Страница 75 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

325. Учащиеся выполняли задание, в котором требуется найти пропущенные числа:

$\begin{pmatrix} \Box & 26 & 52 \\ 11 & \Box & 44 \end{pmatrix}$

У них получились разные ответы:

1) $\begin{pmatrix} 26 & 26 & 52 \\ 11 & 33 & 44 \end{pmatrix}$

2) $\begin{pmatrix} 19 & 26 & 52 \\ 11 & 18 & 44 \end{pmatrix}$

3) $\begin{pmatrix} 2 & 26 & 52 \\ 11 & 25 & 44 \end{pmatrix}$

Найдите правила, по которым ребята заполнили клетки, и придумайте ещё одно решение.

1)

В этом решении для каждой строки применяется отдельное правило.

• Правило для верхней строки: первое число равно второму. Так как второе число — 26, то пропущенное первое число тоже 26.
• Правило для нижней строки: третье число является суммой первого и второго. Чтобы найти пропущенное второе число, нужно из третьего числа (44) вычесть первое (11): $44 - 11 = 33$.

Ответ: пропущенные числа — 26 в верхней строке и 33 в нижней.

2)

В этом решении используется общее правило для всех столбцов.

• Правило: число в верхней ячейке на 8 больше, чем число в нижней ячейке того же столбца.
• Первый столбец: чтобы найти верхнее число, к нижнему числу (11) прибавляем 8: $11 + 8 = 19$.
• Второй столбец: чтобы найти нижнее число, из верхнего числа (26) вычитаем 8: $26 - 8 = 18$.

Для проверки можно использовать третий столбец: $52 - 44 = 8$. Правило выполняется.

Ответ: пропущенные числа — 19 в верхней строке и 18 в нижней.

3)

В данном решении используется общее правило для обеих строк.

• Правило: сумма всех чисел в каждой строке равна 80.
• Верхняя строка: чтобы найти пропущенное первое число, нужно из 80 вычесть сумму двух известных чисел: $80 - (26 + 52) = 80 - 78 = 2$.
• Нижняя строка: чтобы найти пропущенное второе число, нужно из 80 вычесть сумму двух известных чисел: $80 - (11 + 44) = 80 - 55 = 25$.

Ответ: пропущенные числа — 2 в верхней строке и 25 в нижней.

Ещё одно решение

Можно найти ещё одно решение, если применить другое правило.

• Правило: числа в каждой строке образуют геометрическую прогрессию с одинаковым знаменателем (каждое следующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число).
• Верхняя строка: сначала найдём знаменатель прогрессии, разделив третье число на второе: $52 / 26 = 2$. Теперь, чтобы найти первое число, нужно второе число (26) разделить на этот же знаменатель: $26 / 2 = 13$.
• Нижняя строка: используем тот же знаменатель прогрессии, равный 2. Чтобы найти второе число, умножим первое (11) на 2: $11 \times 2 = 22$. Проверим: если умножить полученное второе число (22) на 2, получим третье число: $22 \times 2 = 44$. Правило выполняется.

Ответ: пропущенные числа — 13 в верхней строке и 22 в нижней.

326. Докажите, что предыдущая задача имеет бесконечно много ре-шений.

Для того чтобы доказать, что предыдущая задача имеет бесконечно много решений, необходимо сделать предположение о её содержании. Характер вопроса указывает на то, что, скорее всего, в предыдущей задаче требовалось найти целочисленные решения линейного уравнения с двумя переменными вида:

$ax + by = c$

где $a, b, c$ — целые числа. Такие уравнения называют линейными диофантовыми уравнениями. Докажем, что если такое уравнение имеет хотя бы одно целочисленное решение, то оно имеет бесконечно много решений.

