Страница 62 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

285. а) Сумма двух чисел 432, первое больше второго на 18. Найдите эти числа.

б) Сумма двух чисел 537, первое меньше второго на 131. Найдите эти числа.

а) Пусть первое число — $x$, а второе — $y$.
Согласно условию, сумма двух чисел равна 432, что можно записать в виде уравнения:
$x + y = 432$
Также известно, что первое число больше второго на 18, что можно записать как:
$x = y + 18$
Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти значение $y$:
$(y + 18) + y = 432$
$2y + 18 = 432$
$2y = 432 - 18$
$2y = 414$
$y = \frac{414}{2}$
$y = 207$
Теперь, когда мы знаем второе число, найдем первое, подставив значение $y$ во второе уравнение:
$x = 207 + 18$
$x = 225$
Таким образом, первое число равно 225, а второе — 207.
Проверим: $225 + 207 = 432$; $225 - 207 = 18$.
Ответ: 225 и 207.

б) Пусть первое число — $x$, а второе — $y$.
Согласно условию, сумма двух чисел равна 537, что можно записать в виде уравнения:
$x + y = 537$
Также известно, что первое число меньше второго на 131, что можно записать как:
$x = y - 131$
Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти значение $y$:
$(y - 131) + y = 537$
$2y - 131 = 537$
$2y = 537 + 131$
$2y = 668$
$y = \frac{668}{2}$
$y = 334$
Теперь, когда мы знаем второе число, найдем первое, подставив значение $y$ во второе уравнение:
$x = 334 - 131$
$x = 203$
Таким образом, первое число равно 203, а второе — 334.
Проверим: $203 + 334 = 537$; $334 - 203 = 131$.
Ответ: 203 и 334.

286. а) Сумма двух чисел равна 96, а разность равна 18. Найдите эти числа.

б) Сумма двух чисел равна 87, а разность равна 19. Найдите эти числа.

в) Сумма двух чисел равна 500, а разность равна 6. Найдите эти числа.

а)

Обозначим искомые числа как $x$ и $y$. Предположим, что $x$ — большее число, а $y$ — меньшее. По условию задачи, их сумма равна 96, а разность равна 18. Составим систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 96 \\ x - y = 18 \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения, чтобы найти $x$:
$(x + y) + (x - y) = 96 + 18$
$2x = 114$
$x = 114 \div 2$
$x = 57$

Теперь, зная значение $x$, подставим его в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$57 + y = 96$
$y = 96 - 57$
$y = 39$

Проверим правильность решения. Сумма чисел: $57 + 39 = 96$. Разность чисел: $57 - 39 = 18$. Оба условия выполняются.

Ответ: 57 и 39.

б)

Обозначим искомые числа как $x$ и $y$ ($x > y$). По условию, их сумма равна 87, а разность равна 19. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 87 \\ x - y = 19 \end{cases} $

Сложим оба уравнения системы:
$(x + y) + (x - y) = 87 + 19$
$2x = 106$
$x = 106 \div 2$
$x = 53$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение:
$53 + y = 87$
$y = 87 - 53$
$y = 34$

Проверка: сумма $53 + 34 = 87$, разность $53 - 34 = 19$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 53 и 34.

в)

Обозначим искомые числа как $x$ и $y$ ($x > y$). Их сумма равна 500, а разность равна 6. Запишем это в виде системы уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 500 \\ x - y = 6 \end{cases} $

Сложим уравнения, чтобы найти $x$:
$(x + y) + (x - y) = 500 + 6$
$2x = 506$
$x = 506 \div 2$
$x = 253$

Подставим значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$253 + y = 500$
$y = 500 - 253$
$y = 247$

Проверка: сумма $253 + 247 = 500$, разность $253 - 247 = 6$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 253 и 247.

287. Из «Арифметики» Л. Н. Толстого.

а) У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец?

б) У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого на 6. Сколько у каждого?

Чтобы найти, сколько овец у каждого мужика, сначала представим, что у них овец поровну. Для этого вычтем из общего количества "лишних" овец, которые есть у одного из них.
1) $35 - 9 = 26$ (овец) — столько овец было бы у двух мужиков вместе, если бы у них было поровну (по меньшему количеству).
Теперь разделим это количество на два, чтобы узнать, сколько овец у того мужика, у которого их меньше.
2) $26 \div 2 = 13$ (овец) — у одного мужика.
Зная, что у второго мужика на 9 овец больше, найдем их количество.
3) $13 + 9 = 22$ (овцы) — у второго мужика.
Проверим: всего овец $13 + 22 = 35$. Разница $22 - 13 = 9$. Всё верно.

Ответ: у одного мужика 13 овец, а у другого 22 овцы.

