Страница 72 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

314. Из спичек сложены верные равенства. Надо в каждом из равенств переложить одну спичку так, чтобы получились другие верные равенства.

a) $IX-V=IV$

б) $VI+VI+VI=XVIII$

в) $XI-VI=VII-II$

г) $9-5=2+1$

д) $3+3=6$

е) $5-3=8-6$

а) Исходное верное равенство, записанное римскими цифрами: $IX - V = IV$. В арабской системе счисления это $9 - 5 = 4$.
Для получения нового верного равенства необходимо переложить одну спичку. Возьмем спичку, обозначающую цифру $I$ (единица) из числа $IX$ (девять), и переставим её к числу $V$ (пять). В результате число $IX$ превратится в $X$ (десять), а число $V$ — в $VI$ (шесть).
Получаем новое равенство: $X - VI = IV$.
Проверяем: $10 - 6 = 4$. Равенство верное.
Ответ: $X - VI = IV$

б) Исходное верное равенство: $VI + VI + VI = XVIII$. В арабской системе счисления это $6 + 6 + 6 = 18$.
Чтобы получить другое верное равенство, переложим одну спичку. Возьмем одну спичку $I$ (единица) из первого слагаемого $VI$ (шесть), превратив его в $V$ (пять). Эту спичку добавим ко второму слагаемому $VI$ (шесть), превратив его в $VII$ (семь).
Получаем новое равенство: $V + VII + VI = XVIII$.
Проверяем: $5 + 7 + 6 = 18$. Равенство верное.
Ответ: $V + VII + VI = XVIII$

в) Исходное верное равенство: $XI - VI = VII - II$. В арабской системе счисления это $11 - 6 = 7 - 2$, или $5 = 5$.
Для получения нового верного равенства переложим одну спичку. Возьмем спичку $I$ (единица) из числа $XI$ (одиннадцать), превратив его в $X$ (десять). Эту спичку добавим к числу $II$ (два) в правой части равенства, превратив его в $III$ (три).
Получаем новое равенство: $X - VI = VII - III$.
Проверяем: $10 - 6 = 7 - 3$, что равносильно $4 = 4$. Равенство верное.
Ответ: $X - VI = VII - III$

г) Исходное верное равенство: $9 - 6 = 2 + 1$. В числовом виде это $3 = 3$.
Чтобы получить другое верное равенство, переложим одну спичку. Возьмем вертикальную спичку из знака сложения «+», превратив его в знак вычитания «-». Эту спичку добавим к цифре $6$, чтобы получилась цифра $8$ (добавив спичку в левый верхний угол).
Получаем новое равенство: $9 - 8 = 2 - 1$.
Проверяем: $1 = 1$. Равенство верное.
Ответ: $9 - 8 = 2 - 1$

д) Исходное верное равенство: $3 + 3 = 6$.
Для получения нового верного равенства переложим одну спичку. Возьмем вертикальную спичку из знака сложения «+», превратив его в знак вычитания «-». Эту спичку переставим к первой цифре $3$, добавив её в левый верхний угол, чтобы получилась цифра $9$.
Получаем новое равенство: $9 - 3 = 6$.
Проверяем: $6 = 6$. Равенство верное.
Ответ: $9 - 3 = 6$

е) Исходное верное равенство: $5 - 3 = 8 - 6$. В числовом виде это $2 = 2$.
Чтобы получить другое верное равенство, переложим одну спичку. Возьмем верхнюю левую вертикальную спичку у цифры $6$, превратив её в цифру $5$. Эту же спичку поставим на пустое место в левом верхнем углу цифры $5$, превратив её в цифру $6$.
Получаем новое равенство: $6 - 3 = 8 - 5$.
Проверяем: $3 = 3$. Равенство верное.
Ответ: $6 - 3 = 8 - 5$

315. a) Гости спросили: сколько лет исполнилось каждой из трёх сестёр? Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой из сестёр?

б) На XXII Олимпийских играх в Москве (1980 г.) спортсмены СССР получили 195 медалей, из них 126 золотых и бронзовых, 149 золотых и серебряных. Сколько золотых, серебряных и бронзовых медалей в отдельности получили спортсмены СССР?

а)

Для решения задачи обозначим возраст каждой сестры переменной:
В – возраст Веры,
Н – возраст Нади,
Л – возраст Любы.

