Страница 58 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

261. Определите порядок действий:

а) $3 \cdot 2 + 5 \cdot 7$; б) $3 \cdot 7 - 6 \cdot 3$; в) $5 \cdot (4 + 12)$; г) $20 : (10 - 6)$.

Какое действие выполняется последним? Как называется результат последнего действия?

Замечание.

В числовых выражениях вида $a + (b \cdot c)$, $a - (b \cdot c)$, $a + (b : c)$, $a - (b : c)$ ... принято опускать скобки, но подразумевать их. Таким образом, пишут:

$a + (b \cdot c) = a + b \cdot c,$

$a - (b \cdot c) = a - b \cdot c,$

$a + (b : c) = a + b : c,$

$a - (b : c) = a - b : c.$

Например, пишут: $2 + 3 \cdot 5 = 2 + 15 = 17$; $12 - 8 : 2 = 12 - 4 = 8$.

а) В выражении $3 \cdot 2 + 5 \cdot 7$ скобок нет, поэтому сначала выполняются действия умножения, а затем сложение.
1. Первое действие: $3 \cdot 2 = 6$.
2. Второе действие: $5 \cdot 7 = 35$.
3. Третье и последнее действие: $6 + 35 = 41$.
Последним выполняется действие сложения. Результат последнего действия называется сумма.
Ответ: 41.

б) В выражении $3 \cdot 7 - 6 \cdot 3$ сначала выполняются умножения, а потом вычитание.
1. Первое действие: $3 \cdot 7 = 21$.
2. Второе действие: $6 \cdot 3 = 18$.
3. Третье и последнее действие: $21 - 18 = 3$.
Последним выполняется действие вычитания. Результат последнего действия называется разность.
Ответ: 3.

в) В выражении $5 \cdot (4 + 12)$ есть скобки, поэтому сначала выполняется действие в скобках.
1. Первое действие: $4 + 12 = 16$.
2. Второе и последнее действие: $5 \cdot 16 = 80$.
Последним выполняется действие умножения. Результат последнего действия называется произведение.
Ответ: 80.

г) В выражении $20 : (10 - 6)$ сначала выполняется действие в скобках.
1. Первое действие: $10 - 6 = 4$.
2. Второе и последнее действие: $20 : 4 = 5$.
Последним выполняется действие деления. Результат последнего действия называется частное.
Ответ: 5.

262. Упростите числовое выражение:

a) $17 + 73 - 59 + 90$;

б) $3 \cdot 15 \cdot 4 : 9 : 20 \cdot 8$.

а) Чтобы упростить выражение $17 + 73 - 59 + 90$, можно изменить порядок действий, используя свойства сложения, чтобы сделать вычисления проще. Сгруппируем слагаемые.

1. Сначала удобно сложить $17$ и $73$, так как их сумма дает круглое число:

$17 + 73 = 90$

2. Теперь подставим полученное значение обратно в выражение:

$90 - 59 + 90$

3. Далее можно сложить два одинаковых числа $90 + 90$ или продолжить вычисления по порядку. Сделаем по порядку:

$90 - 59 = 31$

4. И последнее действие:

$31 + 90 = 121$

Ответ: 121

б) В выражении $3 \cdot 15 \cdot 4 : 9 : 20 \cdot 8$ присутствуют только операции умножения и деления. Такие операции имеют одинаковый приоритет и выполняются слева направо. Для упрощения можно представить это выражение в виде дроби. Числа, которые умножаются, записываются в числитель, а те, на которые делят, — в знаменатель.

$\frac{3 \cdot 15 \cdot 4 \cdot 8}{9 \cdot 20}$

Теперь сократим дробь, находя общие множители в числителе и знаменателе.

1. Сократим $15$ и $20$ на $5$:

$\frac{3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 8}{9 \cdot 4}$

2. Сократим $4$ в числителе и знаменателе:

$\frac{3 \cdot 3 \cdot 8}{9}$

3. Выполним умножение в числителе: $3 \cdot 3 = 9$.

$\frac{9 \cdot 8}{9}$

4. Сократим $9$ в числителе и знаменателе:

$\frac{8}{1} = 8$

Альтернативный способ — решать по порядку:

1. $3 \cdot 15 = 45$

2. $45 \cdot 4 = 180$

3. $180 : 9 = 20$

4. $20 : 20 = 1$

5. $1 \cdot 8 = 8$

Ответ: 8

263. Укажите порядок действий:

а) $53 \cdot 2 + 44$;

б) $320 - 56 \cdot 2 + 120 : 6$;

В) $48 : 16 + 13 \cdot 4$;

Г) $53 \cdot (2 + 44)$;

Д) $320 - (56 \cdot 2 + 120 : 6)$;

е) $(48 : 6 + 13) \cdot 4$.

