Номер 295, страница 65 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

295. $0 \cdot 9 + 1 = 1$

$1 \cdot 9 + 2 = 11$

$12 \cdot 9 + 3 = 111$

$123 \cdot 9 + 4 = 1111$

$1234 \cdot 9 + 5 = 11111$

$12345 \cdot 9 + 6 = 111111$

$123456 \cdot 9 + 7 = 1111111$

$1234567 \cdot 9 + 8 = 11111111$

$1 \cdot 8 + 1 = 9$

$12 \cdot 8 + 2 = 98$

$123 \cdot 8 + 3 = 987$

$1234 \cdot 8 + 4 = 9876$

$12345 \cdot 8 + 5 = 98765$

$123456 \cdot 8 + 6 = 987654$

$1234567 \cdot 8 + 7 = 9876543$

$12345678 \cdot 8 + 8 = 98765432$

На изображении представлены две интересные математические закономерности. Объясним, почему они работают.

Первая закономерность

Рассмотрим первую последовательность равенств, где числа вида $0, 1, 12, 123, ...$ умножаются на 9, а затем к ним прибавляется возрастающее число $1, 2, 3, 4, ...$.

Давайте разберем на примере строки $123 \cdot 9 + 4 = 1111$.

Ключ к разгадке — это представить число 9 как $10-1$. Но есть более наглядный способ. Давайте посмотрим, чему равно произведение:

$123 \cdot 9 = 1107$

Теперь прибавим к результату 4:

$1107 + 4 = 1111$

Этот принцип сохраняется для всех строк. Если мы возьмем число, состоящее из последовательных цифр от 1 до $n$ (обозначим его $12...n$) и умножим на 9, результат будет очень близок к числу, состоящему из $(n+1)$ единиц. А именно:

$12...n \cdot 9 = \underbrace{11...1}_{n+1 \text{ раз}} - (n+1)$

Например, для $n=4$ (число 1234):

$1234 \cdot 9 = 11106$, что равно $11111 - 5$.

Таким образом, исходное равенство превращается в тождество:

$( \underbrace{11...1}_{n+1 \text{ раз}} - (n+1) ) + (n+1) = \underbrace{11...1}_{n+1 \text{ раз}}$

Ответ: Закономерность верна, так как произведение числа вида $12...n$ на $9$ дает результат, который при сложении с $(n+1)$ образует число, состоящее из $(n+1)$ единиц.

Вторая закономерность

Рассмотрим вторую последовательность, где числа $1, 12, 123, ...$ умножаются на 8, и к ним прибавляется число $1, 2, 3, ...$.

Эта закономерность является следствием первой. Воспользуемся тем, что $8 = 9 - 1$. Разберем на примере строки $1234 \cdot 8 + 4 = 9876$.

Представим выражение $1234 \cdot 8 + 4$ в другом виде:

$1234 \cdot (9 - 1) + 4$

Раскроем скобки:

$1234 \cdot 9 - 1234 + 4 = 1234 \cdot 9 - 1230$

Из первой закономерности мы знаем, что $1234 \cdot 9 = 11111 - 5 = 11106$. Подставим это значение:

$11106 - 1230 = 9876$

Результат совпал. Этот принцип работает для всех строк. Если обобщить, для числа $N = 12...n$ выражение имеет вид:

$N \cdot 8 + n = N \cdot (9-1) + n = (N \cdot 9) - N + n$

Используя знание из первой закономерности ($N \cdot 9 = \underbrace{11...1}_{n+1 \text{ раз}} - (n+1)$), мы получаем:

$(\underbrace{11...1}_{n+1 \text{ раз}} - (n+1)) - N + n = \underbrace{11...1}_{n+1 \text{ раз}} - N - 1$

Выполнение этого вычитания как раз и дает число с последовательно убывающими цифрами от 9.

Ответ: Закономерность верна и является следствием первой закономерности. Выражение $12...n \cdot 8 + n$ можно преобразовать к виду $(12...n \cdot 9) - 12...n + n$, что и дает в результате число с убывающими цифрами $987...$