Доказательство:

Предположим, что найдено одно частное решение этого уравнения — пара целых чисел $(x_0, y_0)$. Это означает, что выполняется равенство:

$ax_0 + by_0 = c$

Пусть $(x, y)$ — любое другое целочисленное решение этого же уравнения. Тогда для него также справедливо равенство:

$ax + by = c$

Поскольку левые части обоих равенств равны $c$, мы можем их приравнять:

$ax + by = ax_0 + by_0$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить разности $x - x_0$ и $y - y_0$:

$a(x - x_0) = b(y_0 - y)$

Пусть $d = \text{НОД}(a, b)$ — наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$. Тогда мы можем представить $a$ и $b$ в виде $a = d \cdot a'$ и $b = d \cdot b'$, где числа $a'$ и $b'$ являются взаимно простыми, то есть $\text{НОД}(a', b') = 1$.

Подставим эти выражения в наше уравнение:

$d \cdot a' \cdot (x - x_0) = d \cdot b' \cdot (y_0 - y)$

Разделим обе части уравнения на $d$ (поскольку для существования решений $c$ должно делиться на $d$, $d \neq 0$, если $a$ и $b$ не равны нулю одновременно):

$a'(x - x_0) = b'(y_0 - y)$

Из этого равенства следует, что произведение $a'(x - x_0)$ делится на $b'$. Поскольку $a'$ и $b'$ взаимно просты, то множитель $(x - x_0)$ должен делиться на $b'$. Это можно записать в виде:

$x - x_0 = k \cdot b'$

где $k$ — некоторое целое число. Отсюда получаем общую формулу для $x$:

$x = x_0 + k \cdot b' = x_0 + k \cdot \frac{b}{d}$

Теперь подставим выражение для $(x - x_0)$ обратно в уравнение $a'(x - x_0) = b'(y_0 - y)$:

$a'(k \cdot b') = b'(y_0 - y)$

Сократив на $b'$ (предполагая $b \neq 0$), получим:

$k \cdot a' = y_0 - y$

Отсюда выразим $y$:

$y = y_0 - k \cdot a' = y_0 - k \cdot \frac{a}{d}$

Таким образом, мы получили общее решение уравнения в целых числах:

$x = x_0 + k \frac{b}{\text{НОД}(a, b)}$

$y = y_0 - k \frac{a}{\text{НОД}(a, b)}$

В этих формулах $(x_0, y_0)$ — это одно частное решение, а $k$ — произвольное целое число. Каждому целому значению $k$ (например, $k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$) соответствует своя уникальная пара чисел $(x, y)$, которая является решением исходного уравнения.

Поскольку множество целых чисел бесконечно, количество таких пар $(x, y)$ также бесконечно. Следовательно, если линейное диофантово уравнение имеет хотя бы одно решение, то оно имеет бесконечно много решений. Это и доказывает утверждение задачи.

Ответ: поскольку общее решение линейного диофантового уравнения с двумя переменными зависит от целочисленного параметра $k$, который может принимать бесконечное множество значений, то и само уравнение имеет бесконечно много решений, что и требовалось доказать.

327. Имеются два сосуда вместимостью 8 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана:

а) 3 л воды;

б) 7 л воды?

а) Чтобы отмерить 3 л воды, можно использовать разницу в объеме сосудов. Для этого нужно выполнить следующие действия:
1. Наполнить водой 8-литровый сосуд.
2. Из полного 8-литрового сосуда перелить воду в пустой 5-литровый сосуд до тех пор, пока он не наполнится.
3. В 8-литровом сосуде останется ровно $8 \text{ л} - 5 \text{ л} = 3 \text{ л}$ воды.
Ответ: в 8-литровом сосуде останется 3 л воды.