Эта задача решается таким же способом. Сначала "уравняем" количество овец у двух мужиков, вычтя разницу из общего числа.
1) $40 - 6 = 34$ (овцы) — столько овец было бы у них вместе, если бы у обоих было столько же, сколько у того, у кого их меньше.
Разделим это число на два, чтобы найти количество овец у мужика с меньшим стадом.
2) $34 \div 2 = 17$ (овец) — у одного мужика.
Теперь найдем, сколько овец у второго мужика, зная, что у него на 6 овец больше.
3) $17 + 6 = 23$ (овцы) — у второго мужика.
Проверим: всего овец $17 + 23 = 40$. Разница $23 - 17 = 6$. Всё верно.

Ответ: у одного мужика 17 овец, а у другого 23 овцы.

288. а) На двух полках книг было поровну. С первой полки переставили 10 книг на вторую полку. На сколько книг на второй полке стало больше, чем на первой?

Разница: $(x + 10) - (x - 10) = 20$.

б) В первой пачке на 30 тетрадей больше, чем во второй. Сколько тетрадей надо переложить из первой пачки во вторую, чтобы уравнять число тетрадей в пачках?

Необходимо переложить: $30 / 2 = 15$ тетрадей.

в) Предположим, что у вас и у меня имеется одинаковая сумма денег. Сколько денег я должен вам дать, чтобы у вас стало на 10 рублей больше, чем у меня?

Необходимо отдать: $10 / 2 = 5$ рублей.

а) Пусть первоначально на каждой полке было по $x$ книг. После того как с первой полки переставили 10 книг на вторую, количество книг на полках стало:
На первой полке: $x - 10$ книг.
На второй полке: $x + 10$ книг.
Чтобы найти, на сколько книг на второй полке стало больше, чем на первой, нужно вычесть количество книг на первой полке из количества книг на второй:
$(x + 10) - (x - 10) = x + 10 - x + 10 = 20$ книг.
Ответ: на 20 книг.

б) Пусть во второй пачке было $y$ тетрадей, тогда в первой пачке было $y + 30$ тетрадей. Обозначим за $k$ количество тетрадей, которое нужно переложить из первой пачки во вторую, чтобы их число уравнялось. После перекладывания в пачках станет:
В первой пачке: $(y + 30) - k$ тетрадей.
Во второй пачке: $y + k$ тетрадей.
Приравняем количество тетрадей в пачках:
$y + 30 - k = y + k$
$30 = k + k$
$30 = 2k$
$k = 30 / 2 = 15$ тетрадей.
Чтобы уравнять число тетрадей, нужно переложить половину разницы.
Ответ: 15 тетрадей.

в) Пусть у каждого из нас было по $m$ рублей. Пусть я должен дать вам $z$ рублей. После этого у меня останется $m - z$ рублей, а у вас станет $m + z$ рублей. По условию, у вас должно стать на 10 рублей больше, чем у меня. Составим уравнение:
$(m + z) - (m - z) = 10$
$m + z - m + z = 10$
$2z = 10$
$z = 10 / 2 = 5$ рублей.
Ответ: 5 рублей.

289. Бутылка масла весит 900 г. Масло на 100 г тяжелее бутылки.

Сколько весит пустая бутылка?

Для решения задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Арифметический

1. Общий вес бутылки с маслом — это сумма веса бутылки и веса масла. Нам известно, что масло на 100 г тяжелее бутылки. Если мы вычтем эту разницу из общего веса, то получим удвоенный вес более легкого предмета, то есть бутылки.

$900 - 100 = 800$ (г) — это удвоенный вес пустой бутылки.

2. Теперь, чтобы найти вес одной бутылки, разделим полученный результат на 2.

$800 \div 2 = 400$ (г) — вес пустой бутылки.

3. Проверим решение. Вес бутылки — 400 г. Вес масла на 100 г больше: $400 + 100 = 500$ (г). Общий вес: $400 + 500 = 900$ (г). Все верно.

Способ 2: Алгебраический (с помощью уравнения)

1. Обозначим вес пустой бутылки за $x$ грамм.

2. Поскольку масло на 100 г тяжелее бутылки, его вес будет равен $(x + 100)$ грамм.

3. Общий вес бутылки и масла составляет 900 г. Составим уравнение:

Вес бутылки + Вес масла = Общий вес

$x + (x + 100) = 900$

4. Решим полученное уравнение:

$2x + 100 = 900$

$2x = 900 - 100$

$2x = 800$

$x = 800 \div 2$

$x = 400$

Таким образом, вес пустой бутылки равен 400 г.

Ответ: пустая бутылка весит 400 г.

