Страница 65 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

293. а) $123 \cdot 321;$

б) $509 \cdot 703;$

В) $999 \cdot 999;$

Г) $755 \cdot 755;$

Д) $153\ 117 : 159;$

е) $88\ 825 : 209;$

ж) $252\ 525 : 75;$

з) $808\ 707 : 101;$

и) $161616 : 6734.$

а) $123 \cdot 321$
Для решения умножим 123 на каждую цифру числа 321 с учетом ее разряда и сложим результаты:
$123 \cdot 1 = 123$
$123 \cdot 20 = 2460$
$123 \cdot 300 = 36900$
Складываем полученные значения: $123 + 2460 + 36900 = 39483$.
Ответ: 39483

б) $509 \cdot 703$
Выполним умножение, разложив второй множитель на слагаемые $700+3$:
$509 \cdot 3 = 1527$
$509 \cdot 700 = 356300$
Сложим полученные результаты:
$1527 + 356300 = 357827$.
Ответ: 357827

в) $999 \cdot 999$
Для удобства вычисления представим 999 как разность $(1000 - 1)$ и воспользуемся распределительным свойством умножения:
$999 \cdot (1000 - 1) = 999 \cdot 1000 - 999 \cdot 1 = 999000 - 999 = 998001$.
Ответ: 998001

г) $755 \cdot 755$
Это возведение числа 755 в квадрат. Выполним умножение столбиком, разложив его на действия:
$755 \cdot 5 = 3775$
$755 \cdot 50 = 37750$
$755 \cdot 700 = 528500$
Сложим результаты:
$3775 + 37750 + 528500 = 570025$.
Ответ: 570025

д) $153117 : 159$
Выполним деление столбиком:
1. Делим 1531 на 159. Подбираем цифру: $159 \cdot 9 = 1431$. Первая цифра частного – 9. Остаток: $1531 - 1431 = 100$.
2. Сносим следующую цифру 1, получаем 1001. Делим 1001 на 159. Подбираем цифру: $159 \cdot 6 = 954$. Вторая цифра частного – 6. Остаток: $1001 - 954 = 47$.
3. Сносим следующую цифру 7, получаем 477. Делим 477 на 159. Подбираем цифру: $159 \cdot 3 = 477$. Третья цифра частного – 3. Остаток: $477 - 477 = 0$.
Частное равно 963.
Ответ: 963

е) $88825 : 209$
Выполним деление столбиком:
1. Делим 888 на 209. Подбираем цифру: $209 \cdot 4 = 836$. Первая цифра частного – 4. Остаток: $888 - 836 = 52$.
2. Сносим следующую цифру 2, получаем 522. Делим 522 на 209. Подбираем цифру: $209 \cdot 2 = 418$. Вторая цифра частного – 2. Остаток: $522 - 418 = 104$.
3. Сносим следующую цифру 5, получаем 1045. Делим 1045 на 209. Подбираем цифру: $209 \cdot 5 = 1045$. Третья цифра частного – 5. Остаток: $1045 - 1045 = 0$.
Частное равно 425.
Ответ: 425

ж) $252525 : 75$
Можно упростить выражение, заметив, что $252525 = 25 \cdot 10101$ и $75 = 3 \cdot 25$.
Тогда деление принимает вид: $(25 \cdot 10101) : (3 \cdot 25)$.
Сокращаем общий множитель 25: $10101 : 3$.
Выполняем деление: $10101 : 3 = 3367$.
Ответ: 3367

з) $808707 : 101$
Представим делимое $808707$ как сумму $808000 + 707$.
Каждое из этих слагаемых делится на 101:
$808000 : 101 = (808 \cdot 1000) : 101 = (8 \cdot 101 \cdot 1000) : 101 = 8 \cdot 1000 = 8000$.
$707 : 101 = 7$.
Сложим результаты: $8000 + 7 = 8007$.
Ответ: 8007

и) $161616 : 6734$
Разложим делимое и делитель на множители. Заметим, что $161616 = 16 \cdot 10101$.
Разложим 10101 на множители: $10101 = 3 \cdot 3367$.
Тогда $161616 = 16 \cdot 3 \cdot 3367 = 48 \cdot 3367$.
Теперь разложим делитель 6734. Это четное число: $6734 = 2 \cdot 3367$.
Выполним деление, подставив разложения:
$(48 \cdot 3367) : (2 \cdot 3367)$.
Сократим общий множитель 3367, получим $48 : 2 = 24$.
Ответ: 24

Проверьте равенства калькулятором (294, 295).

