Страница 56 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

255. В подъезде семнадцатиэтажного дома расположены квартиры с 1-й по 68-ю. На каком этаже расположена квартира 63?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два действия: сначала определить, сколько квартир находится на каждом этаже, а затем, зная это, вычислить, на каком этаже расположена квартира с номером 63.

1. Определение количества квартир на этаже

В подъезде семнадцатиэтажного дома ($17$ этажей) расположены квартиры с 1-й по 68-ю (всего $68$ квартир). Предполагая, что на каждом этаже находится одинаковое количество квартир, мы можем найти это количество, разделив общее число квартир на число этажей.

Количество квартир на этаже = $\frac{\text{Общее количество квартир}}{\text{Количество этажей}} = \frac{68}{17} = 4$ квартиры.

Таким образом, на каждом этаже расположено по 4 квартиры.

2. Определение этажа для квартиры № 63

Теперь, зная, что на каждом этаже по 4 квартиры, можно найти этаж для квартиры № 63. Для этого нужно разделить номер квартиры на количество квартир на этаже.

Номер этажа = $\frac{63}{4} = 15.75$

Результат деления $15.75$ означает, что 15 этажей полностью заняты квартирами (с 1-й по $15 \times 4 = 60$-ю квартиру), а искомая квартира находится на следующем этаже. Результат нужно округлить в большую сторону до ближайшего целого числа.

Значит, квартира № 63 находится на 16-м этаже.

Проверим:
На 15-м этаже находятся квартиры с 57-й по 60-ю ($15 \times 4 = 60$).
На 16-м этаже находятся квартиры с 61-й по 64-ю.
Так как номер 63 находится в диапазоне от 61 до 64, квартира 63 действительно расположена на 16-м этаже.

Ответ: 16.

256. Семь девочек играли в прятки. Они решили, что водить будет та из них, которая окажется 25-й при счёте по кругу. Вера начала счёт с себя: 1, 2, 3, .... Катя, не дожидаясь окончания счёта, сказала: «Водить буду я». Какой номер был у Кати в начале счёта?

В игре участвуют 7 девочек, которые стоят в кругу. Счёт ведётся по кругу, это означает, что после 7-й девочки счёт снова переходит на 1-ю. Чтобы определить, на ком остановится счёт на числе 25, нам нужно найти остаток от деления 25 на количество девочек, то есть на 7.

Операция нахождения остатка от деления в математике называется делением по модулю. Найдём остаток от деления 25 на 7:
$25 \div 7 = 3$ с остатком $4$.
Это можно записать в виде формулы: $25 = 7 \times 3 + 4$.

Полученный остаток, равный 4, означает, что счёт пройдёт три полных круга по 7 девочек ($7 \times 3 = 21$) и остановится на 4-й девочке в следующем круге. Таким образом, 25-й по счёту окажется та же девочка, что и 4-я.

По условию, Вера начинает счёт с себя, значит, её номер — 1. Девочка, стоящая после неё, имеет номер 2, следующая — 3, и так далее. Девочка, на которую выпадает 4-й счёт, и будет водить.

Катя сказала, что водить будет она. Следовательно, именно на неё выпал 25-й счёт, что соответствует 4-му номеру в круге.

Ответ: у Кати в начале счёта был номер 4.

257. Какое наименьшее число при делении и на 3, и на 5, и на 7 даёт в остатке:

а) 0;

б) 1;

в) 2?

Пусть искомое число — $N$. По условию, при делении $N$ на 3, 5 и 7 получается один и тот же остаток $r$. Это означает, что разность $N-r$ делится нацело на 3, 5 и 7. Следовательно, $N-r$ должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК).

Числа 3, 5 и 7 являются взаимно простыми (так как это простые числа), поэтому их наименьшее общее кратное равно их произведению:

НОК(3, 5, 7) = $3 \times 5 \times 7 = 105$.

Таким образом, число $N-r$ должно быть кратно 105, что можно записать в виде формулы:

$N - r = 105 \cdot k$, где $k$ — любое целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, \dots$).

Отсюда, общая формула для искомого числа: $N = 105 \cdot k + r$.

Чтобы найти наименьшее такое число, необходимо взять наименьшее возможное значение для $k$, то есть $k=0$.

Требуется найти наименьшее число, которое при делении на 3, 5 и 7 даёт в остатке 0. В этом случае остаток $r=0$.

Подставляем $k=0$ и $r=0$ в общую формулу:

$N = 105 \cdot 0 + 0 = 0$.

Действительно, 0 при делении на 3, 5 и 7 даёт в остатке 0.

Ответ: 0

Требуется найти наименьшее число, которое при делении на 3, 5 и 7 даёт в остатке 1. В этом случае остаток $r=1$.

Подставляем $k=0$ и $r=1$ в общую формулу:

$N = 105 \cdot 0 + 1 = 1$.

Проверка: при делении 1 на 3, на 5 и на 7 частное равно 0, а остаток равен 1, что соответствует условию.

Ответ: 1

Требуется найти наименьшее число, которое при делении на 3, 5 и 7 даёт в остатке 2. В этом случае остаток $r=2$.

Подставляем $k=0$ и $r=2$ в общую формулу:

$N = 105 \cdot 0 + 2 = 2$.

Проверка: при делении 2 на 3, на 5 и на 7 частное равно 0, а остаток равен 2. Так как остаток (2) меньше каждого из делителей (3, 5, 7), условия задачи выполнены.

Ответ: 2