290. На вопрос учеников о дне своего рождения учитель математики ответил загадкой: «Если сложить день и номер месяца моего рождения, то получится 20; $d + m = 20$; если из дня рождения вычесть номер месяца рождения, то получится 14; $d - m = 14$; если к произведению дня и номера месяца моего рождения прибавить 1900, то получится год моего рождения. $d \cdot m + 1900 = y$» Когда родился учитель математики?

Для решения этой задачи введем переменные:

Пусть $d$ — день рождения, $m$ — номер месяца рождения, а $y$ — год рождения.

Исходя из условий загадки, можно составить систему уравнений для нахождения дня и месяца, а затем — формулу для нахождения года.

У нас есть два условия, которые можно записать в виде системы уравнений:

1. Сумма дня и номера месяца равна 20: $d + m = 20$

2. Разность дня и номера месяца равна 14: $d - m = 14$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} d + m = 20 \\ d - m = 14 \end{cases} $$

Сложим левые и правые части обоих уравнений, чтобы исключить переменную $m$:

$(d + m) + (d - m) = 20 + 14$

$2d = 34$

$d = \frac{34}{2}$

$d = 17$

Теперь, зная день рождения, подставим значение $d=17$ в первое уравнение ($d + m = 20$), чтобы найти номер месяца:

$17 + m = 20$

$m = 20 - 17$

$m = 3$

Таким образом, учитель родился 17-го числа 3-го месяца (марта).

Третье условие загадки гласит, что год рождения можно найти, прибавив 1900 к произведению дня и номера месяца:

$y = (d \cdot m) + 1900$

Подставим найденные значения $d=17$ и $m=3$ в эту формулу:

$y = (17 \cdot 3) + 1900$

$y = 51 + 1900$

$y = 1951$

Следовательно, год рождения учителя — 1951.

Собрав все части воедино, мы получаем полную дату рождения.

Ответ: Учитель математики родился 17 марта 1951 года.

291. Придумайте задачу на нахождение двух чисел по их сумме и разности. Убедитесь, что числовые данные для задачи подобраны хорошо и она имеет решение. Прочитайте составленную вами задачу классу, и пусть кто-то её решит, а вы оцените это решение.

Пример задачи

В двух корзинах вместе лежит 80 яблок. В первой корзине на 12 яблок больше, чем во второй. Сколько яблок в каждой корзине?

Проверка корректности данных

Числовые данные для задачи подобраны хорошо. Для того чтобы задача имела решение в целых числах, сумма и разность искомых чисел должны быть одной четности (оба четные или оба нечетные). В нашем случае сумма равна 80 (четное число), а разность равна 12 (четное число). Это гарантирует, что мы получим целое количество яблок в каждой корзине. Сумма и разность двух чисел одинаковой четности всегда дает в результате четное число, которое можно разделить на 2 без остатка.

Решение задачи

Эту задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1: Арифметический

1. Уравняем количество яблок в корзинах. Если из первой корзины (где яблок больше) убрать 12 яблок, то в обеих корзинах их станет поровну. Общее количество яблок при этом уменьшится на 12.
$80 - 12 = 68$ (яблок) — стало бы в двух корзинах, если бы их было поровну.

2. Теперь, когда в корзинах яблок поровну, найдем их количество в каждой (в частности, во второй, меньшей корзине), разделив общее уравненное количество на 2.
$68 / 2 = 34$ (яблока) — во второй корзине.

3. Мы знаем, что в первой корзине на 12 яблок больше. Вернем эти 12 яблок.
$34 + 12 = 46$ (яблок) — в первой корзине.

Проверка: $46 + 34 = 80$ (сумма верна), $46 - 34 = 12$ (разность верна).

Способ 2: Алгебраический (с помощью системы уравнений)

Пусть $x$ — количество яблок в первой корзине, а $y$ — количество яблок во второй корзине. Составим систему уравнений по условию задачи:
$\begin{cases} x + y = 80 \\ x - y = 12 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы:
$(x + y) + (x - y) = 80 + 12$
$2x = 92$
$x = 92 / 2$
$x = 46$ (яблок) — в первой корзине.

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$46 + y = 80$
$y = 80 - 46$
$y = 34$ (яблока) — во второй корзине.

Способ 3: По общей формуле

Существует общее правило для нахождения двух чисел по их сумме и разности:
Большее число = (Сумма + Разность) / 2
Меньшее число = (Сумма - Разность) / 2

Применим эти формулы к нашей задаче:
Количество яблок в первой корзине (большее число): $(80 + 12) / 2 = 92 / 2 = 46$
Количество яблок во второй корзине (меньшее число): $(80 - 12) / 2 = 68 / 2 = 34$

Все три способа дают одинаковый результат.

Ответ: в первой корзине 46 яблок, а во второй — 34 яблока.