а) В выражении $53 \cdot 2 + 44$ два действия: умножение и сложение. Согласно правилам порядка выполнения арифметических действий, сначала выполняется умножение, а затем — сложение.
1) $53 \cdot 2 = 106$
2) $106 + 44 = 150$
Ответ: 150.

б) В выражении $320 - 56 \cdot 2 + 120 : 6$ есть действия вычитания, умножения, сложения и деления. Сначала выполняются действия умножения и деления в порядке их следования слева направо. Затем выполняются действия сложения и вычитания, также слева направо.
1) $56 \cdot 2 = 112$
2) $120 : 6 = 20$
3) $320 - 112 = 208$
4) $208 + 20 = 228$
Ответ: 228.

в) В выражении $48 : 16 + 13 \cdot 4$ есть деление, сложение и умножение. Сначала выполняются деление и умножение слева направо, а затем сложение.
1) $48 : 16 = 3$
2) $13 \cdot 4 = 52$
3) $3 + 52 = 55$
Ответ: 55.

г) В выражении $53 \cdot (2 + 44)$ есть скобки. Действия в скобках выполняются в первую очередь. Затем выполняется умножение.
1) $2 + 44 = 46$
2) $53 \cdot 46 = 2438$
Ответ: 2438.

д) В выражении $320 - (56 \cdot 2 + 120 : 6)$ сначала выполняются действия в скобках. Внутри скобок порядок действий тот же: сначала умножение и деление, затем сложение. Последним действием выполняется вычитание.
1) $56 \cdot 2 = 112$
2) $120 : 6 = 20$
3) $112 + 20 = 132$
4) $320 - 132 = 188$
Ответ: 188.

е) В выражении $(48 : 6 + 13) \cdot 4$ сначала выполняются действия в скобках. Внутри скобок сначала выполняется деление, а затем сложение. Последним действием выполняется умножение.
1) $48 : 6 = 8$
2) $8 + 13 = 21$
3) $21 \cdot 4 = 84$
Ответ: 84.

264. Укажите порядок действий и упростите числовое выражение:

а) $28 \cdot 2 + 4$;

б) $28 \cdot (2 + 4)$;

в) $100 : 4 + 6$;

г) $100 : (4 + 6)$;

д) $320 - 64 : 8 + 16$;

е) $(320 - 64) : 8 + 16$.

а) $28 \cdot 2 + 4$

В данном выражении два действия: умножение и сложение. Согласно правилам порядка выполнения арифметических действий, сначала выполняется умножение, а затем сложение.

1. Первое действие – умножение: $28 \cdot 2 = 56$.

2. Второе действие – сложение: $56 + 4 = 60$.

Ответ: 60

б) $28 \cdot (2 + 4)$

В этом выражении есть действие в скобках. Действия в скобках всегда выполняются в первую очередь. После этого выполняется умножение.

1. Первое действие – сложение в скобках: $2 + 4 = 6$.

2. Второе действие – умножение: $28 \cdot 6 = 168$.

Ответ: 168

в) $100 : 4 + 6$

В выражении присутствуют деление и сложение. Деление имеет более высокий приоритет, поэтому оно выполняется первым.

1. Первое действие – деление: $100 : 4 = 25$.

2. Второе действие – сложение: $25 + 6 = 31$.

Ответ: 31

г) $100 : (4 + 6)$

Порядок действий определяется скобками. Сначала выполняем сложение в скобках, а затем деление.

1. Первое действие – сложение в скобках: $4 + 6 = 10$.

2. Второе действие – деление: $100 : 10 = 10$.

Ответ: 10

д) $320 - 64 : 8 + 16$

В выражении есть вычитание, деление и сложение. Первым выполняется действие с более высоким приоритетом – деление. Затем вычитание и сложение выполняются последовательно слева направо.

1. Первое действие – деление: $64 : 8 = 8$.

2. Второе действие – вычитание: $320 - 8 = 312$.

3. Третье действие – сложение: $312 + 16 = 328$.

Ответ: 328

е) $(320 - 64) : 8 + 16$

Сначала выполняется действие в скобках. Затем, по приоритету, выполняется деление. Последним действием будет сложение.

1. Первое действие – вычитание в скобках: $320 - 64 = 256$.

2. Второе действие – деление: $256 : 8 = 32$.

3. Третье действие – сложение: $32 + 16 = 48$.

Ответ: 48

Вычислите (265–267).

