ: квадрат частного чисел $a$ и $b$.

л) В выражении $(a \cdot b)^3$ сначала находится произведение чисел $a$ и $b$, а затем полученный результат возводится в куб.

Ответ: куб произведения чисел $a$ и $b$.

м) В выражении $(a : b)^3$ сначала вычисляется частное от деления $a$ на $b$, после чего результат возводится в куб.

Ответ: куб частного чисел $a$ и $b$.

н) В выражении $a^2 + b^2$ сначала каждое из чисел, $a$ и $b$, возводится во вторую степень (в квадрат). Затем полученные квадраты складываются.

Ответ: сумма квадратов чисел $a$ и $b$.

о) В выражении $a^3 + b^3$ сначала каждое из чисел, $a$ и $b$, возводится в третью степень (в куб). Затем полученные кубы складываются.

Ответ: сумма кубов чисел $a$ и $b$.

п) В выражении $a^2 - b^2$ сначала каждое из чисел $a$ и $b$ возводится в квадрат. Затем из квадрата числа $a$ вычитается квадрат числа $b$.

Ответ: разность квадратов чисел $a$ и $b$.

р) В выражении $a^3 - b^3$ сначала каждое из чисел $a$ и $b$ возводится в куб. Затем из куба числа $a$ вычитается куб числа $b$.

Ответ: разность кубов чисел $a$ и $b$.

271. а) $a : (b + c);$

б) $a : b + c;$

в) $a \cdot b - c;$

г) $a \cdot (b - c);$

д) $a \cdot (b - c : d);$

е) $a \cdot b - c : d;$

ж) $a \cdot (b - c) : d;$

з) $(a \cdot b - c) : d;$

и) $a \cdot b + c : d,$

где a, b, c и d — натуральные числа.

а) В выражении $a : (b + c)$ порядок действий следующий:

1. Выполняется действие в скобках (сложение): $b + c$.
2. Выполняется деление: $a$ делится на результат, полученный в скобках.

Ответ: 1) сложение, 2) деление.

б) В выражении $a : b + c$ скобок нет. Деление имеет более высокий приоритет, чем сложение.

1. Выполняется деление: $a : b$.
2. К результату деления прибавляется $c$.

Ответ: 1) деление, 2) сложение.

в) В выражении $a \cdot b - c$ скобок нет. Умножение имеет более высокий приоритет, чем вычитание.

1. Выполняется умножение: $a \cdot b$.
2. Из результата умножения вычитается $c$.

Ответ: 1) умножение, 2) вычитание.

г) В выражении $a \cdot (b - c)$ порядок действий следующий:

1. Выполняется действие в скобках (вычитание): $b - c$.
2. $a$ умножается на результат, полученный в скобках.

Ответ: 1) вычитание, 2) умножение.

д) В выражении $a \cdot (b - c : d)$ сначала выполняются действия в скобках.

1. Внутри скобок деление имеет приоритет над вычитанием, поэтому сначала выполняется деление: $c : d$.
2. Затем выполняется вычитание в скобках: из $b$ вычитается результат деления.
3. В последнюю очередь выполняется умножение: $a$ умножается на результат, полученный в скобках.

Ответ: 1) деление, 2) вычитание, 3) умножение.

е) В выражении $a \cdot b - c : d$ умножение и деление имеют более высокий приоритет, чем вычитание.

1. Выполняется умножение: $a \cdot b$.
2. Выполняется деление: $c : d$.
3. Из результата умножения вычитается результат деления.

Ответ: 1) умножение, 2) деление, 3) вычитание.

ж) В выражении $a \cdot (b - c) : d$ сначала выполняется действие в скобках.

1. Выполняется вычитание в скобках: $b - c$.
2. Далее умножение и деление выполняются по порядку слева направо. Сначала умножение: $a$ умножается на результат из скобок.
3. Затем деление: полученное произведение делится на $d$.

Ответ: 1) вычитание, 2) умножение, 3) деление.

з) В выражении $(a \cdot b - c) : d$ сначала выполняются действия в скобках.

1. Внутри скобок умножение имеет приоритет над вычитанием, поэтому сначала выполняется умножение: $a \cdot b$.
2. Затем выполняется вычитание в скобках: из результата умножения вычитается $c$.
3. В последнюю очередь выполняется деление: результат, полученный в скобках, делится на $d$.