294. а) $9735 + 7427 = 17162;$

б) $808 \cdot 404 = 326432;$

в) $808404 - 789789 = 18615;$

г) $273429 : 369 = 741.$

а) Проверяем равенство $9735 + 7427 = 17162$. Выполняем вычисление в левой части: $9735 + 7427 = 17162$. Результат совпадает с правой частью, следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство верно.

б) Проверяем равенство $808 \cdot 404 = 326432$. Выполняем вычисление в левой части: $808 \cdot 404 = 326432$. Результат совпадает с правой частью, следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство верно.

в) Проверяем равенство $808404 - 789789 = 18615$. Выполняем вычисление в левой части: $808404 - 789789 = 18615$. Результат совпадает с правой частью, следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство верно.

г) Проверяем равенство $273429 : 369 = 741$. Выполняем вычисление в левой части: $273429 : 369 = 741$. Результат совпадает с правой частью, следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство верно.

295. $0 \cdot 9 + 1 = 1$

$1 \cdot 9 + 2 = 11$

$12 \cdot 9 + 3 = 111$

$123 \cdot 9 + 4 = 1111$

$1234 \cdot 9 + 5 = 11111$

$12345 \cdot 9 + 6 = 111111$

$123456 \cdot 9 + 7 = 1111111$

$1234567 \cdot 9 + 8 = 11111111$

$1 \cdot 8 + 1 = 9$

$12 \cdot 8 + 2 = 98$

$123 \cdot 8 + 3 = 987$

$1234 \cdot 8 + 4 = 9876$

$12345 \cdot 8 + 5 = 98765$

$123456 \cdot 8 + 6 = 987654$

$1234567 \cdot 8 + 7 = 9876543$

$12345678 \cdot 8 + 8 = 98765432$

На изображении представлены две интересные математические закономерности. Объясним, почему они работают.

Первая закономерность

Рассмотрим первую последовательность равенств, где числа вида $0, 1, 12, 123, ...$ умножаются на 9, а затем к ним прибавляется возрастающее число $1, 2, 3, 4, ...$.

Давайте разберем на примере строки $123 \cdot 9 + 4 = 1111$.

Ключ к разгадке — это представить число 9 как $10-1$. Но есть более наглядный способ. Давайте посмотрим, чему равно произведение:

$123 \cdot 9 = 1107$

Теперь прибавим к результату 4:

$1107 + 4 = 1111$

Этот принцип сохраняется для всех строк. Если мы возьмем число, состоящее из последовательных цифр от 1 до $n$ (обозначим его $12...n$) и умножим на 9, результат будет очень близок к числу, состоящему из $(n+1)$ единиц. А именно:

$12...n \cdot 9 = \underbrace{11...1}_{n+1 \text{ раз}} - (n+1)$

Например, для $n=4$ (число 1234):

$1234 \cdot 9 = 11106$, что равно $11111 - 5$.

Таким образом, исходное равенство превращается в тождество:

$( \underbrace{11...1}_{n+1 \text{ раз}} - (n+1) ) + (n+1) = \underbrace{11...1}_{n+1 \text{ раз}}$

Ответ: Закономерность верна, так как произведение числа вида $12...n$ на $9$ дает результат, который при сложении с $(n+1)$ образует число, состоящее из $(n+1)$ единиц.

Вторая закономерность

Рассмотрим вторую последовательность, где числа $1, 12, 123, ...$ умножаются на 8, и к ним прибавляется число $1, 2, 3, ...$.

Эта закономерность является следствием первой. Воспользуемся тем, что $8 = 9 - 1$. Разберем на примере строки $1234 \cdot 8 + 4 = 9876$.

Представим выражение $1234 \cdot 8 + 4$ в другом виде:

$1234 \cdot (9 - 1) + 4$

Раскроем скобки:

$1234 \cdot 9 - 1234 + 4 = 1234 \cdot 9 - 1230$

Из первой закономерности мы знаем, что $1234 \cdot 9 = 11111 - 5 = 11106$. Подставим это значение:

$11106 - 1230 = 9876$

Результат совпал. Этот принцип работает для всех строк. Если обобщить, для числа $N = 12...n$ выражение имеет вид:

$N \cdot 8 + n = N \cdot (9-1) + n = (N \cdot 9) - N + n$

Используя знание из первой закономерности ($N \cdot 9 = \underbrace{11...1}_{n+1 \text{ раз}} - (n+1)$), мы получаем:

$(\underbrace{11...1}_{n+1 \text{ раз}} - (n+1)) - N + n = \underbrace{11...1}_{n+1 \text{ раз}} - N - 1$

Выполнение этого вычитания как раз и дает число с последовательно убывающими цифрами от 9.