265. а) $320 - (64 \div 8 + 16)$;

б) $45 + 24 \cdot 5 - (59 - 9)$;

в) $98 - 72 \div 9 - (35 + 55) \div 3$;

г) $270 \div (303 \div 3 - 11) + 48$;

д) $26 - (53 - 48) \cdot 4 - 4$;

е) $48 - (31 - 15) \cdot 2 - 2$;

ж) $66 - (65 - 47) \div 6 + 3$;

з) $54 \div (13 - 10) \cdot 2 + 36$.

а) $320 – (64 : 8 + 16)$

Решим по действиям, соблюдая порядок их выполнения. Сначала выполняются действия в скобках (деление, затем сложение), а затем вычитание.
1. $64 : 8 = 8$
2. $8 + 16 = 24$
3. $320 – 24 = 296$
Ответ: 296

б) $45 + 24 · 5 – (59 – 9)$

Сначала выполняем действие в скобках, затем умножение, и в конце сложение и вычитание слева направо.
1. $59 – 9 = 50$
2. $24 · 5 = 120$
3. $45 + 120 = 165$
4. $165 – 50 = 115$
Ответ: 115

в) $98 – 72 : 9 – (35 + 55) : 3$

Сначала выполняем действие в скобках, затем деления слева направо, и в конце вычитания слева направо.
1. $35 + 55 = 90$
2. $72 : 9 = 8$
3. $90 : 3 = 30$
4. $98 – 8 = 90$
5. $90 – 30 = 60$
Ответ: 60

г) $270 : (303 : 3 – 11) + 48$

Сначала выполняем действия в скобках (деление, затем вычитание), затем деление за скобками, и в конце сложение.
1. $303 : 3 = 101$
2. $101 – 11 = 90$
3. $270 : 90 = 3$
4. $3 + 48 = 51$
Ответ: 51

д) $26 – (53 – 48) · 4 – 4$

Сначала выполняем действие в скобках, затем умножение, и в конце вычитания слева направо.
1. $53 – 48 = 5$
2. $5 · 4 = 20$
3. $26 – 20 = 6$
4. $6 – 4 = 2$
Ответ: 2

е) $48 – (31 – 15) · 2 – 2$

Сначала выполняем действие в скобках, затем умножение, и в конце вычитания слева направо.
1. $31 – 15 = 16$
2. $16 · 2 = 32$
3. $48 – 32 = 16$
4. $16 – 2 = 14$
Ответ: 14

ж) $66 – (65 – 47) : 6 + 3$

Сначала выполняем действие в скобках, затем деление, и в конце вычитание и сложение слева направо.
1. $65 – 47 = 18$
2. $18 : 6 = 3$
3. $66 – 3 = 63$
4. $63 + 3 = 66$
Ответ: 66

з) $54 : (13 – 10) · 2 + 36$

Сначала выполняем действие в скобках, затем деление и умножение слева направо, и в конце сложение.
1. $13 – 10 = 3$
2. $54 : 3 = 18$
3. $18 · 2 = 36$
4. $36 + 36 = 72$
Ответ: 72

266. а) $848 + 6 - 756 : (45 - 45 : 5);$

б) $48 : 4 + 1200 : (75 - 75 : 5);$

в) $9 + 252 : (108 : 18 - 5);$

г) $655 - 324 : (48 : 12 - 3).$

а) $848 + 6 - 756 : (45 - 45 : 5)$

Решим пример по действиям, соблюдая порядок их выполнения. Сначала выполняются действия в скобках (деление, затем вычитание), потом деление за скобками, и в конце сложение и вычитание слева направо.

1. Первое действие в скобках – деление: $45 : 5 = 9$.

2. Второе действие в скобках – вычитание: $45 - 9 = 36$.

3. Теперь выполняем деление за скобками: $756 : 36 = 21$.

4. Выполняем сложение: $848 + 6 = 854$.

5. Выполняем вычитание: $854 - 21 = 833$.

Полное решение: $848 + 6 - 756 : (45 - 45 : 5) = 848 + 6 - 756 : (45 - 9) = 848 + 6 - 756 : 36 = 854 - 21 = 833$.

Ответ: 833

б) $48 : 4 + 1200 : (75 - 75 : 5)$

Сначала выполняем действия в скобках (деление, затем вычитание), потом деления вне скобок слева направо, и в конце сложение.

1. Первое действие в скобках – деление: $75 : 5 = 15$.

2. Второе действие в скобках – вычитание: $75 - 15 = 60$.

3. Теперь выполняем деления вне скобок. Первое деление: $48 : 4 = 12$.

4. Второе деление: $1200 : 60 = 20$.