Ответ: 1) умножение, 2) вычитание, 3) деление.

и) В выражении $a \cdot b + c : d$ умножение и деление имеют более высокий приоритет, чем сложение.

1. Выполняется умножение: $a \cdot b$.
2. Выполняется деление: $c : d$.
3. Результаты умножения и деления складываются.

Ответ: 1) умножение, 2) деление, 3) сложение.

272. Запишите и вычислите:

a) сумму чисел:

1) $49 + 51$;

2) $56 + 72$;

б) разность чисел:

1) $59 - 34$;

2) $66 - 42$;

в) сумму квадратов чисел:

1) $7^2 + 2^2$;

2) $9^2 + 7^2$;

г) квадрат суммы чисел:

1) $(9 + 11)^2$;

2) $(6 + 7)^2$;

д) разность квадратов чисел:

1) $5^2 - 4^2$;

2) $6^2 - 2^2$;

е) квадрат разности чисел:

1) $(5 - 3)^2$;

2) $(6 - 4)^2$;

ж) сумму кубов чисел:

1) $4^3 + 3^3$;

2) $5^3 + 2^3$;

з) куб суммы чисел:

1) $(13 + 7)^3$;

2) $(5 + 6)^3$;

и) разность кубов чисел:

1) $4^3 - 3^3$;

2) $5^3 - 1^3$;

к) куб разности чисел:

1) $(49 - 46)^3$;

2) $(56 - 52)^3$;

а) сумму чисел:

1) $49 + 51 = 100$
Ответ: 100

2) $56 + 72 = 128$
Ответ: 128

б) разность чисел:

1) $59 - 34 = 25$
Ответ: 25

2) $66 - 42 = 24$
Ответ: 24

в) сумму квадратов чисел:

1) $7^2 + 2^2 = 49 + 4 = 53$
Ответ: 53

2) $9^2 + 7^2 = 81 + 49 = 130$
Ответ: 130

г) квадрат суммы чисел:

1) $(9 + 11)^2 = 20^2 = 400$
Ответ: 400

2) $(6 + 7)^2 = 13^2 = 169$
Ответ: 169

д) разность квадратов чисел:

1) $5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$
Ответ: 9

2) $6^2 - 2^2 = 36 - 4 = 32$
Ответ: 32

е) квадрат разности чисел:

1) $(5 - 3)^2 = 2^2 = 4$
Ответ: 4

2) $(6 - 4)^2 = 2^2 = 4$
Ответ: 4

ж) сумму кубов чисел:

1) $4^3 + 3^3 = 64 + 27 = 91$
Ответ: 91

2) $5^3 + 2^3 = 125 + 8 = 133$
Ответ: 133

з) куб суммы чисел:

1) $(13 + 7)^3 = 20^3 = 8000$
Ответ: 8000

2) $(5 + 6)^3 = 11^3 = 1331$
Ответ: 1331

и) разность кубов чисел:

1) $4^3 - 3^3 = 64 - 27 = 37$
Ответ: 37

2) $5^3 - 1^3 = 125 - 1 = 124$
Ответ: 124

к) куб разности чисел:

1) $(49 - 46)^3 = 3^3 = 27$
Ответ: 27

2) $(56 - 52)^3 = 4^3 = 64$
Ответ: 64

Вычислите (273, 274).

273. а) $(5+2)^2;$

б) $(9-8)^3;$

в) $5+2^2;$

г) $5^2+2^2;$

д) $9^2-8;$

е) $9^2-8^2.$

а) Согласно порядку выполнения действий, сначала вычисляем выражение в скобках, а затем возводим результат в степень.

$ (5 + 2)^2 = 7^2 = 7 \times 7 = 49 $

Ответ: 49.

б) Сначала выполняем действие в скобках, после чего возводим полученное значение в степень.

$ (9 - 8)^3 = 1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1 $

Ответ: 1.

в) В выражениях без скобок сначала выполняются операции возведения в степень, а затем сложение и вычитание.

$ 5 + 2^2 = 5 + (2 \times 2) = 5 + 4 = 9 $

Ответ: 9.

г) Сначала вычисляем каждую степень по отдельности, а затем складываем результаты.

$ 5^2 + 2^2 = (5 \times 5) + (2 \times 2) = 25 + 4 = 29 $

Ответ: 29.