Исходя из условия, можно составить систему уравнений:
1. $В + Н = 28$
2. $Н + Л = 23$
3. $В + Н + Л = 38$

Мы знаем, что всем троим сёстрам вместе 38 лет, а Вере и Наде вместе 28 лет. Чтобы найти возраст Любы, нужно из общего возраста вычесть возраст Веры и Нади:
$Л = (В + Н + Л) - (В + Н) = 38 - 28 = 10$ лет.

Теперь мы знаем, что Любе 10 лет. Зная, что Наде и Любе вместе 23 года, можем найти возраст Нади:
$Н = (Н + Л) - Л = 23 - 10 = 13$ лет.

Наконец, зная, что Вере и Наде вместе 28 лет, а Наде 13 лет, найдем возраст Веры:
$В = (В + Н) - Н = 28 - 13 = 15$ лет.

Проверка: $15 + 13 + 10 = 38$. Всё верно.

Ответ: Вере 15 лет, Наде 13 лет, Любе 10 лет.

б)

Обозначим количество медалей каждого вида:
З – золотые медали,
С – серебряные медали,
Б – бронзовые медали.

Составим систему уравнений по условию задачи:
1. $З + Б = 126$
2. $З + С = 149$
3. $З + С + Б = 195$

Всего было получено 195 медалей. Из них 149 – золотые и серебряные. Значит, остальные – бронзовые. Найдём количество бронзовых медалей:
$Б = (З + С + Б) - (З + С) = 195 - 149 = 46$ медалей.

Теперь найдём количество серебряных медалей. Всего 195 медалей, из них 126 – золотые и бронзовые. Остальные – серебряные:
$С = (З + С + Б) - (З + Б) = 195 - 126 = 69$ медалей.

Зная количество серебряных и бронзовых медалей, можно найти количество золотых. Вычтем из общего числа медалей сумму серебряных и бронзовых:
$З = 195 - С - Б = 195 - 69 - 46 = 80$ медалей.

Проверка:
Золотых и бронзовых: $80 + 46 = 126$.
Золотых и серебряных: $80 + 69 = 149$.
Всего: $80 + 69 + 46 = 195$.
Условия задачи выполнены.

Ответ: спортсмены СССР получили 80 золотых, 69 серебряных и 46 бронзовых медалей.

316. a) В нашем классе коллекционируют только марки и монеты. Марки коллекционируют 8 человек, монеты — 5 человек. Всего коллекционеров 11. Объясните, как это может быть. Сколько человек коллекционируют только марки? Сколько — только монеты? (Решите задачу, используя рисунок 30.)

Марки — 8 Монеты — 5

11

Рис. 30

б) Из 38 учащихся класса 24 занимаются в хоре и 15 в лыжной секции. Сколько учащихся занимаются и в хоре, и в лыжной секции, если в классе нет учащихся, не посещающих занятий хора или лыжной секции?

в) Из 35 учащихся класса 12 участвовали в конкурсе чтецов, 10 — в конкурсе на лучший рисунок, 4 принимали участие в обоих конкурсах. Сколько учащихся не участвовало ни в одном конкурсе?

г) В нашем классе 32 учащихся. Из них 23 любят кошек, 18 — собак. Причём 10 учащихся любят и кошек, и собак. Сколько учащихся нашего класса не любят ни кошек, ни собак?

д) В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 учащихся, в кино — 21, а 5 учащихся не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько учащихся нашего класса ходили и на экскурсию, и в кино?

е) В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 учащихся, в кино и в музей — 6, а 2 учащихся не ходили ни в кино, ни на экскурсию. Сколько учащихся нашего класса ходили в кино?

а)

Объяснение: Если сложить количество коллекционеров марок (8) и количество коллекционеров монет (5), получится $8 + 5 = 13$ человек. Это больше, чем общее число коллекционеров (11). Такое возможно только в том случае, если некоторые ученики коллекционируют и марки, и монеты одновременно. Эти ученики посчитаны дважды: один раз как коллекционеры марок, и второй раз — как коллекционеры монет. Количество таких учеников равно разнице между суммой и общим числом коллекционеров.

1. Найдем, сколько человек коллекционируют и марки, и монеты (находятся в пересечении множеств):
$8 + 5 - 11 = 2$ (человека).

2. Теперь найдем, сколько человек коллекционируют только марки. Для этого из общего числа коллекционеров марок вычтем тех, кто коллекционирует и то, и другое:
$8 - 2 = 6$ (человек).

3. Аналогично найдем, сколько человек коллекционируют только монеты. Из общего числа коллекционеров монет вычтем тех, кто коллекционирует и то, и другое:
$5 - 2 = 3$ (человека).