5. Выполняем сложение: $12 + 20 = 32$.

Полное решение: $48 : 4 + 1200 : (75 - 75 : 5) = 48 : 4 + 1200 : (75 - 15) = 48 : 4 + 1200 : 60 = 12 + 20 = 32$.

Ответ: 32

в) $9 + 252 : (108 : 18 - 5)$

Сначала выполняем действия в скобках (деление, затем вычитание), потом деление за скобками, и в конце сложение.

1. Первое действие в скобках – деление: $108 : 18 = 6$.

2. Второе действие в скобках – вычитание: $6 - 5 = 1$.

3. Выполняем деление за скобками: $252 : 1 = 252$.

4. Выполняем сложение: $9 + 252 = 261$.

Полное решение: $9 + 252 : (108 : 18 - 5) = 9 + 252 : (6 - 5) = 9 + 252 : 1 = 9 + 252 = 261$.

Ответ: 261

г) $655 - 324 : (48 : 12 - 3)$

Сначала выполняем действия в скобках (деление, затем вычитание), потом деление за скобками, и в конце вычитание.

1. Первое действие в скобках – деление: $48 : 12 = 4$.

2. Второе действие в скобках – вычитание: $4 - 3 = 1$.

3. Выполняем деление за скобками: $324 : 1 = 324$.

4. Выполняем вычитание: $655 - 324 = 331$.

Полное решение: $655 - 324 : (48 : 12 - 3) = 655 - 324 : (4 - 3) = 655 - 324 : 1 = 655 - 324 = 331$.

Ответ: 331

267. а) $48 \cdot 57 + 52 \cdot 57;$

б) $123 \cdot 36 + 77 \cdot 36;$

в) $145 : 5 + 455 : 5;$

г) $333 : 9 + 666 : 9;$

д) $6324 : 102 + 14076 : 102;$

е) $2628 : 36 + 972 : 36.$

а) В выражении $48 \cdot 57 + 52 \cdot 57$ есть общий множитель 57. Для упрощения вычислений применим распределительное свойство умножения относительно сложения: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$. Вынесем общий множитель за скобки:
$48 \cdot 57 + 52 \cdot 57 = (48 + 52) \cdot 57 = 100 \cdot 57 = 5700$.
Ответ: 5700.

б) В выражении $123 \cdot 36 + 77 \cdot 36$ есть общий множитель 36. Применим распределительное свойство умножения и вынесем общий множитель за скобки:
$123 \cdot 36 + 77 \cdot 36 = (123 + 77) \cdot 36 = 200 \cdot 36 = 7200$.
Ответ: 7200.

в) В выражении $145 : 5 + 455 : 5$ у каждого слагаемого есть общий делитель 5. Воспользуемся свойством деления суммы на число: $(a + b) : c = a : c + b : c$.
$145 : 5 + 455 : 5 = (145 + 455) : 5 = 600 : 5 = 120$.
Ответ: 120.

г) В выражении $333 : 9 + 666 : 9$ есть общий делитель 9. Применим свойство деления суммы на число:
$333 : 9 + 666 : 9 = (333 + 666) : 9 = 999 : 9 = 111$.
Ответ: 111.

д) В выражении $6324 : 102 + 14 076 : 102$ есть общий делитель 102. Применим свойство деления суммы на число:
$6324 : 102 + 14 076 : 102 = (6324 + 14 076) : 102 = 20400 : 102 = 200$.
Ответ: 200.

е) В выражении $2628 : 36 + 972 : 36$ есть общий делитель 36. Применим свойство деления суммы на число:
$2628 : 36 + 972 : 36 = (2628 + 972) : 36 = 3600 : 36 = 100$.
Ответ: 100.

Прочитайте выражение, используя слова «сумма», «разность», «произведение», «частное», «квадрат числа», «куб числа» (268–271).

268. а) $3 + 15;$

б) $15 - 6;$

в) $15 \cdot 3;$

г) $15 : 3;$

д) $(3 + 5)^2;$

е) $(15 - 3)^2;$

ж) $(15 \cdot 3)^2;$

з) $(15 : 3)^2;$

и) $3^2 + 5^2;$

к) $8^2 + 9^2;$

л) $9^2 - 7^2;$

м) $10^2 - 2^2.$

а) Сумма чисел 3 и 15. Вычислим значение выражения: $3 + 15 = 18$. Ответ: 18.

б) Разность чисел 15 и 6. Вычислим значение выражения: $15 - 6 = 9$. Ответ: 9.

в) Произведение чисел 15 и 3. Вычислим значение выражения: $15 \cdot 3 = 45$. Ответ: 45.