д) Сначала выполняем операцию возведения в степень, а затем вычитание.

$ 9^2 - 8 = (9 \times 9) - 8 = 81 - 8 = 73 $

Ответ: 73.

е) Сначала вычисляем каждую степень по отдельности, а затем выполняем вычитание.

$ 9^2 - 8^2 = (9 \times 9) - (8 \times 8) = 81 - 64 = 17 $

Ответ: 17.

274. а) $(714 : 7 - 100)^4$;

б) $(824 : 8 - 102)^4$;

В) $(954 : 9 - 636 : 6)^3$;

г) $(758 - 659)^2 : (38 + 61)^2$.

а) $(714 : 7 - 100)^4$

1. Первым действием выполним деление в скобках: $714 : 7 = 102$.

2. Затем выполним вычитание в скобках: $102 - 100 = 2$.

3. Теперь возведем полученный результат в четвертую степень: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Ответ: 16

б) $(824 : 8 - 102)^4$

1. Выполним деление в скобках: $824 : 8 = 103$.

2. Выполним вычитание в скобках: $103 - 102 = 1$.

3. Возведем результат в четвертую степень: $1^4 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: 1

в) $(954 : 9 - 636 : 6)^3$

1. Сначала выполним действия в скобках. По порядку выполняем деления: $954 : 9 = 106$ и $636 : 6 = 106$.

2. Затем выполним вычитание результатов деления: $106 - 106 = 0$.

3. Возведем полученный результат в третью степень: $0^3 = 0$.

Ответ: 0

г) $(758 - 659)^2 : (38 + 61)^2$

1. Сначала выполним действия в каждой из скобок: $758 - 659 = 99$ и $38 + 61 = 99$.

2. Подставим полученные значения в исходное выражение: $99^2 : 99^2$.

3. При делении числа на само себя (если оно не равно нулю) результат равен 1. Таким образом, $99^2 : 99^2 = 1$.

Также можно было использовать свойство частного степеней с одинаковыми показателями: $a^n : b^n = (a : b)^n$. Тогда получаем: $(99 : 99)^2 = 1^2 = 1$.

Ответ: 1

275. Используя четыре цифры 3, знаки арифметических действий и скобки, составьте числовое выражение, равное:

а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 4; е) 5;

ж) 6; з) 7; и) 8; к) 9; л) 10 м) 12.

Решение.

а) $3 + 3 - (3 + 3) = 0$; б) $(3 + 3) : (3 + 3) = 1$.

а) Для получения 0 можно составить следующее выражение: $3 + 3 - (3 + 3) = 6 - 6 = 0$. Ответ: $3 + 3 - (3 + 3) = 0$.

б) Для получения 1 можно составить следующее выражение: $(3 + 3) : (3 + 3) = 6 : 6 = 1$. Ответ: $(3 + 3) : (3 + 3) = 1$.

в) Для получения 2 можно составить следующее выражение: $(3 : 3) + (3 : 3) = 1 + 1 = 2$. Ответ: $(3 : 3) + (3 : 3) = 2$.

г) Для получения 3 можно составить следующее выражение: $(3 \cdot 3 - 3) - 3 = (9 - 3) - 3 = 6 - 3 = 3$. Ответ: $(3 \cdot 3 - 3) - 3 = 3$.

д) Для получения 4 можно составить следующее выражение: $(3 \cdot 3 + 3) : 3 = (9 + 3) : 3 = 12 : 3 = 4$. Ответ: $(3 \cdot 3 + 3) : 3 = 4$.

е) Для получения 5 можно составить следующее выражение: $(3 \cdot 3 - 3) - (3 : 3) = (9 - 3) - 1 = 6 - 1 = 5$. Ответ: $(3 \cdot 3 - 3) - (3 : 3) = 5$.

ж) Для получения 6 можно составить следующее выражение: $3 + 3 + 3 - 3 = 9 - 3 = 6$. Ответ: $3 + 3 + 3 - 3 = 6$.

з) Для получения 7 можно составить следующее выражение: $3 \cdot 3 - 3 + (3 : 3) = 9 - 3 + 1 = 7$. Ответ: $3 \cdot 3 - 3 + (3 : 3) = 7$.

и) Для получения 8 можно составить следующее выражение: $3 + 3 + 3 - (3 : 3) = 9 - 1 = 8$. Ответ: $3 + 3 + 3 - (3 : 3) = 8$.

