Страница 60 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

277. Вычислите:

а) $6^2 - 5^2 + 3^2 - 2^2$;

Б) $1^3 + 2^2 + 3^1 - 2^3$;

В) $(8^2 : 16 - 2)^2 + 2^3$;

Г) $(9^2 : 27 - 2) \cdot 5^2$.

а) $6^2 - 5^2 + 3^2 - 2^2$
Для решения этого примера сначала возведем каждое число в степень, а затем выполним вычитание и сложение.
1. $6^2 = 36$
2. $5^2 = 25$
3. $3^2 = 9$
4. $2^2 = 4$
Теперь подставим полученные значения в выражение:
$36 - 25 + 9 - 4 = 11 + 9 - 4 = 20 - 4 = 16$
Ответ: 16

б) $1^3 + 2^2 + 3^1 - 2^3$
Вычислим значение каждой степени, а затем выполним действия сложения и вычитания.
1. $1^3 = 1$
2. $2^2 = 4$
3. $3^1 = 3$
4. $2^3 = 8$
Подставляем значения в выражение:
$1 + 4 + 3 - 8 = 5 + 3 - 8 = 8 - 8 = 0$
Ответ: 0

в) $(8^2 : 16 - 2)^2 + 2^3$
Согласно порядку действий, сначала выполняем операции в скобках, затем возведение в степень и сложение.
1. Выполняем действия в скобках:
$8^2 = 64$
$64 : 16 = 4$
$4 - 2 = 2$
2. Теперь выражение выглядит так: $2^2 + 2^3$
3. Возводим числа в степень:
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
4. Выполняем сложение:
$4 + 8 = 12$
Ответ: 12

г) $(9^2 : 27 - 2) \cdot 5^2$
Сначала вычисляем значение выражения в скобках, затем выполняем умножение.
1. Выполняем действия в скобках:
$9^2 = 81$
$81 : 27 = 3$
$3 - 2 = 1$
2. Вычисляем значение второго множителя:
$5^2 = 25$
3. Выполняем умножение:
$1 \cdot 25 = 25$
Ответ: 25

278. Пешеход шёл 3 ч со скоростью 5 км/ч и ещё 2 ч со скоростью 4 км/ч. Что можно узнать, вычислив значение числового выражения:

а) $3 + 2$;

б) $3 \cdot 5$;

в) $2 \cdot 4$;

г) $3 \cdot 5 + 2 \cdot 4$;

д) $3 \cdot 5 - 2 \cdot 4$?

а) В этом выражении складываются два числа: 3 (количество часов, которое пешеход шёл с первой скоростью) и 2 (количество часов, которое он шёл со второй скоростью). Таким образом, это выражение позволяет узнать общее время, которое пешеход был в пути.
$3 + 2 = 5$ (ч).
Ответ: общее время в пути.

б) В этом выражении время первого участка пути (3 ч) умножается на скорость на этом участке (5 км/ч). Произведение времени на скорость равно расстоянию. Следовательно, это выражение позволяет узнать, какое расстояние прошёл пешеход за первые 3 часа.
$3 \cdot 5 = 15$ (км).
Ответ: расстояние, пройденное за первые 3 часа.

в) В этом выражении время второго участка пути (2 ч) умножается на скорость на этом участке (4 км/ч). Это выражение позволяет узнать, какое расстояние прошёл пешеход за следующие 2 часа.
$2 \cdot 4 = 8$ (км).
Ответ: расстояние, пройденное за вторые 2 часа.

г) Это выражение представляет собой сумму двух произведений: $3 \cdot 5$ (расстояние, пройденное на первом участке) и $2 \cdot 4$ (расстояние, пройденное на втором участке). Складывая эти два расстояния, мы узнаем общее расстояние, которое преодолел пешеход.
$3 \cdot 5 + 2 \cdot 4 = 15 + 8 = 23$ (км).
Ответ: общее расстояние, пройденное пешеходом.

д) Это выражение представляет собой разность двух произведений: $3 \cdot 5$ (расстояние, пройденное на первом участке) и $2 \cdot 4$ (расстояние, пройденное на втором участке). Вычисляя эту разность, мы можем узнать, на сколько километров больше пешеход прошёл в первой части пути по сравнению со второй.
$3 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 15 - 8 = 7$ (км).
Ответ: на сколько километров расстояние, пройденное за первые 3 часа, больше расстояния, пройденного за следующие 2 часа.

279. Решите задачу, составив числовое выражение:

а) Сейчас брату 5 лет, а через 3 года ему будет в 2 раза меньше лет, чем сестре сейчас. Сколько лет сестре сейчас?

б) Сейчас брату 5 лет, а через 3 года ему будет в 2 раза меньше лет, чем сестре. Сколько лет сестре сейчас?

в) Сейчас брату 5 лет, а год назад ему было в 3 раза меньше лет, чем сестре сейчас. Сколько лет сестре сейчас?