г) Частное чисел 15 и 3. Вычислим значение выражения: $15 : 3 = 5$. Ответ: 5.

д) Квадрат суммы чисел 3 и 5. Вычислим значение выражения: $(3 + 5)^2 = 8^2 = 64$. Ответ: 64.

е) Квадрат разности чисел 15 и 3. Вычислим значение выражения: $(15 - 3)^2 = 12^2 = 144$. Ответ: 144.

ж) Квадрат произведения чисел 15 и 3. Вычислим значение выражения: $(15 \cdot 3)^2 = 45^2 = 2025$. Ответ: 2025.

з) Квадрат частного чисел 15 и 3. Вычислим значение выражения: $(15 : 3)^2 = 5^2 = 25$. Ответ: 25.

и) Сумма квадратов чисел 3 и 5. Вычислим значение выражения: $3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$. Ответ: 34.

к) Сумма квадратов чисел 8 и 9. Вычислим значение выражения: $8^2 + 9^2 = 64 + 81 = 145$. Ответ: 145.

л) Разность квадратов чисел 9 и 7. Вычислим значение выражения: $9^2 - 7^2 = 81 - 49 = 32$. Ответ: 32.

м) Разность квадратов чисел 10 и 2. Вычислим значение выражения: $10^2 - 2^2 = 100 - 4 = 96$. Ответ: 96.

269. a) $45 : (5 + 4)$;

б) $45 : 5 + 4$;

в) $13 \cdot 12 - 11$;

г) $13 \cdot (12 - 11)$;

д) $18 \cdot (8 - 6 : 3)$;

е) $18 \cdot 8 - 6 : 3$;

ж) $18 \cdot (8 - 6) : 3$;

з) $(18 \cdot 8 - 6) : 3$;

и) $18 \cdot 8 + 6 : 3$.

а) $45 : (5 + 4)$

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках, а затем деление.

1. Вычислим сумму в скобках: $5 + 4 = 9$.

2. Разделим 45 на полученный результат: $45 : 9 = 5$.

Ответ: 5

б) $45 : 5 + 4$

В этом примере отсутствуют скобки, поэтому сначала выполняется деление, а затем сложение.

1. Выполним деление: $45 : 5 = 9$.

2. К полученному результату прибавим 4: $9 + 4 = 13$.

Ответ: 13

в) $13 \cdot 12 - 11$

Согласно порядку действий, сначала выполняется умножение, а затем вычитание.

1. Выполним умножение: $13 \cdot 12 = 156$.

2. Из полученного результата вычтем 11: $156 - 11 = 145$.

Ответ: 145

г) $13 \cdot (12 - 11)$

Сначала выполняем действие в скобках, а затем умножение.

1. Вычислим разность в скобках: $12 - 11 = 1$.

2. Умножим 13 на полученный результат: $13 \cdot 1 = 13$.

Ответ: 13

д) $18 \cdot (8 - 6 : 3)$

Сначала выполняем действия в скобках. Внутри скобок первым выполняется деление, а затем вычитание. После этого выполняется умножение.

1. Выполним деление в скобках: $6 : 3 = 2$.

2. Выполним вычитание в скобках: $8 - 2 = 6$.

3. Умножим 18 на результат в скобках: $18 \cdot 6 = 108$.

Ответ: 108

е) $18 \cdot 8 - 6 : 3$

В этом примере сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем вычитание.

1. Выполним умножение: $18 \cdot 8 = 144$.

2. Выполним деление: $6 : 3 = 2$.

3. Выполним вычитание: $144 - 2 = 142$.

Ответ: 142

ж) $18 \cdot (8 - 6) : 3$

Сначала выполняется действие в скобках, а затем умножение и деление по порядку слева направо.

1. Вычислим разность в скобках: $8 - 6 = 2$.

2. Выполним умножение: $18 \cdot 2 = 36$.

3. Выполним деление: $36 : 3 = 12$.

Ответ: 12

з) $(18 \cdot 8 - 6) : 3$

Сначала выполняются действия в скобках. Внутри скобок первым идет умножение, затем вычитание. В конце выполняется деление.

1. Выполним умножение в скобках: $18 \cdot 8 = 144$.

2. Выполним вычитание в скобках: $144 - 6 = 138$.

3. Разделим результат на 3: $138 : 3 = 46$.

Ответ: 46

и) $18 \cdot 8 + 6 : 3$

Сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем сложение.

1. Выполним умножение: $18 \cdot 8 = 144$.

2. Выполним деление: $6 : 3 = 2$.

3. Выполним сложение: $144 + 2 = 146$.

Ответ: 146