Ответ: Закономерность верна и является следствием первой закономерности. Выражение $12...n \cdot 8 + n$ можно преобразовать к виду $(12...n \cdot 9) - 12...n + n$, что и дает в результате число с убывающими цифрами $987...$

296. Вычислите с помощью калькулятора:

a) $75^2 = 75 \cdot 75 = 5625$; 7 5 x 7 5 =

б) $311^2$;

в) $25^2$;

г) $5^3$;

д) $12^3$;

е) $7^7$;

ж) $8^8$.

б) Чтобы вычислить $311^2$, необходимо умножить число 311 на само себя. С помощью калькулятора выполняем операцию умножения:

$311 \cdot 311 = 96721$

Ответ: 96721

в) Чтобы вычислить $25^2$, необходимо умножить число 25 на само себя. С помощью калькулятора выполняем операцию умножения:

$25 \cdot 25 = 625$

Ответ: 625

г) Чтобы вычислить $5^3$, необходимо умножить число 5 на само себя три раза. С помощью калькулятора выполняем операцию умножения:

$5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

Ответ: 125

д) Чтобы вычислить $12^3$, необходимо умножить число 12 на само себя три раза. С помощью калькулятора выполняем операцию умножения:

$12 \cdot 12 \cdot 12 = 1728$

Ответ: 1728

е) Чтобы вычислить $7^7$, необходимо умножить число 7 на само себя семь раз. С помощью калькулятора выполняем операцию возведения в степень:

$7^7 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 823543$

Ответ: 823543

ж) Чтобы вычислить $8^8$, необходимо умножить число 8 на само себя восемь раз. С помощью калькулятора выполняем операцию возведения в степень:

$8^8 = 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 16777216$

Ответ: 16777216

297. У многих калькуляторов предусмотрено упрощение вычислений при возведении в степень:

$2^2 = 2 \cdot 2$;

[2] [x] [=]

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$;

[2] [x] [=] [=]

$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$.

[2] [x] [=] [=] [=]

Вычислите степень с помощью калькулятора:

а) $2^5$;

б) $2^6$;

в) $2^7$;

г) $2^8$;

д) $2^9$;

е) $2^{10}$;

ж) $3^{10}$;

з) $33^5$.

а) Чтобы вычислить степень $2^5$, необходимо умножить число 2 само на себя 5 раз:

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Ответ: 32

б) Чтобы найти $2^6$, можно использовать результат предыдущего вычисления, умножив его на 2:

$2^6 = 2^5 \cdot 2 = 32 \cdot 2 = 64$.

Ответ: 64

в) Аналогично вычисляем $2^7$, используя результат для $2^6$:

$2^7 = 2^6 \cdot 2 = 64 \cdot 2 = 128$.

Ответ: 128

г) Продолжаем вычисления для $2^8$:

$2^8 = 2^7 \cdot 2 = 128 \cdot 2 = 256$.

Ответ: 256

д) Вычисляем $2^9$:

$2^9 = 2^8 \cdot 2 = 256 \cdot 2 = 512$.

Ответ: 512

е) Находим значение $2^{10}$:

$2^{10} = 2^9 \cdot 2 = 512 \cdot 2 = 1024$.

Ответ: 1024

ж) Для вычисления $3^{10}$ можно воспользоваться свойством степеней, представив $10$ как $5 \cdot 2$. Тогда $3^{10} = (3^5)^2$.

Сначала вычислим $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.

Затем возведем полученный результат в квадрат: $243^2 = 243 \cdot 243 = 59049$.

Ответ: 59049

з) Вычислим $33^5$ путем последовательного умножения:

$33^2 = 33 \cdot 33 = 1089$.

$33^3 = 1089 \cdot 33 = 35937$.

$33^4 = 35937 \cdot 33 = 1185921$.

$33^5 = 1185921 \cdot 33 = 39135393$.

Ответ: 39135393