г) Сейчас брату 5 лет, а год назад ему было в 3 раза меньше лет, чем сестре. Сколько лет сестре сейчас?

а) Чтобы найти возраст сестры, сначала нужно определить, сколько лет будет брату через 3 года. Сейчас ему 5 лет.
1) $5 + 3 = 8$ (лет) – возраст брата через 3 года.
По условию задачи, этот возраст в 2 раза меньше, чем возраст сестры сейчас. Следовательно, чтобы найти возраст сестры, нужно возраст брата через 3 года умножить на 2.
2) Составим числовое выражение: $(5 + 3) \times 2 = 8 \times 2 = 16$ (лет).
Ответ: 16 лет.

б) Условие этой задачи полностью совпадает с предыдущей. Решим ее, составив числовое выражение.
1) Сначала найдем возраст брата через 3 года: $5 + 3 = 8$ (лет).
2) Так как этот возраст в 2 раза меньше, чем возраст сестры сейчас, то возраст сестры в 2 раза больше. Умножим возраст брата через 3 года на 2: $(5 + 3) \times 2 = 16$ (лет).
Ответ: 16 лет.

в) Сначала найдем, сколько лет было брату год назад. Сейчас ему 5 лет.
1) $5 - 1 = 4$ (года) – возраст брата год назад.
В условии сказано, что этот возраст был в 3 раза меньше, чем возраст сестры сейчас. Это означает, что сестра сейчас в 3 раза старше, чем брат был год назад.
2) Составим числовое выражение для нахождения возраста сестры: $(5 - 1) \times 3 = 4 \times 3 = 12$ (лет).
Ответ: 12 лет.

г) Эта задача является полным повторением задачи из пункта в).
1) Определим возраст брата год назад: $5 - 1 = 4$ (года).
2) Поскольку этот возраст в 3 раза меньше, чем возраст сестры сейчас, то возраст сестры в 3 раза больше. Составим числовое выражение: $(5 - 1) \times 3 = 12$ (лет).
Ответ: 12 лет.

280. a) В автобусе было 25 пассажиров. На первой остановке вышло 8 и вошло 12 пассажиров, на второй — вышло 7 и вошло 5 пассажиров. Сколько пассажиров стало в автобусе после второй остановки?

б) В автобусе было несколько пассажиров. На первой остановке вышло 7 и вошло 4, а на второй вышло 6 и вошло 13 пассажиров. Сколько пассажиров было в автобусе до первой остановки, если после второй остановки автобуса их стало 38?

а) В автобусе было 25 пассажиров. На первой остановке вышло 8 и вошло 12 пассажиров, на второй — вышло 7 и вошло 5 пассажиров. Сколько пассажиров стало в автобусе после второй остановки?

Для решения этой задачи нужно последовательно отслеживать изменение количества пассажиров в автобусе.

1. Начальное количество пассажиров: 25.

2. После первой остановки:
Сначала вышло 8 человек: $25 - 8 = 17$ пассажиров.
Затем вошло 12 человек: $17 + 12 = 29$ пассажиров.
После первой остановки в автобусе стало 29 пассажиров.

3. После второй остановки:
Сначала вышло 7 человек: $29 - 7 = 22$ пассажира.
Затем вошло 5 человек: $22 + 5 = 27$ пассажиров.

Также можно составить одно общее выражение:
$25 - 8 + 12 - 7 + 5 = 17 + 12 - 7 + 5 = 29 - 7 + 5 = 22 + 5 = 27$

Ответ: 27 пассажиров.

б) В автобусе было несколько пассажиров. На первой остановке вышло 7 и вошло 4, а на второй вышло 6 и вошло 13 пассажиров. Сколько пассажиров было в автобусе до первой остановки, если после второй остановки автобуса их стало 38?

Эту задачу удобно решать в обратном порядке, выполняя действия, противоположные описанным.

1. В конце, после второй остановки, в автобусе было 38 пассажиров.

2. Отменим действия на второй остановке:
Перед тем, как вошло 13 пассажиров, их было: $38 - 13 = 25$ пассажиров.
Перед тем, как вышло 6 пассажиров, их было: $25 + 6 = 31$ пассажир.
Таким образом, после первой остановки в автобусе был 31 пассажир.

3. Отменим действия на первой остановке:
Перед тем, как вошло 4 пассажира, их было: $31 - 4 = 27$ пассажиров.
Перед тем, как вышло 7 пассажиров, их было: $27 + 7 = 34$ пассажира.
Это и есть первоначальное количество пассажиров.

Проверим решение. Если изначально было 34 пассажира, то после всех изменений их станет:
$34 - 7 + 4 - 6 + 13 = 27 + 4 - 6 + 13 = 31 - 6 + 13 = 25 + 13 = 38$
Результат совпадает с условием.

Ответ: 34 пассажира.