б) Чтобы отмерить 7 л воды, потребуется несколько переливаний:
1. Наполнить водой 5-литровый сосуд.
2. Перелить все 5 л из 5-литрового сосуда в пустой 8-литровый сосуд.
3. Снова полностью наполнить 5-литровый сосуд.
4. Из 5-литрового сосуда долить воду в 8-литровый сосуд (где уже есть 5 л) до его заполнения. В 8-литровый сосуд поместится еще $8 \text{ л} - 5 \text{ л} = 3 \text{ л}$. После этого в 5-литровом сосуде останется $5 \text{ л} - 3 \text{ л} = 2 \text{ л}$ воды.
5. Полностью опустошить 8-литровый сосуд.
6. Перелить 2 л воды, оставшиеся в 5-литровом сосуде, в пустой 8-литровый сосуд.
7. Снова наполнить 5-литровый сосуд доверху.
8. Перелить 5 л воды из 5-литрового сосуда в 8-литровый, где уже находится 2 л. В результате в 8-литровом сосуде будет $2 \text{ л} + 5 \text{ л} = 7 \text{ л}$ воды.
Ответ: в 8-литровом сосуде окажется 7 л воды.

328. Из нескольких монет только одна фальшивая — она легче остальных. Как с помощью чашечных весов без гирь определить фальшивую монету:

а) за одно взвешивание, если монет 3;

б) за два взвешивания, если монет 9;

в) за три взвешивания, если монет 27?

а) за одно взвешивание, если монет 3;
Пронумеруем монеты: 1, 2, 3. Положим на левую чашу весов монету 1, а на правую — монету 2. Монета 3 остается в стороне.
Возможны три результата:
1. Весы в равновесии. Это означает, что монеты 1 и 2 имеют одинаковый вес, то есть они настоящие. Следовательно, фальшивая монета — та, что осталась в стороне (монета 3).
2. Левая чаша весов легче (поднялась вверх). Это означает, что монета 1 легче монеты 2. Поскольку фальшивая монета легче настоящей, то фальшивая — монета 1.
3. Правая чаша весов легче (поднялась вверх). Это означает, что монета 2 легче монеты 1. Следовательно, фальшивая — монета 2.
Ответ: Положить по одной монете на каждую чашу весов. Если весы в равновесии, то фальшивая третья монета. Если одна из чаш легче, то на ней и находится фальшивая монета.

б) за два взвешивания, если монет 9;
Разделим все 9 монет на три группы по 3 монеты в каждой. Назовем их группа 1, группа 2 и группа 3.
Первое взвешивание: Положим на левую чашу весов группу 1, а на правую — группу 2.
- Если весы в равновесии, значит, все монеты на весах настоящие, а фальшивая находится в группе 3.
- Если левая чаша легче, значит, фальшивая монета находится в группе 1.
- Если правая чаша легче, значит, фальшивая монета находится в группе 2.
Таким образом, после первого взвешивания мы определили группу из трех монет, в которой находится фальшивая.
Второе взвешивание: Берем ту группу из трех монет, в которой оказалась фальшивая, и находим в ней более легкую монету за одно взвешивание, как описано в пункте а).
Ответ: Разделить монеты на 3 группы по 3 монеты. Сравнить вес первых двух групп. Если они равны, то фальшивая монета в третьей группе. Если одна из групп легче, то фальшивая в ней. Далее для найденной группы из 3-х монет применить алгоритм из пункта а).

в) за три взвешивания, если монет 27?
Принцип решения аналогичен предыдущему пункту. Каждое взвешивание позволяет втрое сократить число "подозреваемых" монет.
Первое взвешивание: Разделим 27 монет на три группы по 9 монет. Положим на чаши весов первую и вторую группы. Если весы в равновесии, фальшивая монета в третьей группе. Если какая-то чаша легче — то в группе на этой чаше. В результате мы определим группу из 9 монет, содержащую фальшивую. У нас осталось два взвешивания.
Второе взвешивание: Берем найденную группу из 9 монет и применяем к ней алгоритм из пункта б). То есть, делим ее на три подгруппы по 3 монеты, взвешиваем две из них и определяем, в какой из трех подгрупп находится фальшивая монета. У нас осталось одно взвешивание.
Третье взвешивание: Берем найденную подгруппу из 3 монет и применяем к ней алгоритм из пункта а), чтобы окончательно найти фальшивую монету.
Этот метод позволяет находить одну легкую фальшивую монету из $3^n$ монет за $n$ взвешиваний.
Ответ: Разделить монеты на 3 группы по 9 монет. Первым взвешиванием определить, в какой из групп находится фальшивая монета. Для найденной группы из 9 монет применить алгоритм из пункта б) за оставшиеся два взвешивания.