к) Для получения 9 можно составить следующее выражение: $3 \cdot 3 + 3 - 3 = 9 + 0 = 9$. Ответ: $3 \cdot 3 + 3 - 3 = 9$.

л) Для получения 10 можно составить следующее выражение: $3 + 3 + 3 + (3 : 3) = 9 + 1 = 10$. Ответ: $3 + 3 + 3 + (3 : 3) = 10$.

м) Для получения 12 можно составить следующее выражение: $3 + 3 + 3 + 3 = 12$. Ответ: $3 + 3 + 3 + 3 = 12$.

Найдите другие решения для 0 и 1.

276. Используя четыре цифры 8, знаки арифметических действий и скобки, составьте числовое выражение, равное:

а) 1;

б) 2;

в) 3;

г) 4;

д) 6;

е) 7;

ж) 8;

з) 9;

и) 10.

а) 1

Чтобы получить 1, можно разделить одинаковые выражения друг на друга. Например, можно составить выражение $8 + 8 = 16$ и разделить его само на себя.

$(8 + 8) / (8 + 8) = 16 / 16 = 1$

Ответ: $(8 + 8) / (8 + 8)$

б) 2

Чтобы получить 2, можно сложить две единицы. Каждую единицу можно получить, разделив 8 на 8.

$8 / 8 + 8 / 8 = 1 + 1 = 2$

Ответ: $8 / 8 + 8 / 8$

в) 3

Сумма трех восьмерок равна 24. Если разделить это число на оставшуюся четвертую восьмерку, получится 3.

$(8 + 8 + 8) / 8 = 24 / 8 = 3$

Ответ: $(8 + 8 + 8) / 8$

г) 4

Чтобы получить 4, можно 64 разделить на 16. Число 64 можно получить, умножив $8 * 8$, а число 16 — сложив $8 + 8$.

$(8 * 8) / (8 + 8) = 64 / 16 = 4$

Ответ: $(8 * 8) / (8 + 8)$

д) 6

Чтобы получить 6, можно из 8 вычесть 2. Число 2 можно представить как частное от деления суммы $8+8$ на 8.

$8 - (8 + 8) / 8 = 8 - 16 / 8 = 8 - 2 = 6$

Ответ: $8 - (8 + 8) / 8$

е) 7

Чтобы получить 7, можно 56 разделить на 8. Число 56 можно получить, вычтя 8 из произведения $8*8$.

$(8 * 8 - 8) / 8 = (64 - 8) / 8 = 56 / 8 = 7$

Ответ: $(8 * 8 - 8) / 8$

ж) 8

Чтобы получить 8, можно к 8 прибавить 0. Ноль можно получить, умножив любое число на разность $8 - 8$.

$8 + (8 - 8) * 8 = 8 + 0 * 8 = 8 + 0 = 8$

Ответ: $8 + (8 - 8) * 8$

з) 9

Чтобы получить 9, можно 72 разделить на 8. Число 72 можно получить, прибавив 8 к произведению $8 * 8$.

$(8 * 8 + 8) / 8 = (64 + 8) / 8 = 72 / 8 = 9$

Ответ: $(8 * 8 + 8) / 8$

и) 10

Чтобы получить 10, можно к 8 прибавить 2. Число 2 можно получить из трех восьмерок: $(8+8)/8$.

$8 + (8 + 8) / 8 = 8 + 16 / 8 = 8 + 2 = 10$

Ответ: $8 + (8 + 8) / 8$

Другие решения для 0 и 1

Для 0:

Чтобы получить 0, можно из числа вычесть само себя, или умножить любое выражение на ноль.

Пример 1: $8 - 8 + 8 - 8 = 0$

Пример 2: $(8 - 8) * (8 + 8) = 0 * 16 = 0$

Ответ: $8 - 8 + 8 - 8$; $(8 - 8) * (8 + 8)$

Для 1:

Единицу можно получить, разделив одинаковые выражения друг на друга, или используя арифметические операции с единицей, полученной как $8/8$.

Пример 1: $8 / 8 + 8 - 8 = 1 + 0 = 1$

Пример 2: $(8 + 8 - 8) / 8 = 8 / 8 = 1$

Ответ: $8 / 8 + 8 - 8$; $(8 + 8 - 8) / 8$