Ответ: 2 человека коллекционируют и марки, и монеты, что и объясняет "лишних" людей при простом сложении. Только марки коллекционируют 6 человек, только монеты — 3 человека.

б)

Пусть $Х$ — множество учащихся, занимающихся в хоре, а $Л$ — множество учащихся, занимающихся в лыжной секции. По условию, в классе нет учащихся, не посещающих занятий, значит, общее число учащихся равно объединению этих двух множеств: $|Х \cup Л| = 38$.
Известно, что $|Х| = 24$ и $|Л| = 15$.
Чтобы найти количество учащихся, которые занимаются и в хоре, и в лыжной секции (то есть, размер пересечения множеств $|Х \cap Л|$), воспользуемся формулой включений-исключений:
$|Х \cup Л| = |Х| + |Л| - |Х \cap Л|$
Подставим известные значения:
$38 = 24 + 15 - |Х \cap Л|$
$38 = 39 - |Х \cap Л|$
$|Х \cap Л| = 39 - 38 = 1$.
Значит, 1 учащийся занимается и в хоре, и в лыжной секции.

Ответ: 1 учащийся.

в)

1. Сначала найдем общее количество учащихся, которые участвовали хотя бы в одном конкурсе. Для этого сложим количество участников каждого конкурса и вычтем тех, кто участвовал в обоих (так как их посчитали дважды):
$12 (\text{чтецы}) + 10 (\text{рисунок}) - 4 (\text{оба}) = 18$ (учащихся).
Итак, 18 учащихся приняли участие хотя бы в одном конкурсе.

2. Теперь, чтобы найти, сколько учащихся не участвовало ни в одном конкурсе, вычтем количество участников из общего числа учащихся в классе:
$35 (\text{всего}) - 18 (\text{участники}) = 17$ (учащихся).

Ответ: 17 учащихся.

г)

1. Найдем, сколько всего учащихся любят хотя бы одно из этих животных (кошек или собак). Для этого сложим количество тех, кто любит кошек, и тех, кто любит собак, а затем вычтем тех, кто любит и кошек, и собак:
$23 (\text{любят кошек}) + 18 (\text{любят собак}) - 10 (\text{любят обоих}) = 31$ (учащийся).
Таким образом, 31 учащийся любит кошек, или собак, или обоих.

2. Чтобы найти количество учащихся, которые не любят ни кошек, ни собак, вычтем полученное число из общего количества учащихся в классе:
$32 (\text{всего}) - 31 (\text{любят хотя бы одно}) = 1$ (учащийся).

Ответ: 1 учащийся.

д)

1. Сначала определим, сколько всего учащихся ходили либо на экскурсию, либо в кино, либо и туда, и туда. Для этого из общего числа учащихся вычтем тех, кто никуда не ходил:
$30 (\text{всего}) - 5 (\text{никуда не ходили}) = 25$ (учащихся).
Итак, 25 учащихся посетили хотя бы одно мероприятие.

2. Теперь найдем, сколько учащихся ходили и на экскурсию, и в кино. Если сложить тех, кто был на экскурсии, и тех, кто был в кино, мы дважды посчитаем тех, кто был и там, и там. Разница между этой суммой и числом, полученным в п.1, и будет искомым количеством:
$(23 (\text{на экскурсии}) + 21 (\text{в кино})) - 25 (\text{всего участников}) = 44 - 25 = 19$ (учащихся).

Ответ: 19 учащихся.

е)

1. Найдем общее количество учащихся, которые ходили хотя бы на одно из мероприятий (в музей или в кино). Для этого из общего числа учащихся вычтем тех, кто не ходил никуда:
$30 (\text{всего}) - 2 (\text{не ходили}) = 28$ (учащихся).
Итак, 28 учащихся были в музее, или в кино, или и там, и там.

2. Известно, что в музее было 23 человека, а и в музее, и в кино — 6 человек. Значит, только в музее (но не в кино) было:
$23 - 6 = 17$ (учащихся).

3. Мы знаем, что всего в мероприятиях участвовало 28 человек. Из них 17 были только в музее, а 6 — и в музее, и в кино. Оставшиеся — это те, кто был только в кино. Но вопрос стоит о том, сколько всего ходили в кино.
Воспользуемся формулой включений-исключений. Пусть $М$ — число ходивших в музей, $К$ — в кино.
$|М \cup К| = |М| + |К| - |М \cap К|$
$28 = 23 + |К| - 6$
$28 = 17 + |К|$
$|К| = 28 - 17 = 11$.
Всего в кино ходили 11 учащихся.

Ответ: 11 учащихся.