329. Используя три цифры 5, знаки арифметических действий и скобки, составьте несколько выражений, имеющих различные значения.

Для составления выражений с различными значениями можно использовать три цифры 5, знаки арифметических действий (+, -, ·, /) и скобки. Скобки меняют порядок действий, а из цифр можно составлять числа (например, 55). Ниже представлено несколько возможных выражений и их значения.

1. Выражение со значением 0:
Сначала выполним вычитание в скобках, а затем умножение.
$(5 - 5) \cdot 5 = 0 \cdot 5 = 0$
Ответ: 0

2. Выражение со значением 1:
Результат деления двух пятерок, умноженный на третью.
$(5 / 5) \cdot 5 = 1 \cdot 5 = 5$
Хотя нет, это даст 5. Попробуем иначе.
$5 / 5 \cdot 5 / 5 = 1 \cdot 1 = 1$
Нет, так нельзя, у нас только три пятерки. Правильный вариант:
$(5 + 5) / (5 + 5) = 1$
Нет, так тоже нельзя, четыре пятерки. Вот правильный вариант:
$5 / 5 - 5 + 5 = 1$
Тоже четыре пятерки.
Правильный вариант с тремя пятерками:
$(5-5)+5/5 = 0+1=1$
Нет, это четыре пятерки.
Попробуем так:
$5 / (5 \cdot 5 / 5) = 1$
Или так:
$(5/5) / (5/5) = 1$ - не подходит.
Вот верный вариант:
$5 - 5 + 5/5 = 0 + 1 = 1$.
Опять не то.
Попробуем так:
$5 / 5 + 5 - 5 = 1$.
И снова четыре пятерки.
Значит, так:
$(5 + 5 - 5) / 5 = 1$.
Да.
Ответ: 1

2. Выражение со значением 2:
Сначала выполним сложение в скобках, а затем деление.
$(5 + 5) / 5 = 10 / 5 = 2$
Ответ: 2

3. Выражение со значением 4:
Из 5 вычитается результат деления 5 на 5.
$5 - 5 / 5 = 5 - 1 = 4$
Ответ: 4

4. Выражение со значением 6:
К результату деления 5 на 5 прибавляется 5.
$5 / 5 + 5 = 1 + 5 = 6$
Ответ: 6

5. Выражение со значением 20:
Сначала выполняется умножение, а затем вычитание.
$5 \cdot 5 - 5 = 25 - 5 = 20$
Ответ: 20

6. Выражение со значением 30:
Сначала выполняется умножение, а затем сложение.
$5 \cdot 5 + 5 = 25 + 5 = 30$
Ответ: 30

7. Выражение со значением 50:
Здесь можно использовать сложение в скобках и умножение, либо составить число 55.
$(5 + 5) \cdot 5 = 10 \cdot 5 = 50$
Или: $55 - 5 = 50$
Ответ: 50

8. Выражение со значением 125:
Все три пятерки перемножаются.
$5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$
Ответ: 125

330. Верёвку разрезали на части. При этом сделали 6 разрезов. Сколько частей получилось?

Чтобы определить, сколько частей верёвки получилось, можно рассуждать следующим образом.

Изначально у нас есть одна целая верёвка.

• Когда мы делаем первый разрез, мы делим одну часть на две, и у нас получается 2 части.
• Когда мы делаем второй разрез, мы разрезаем одну из уже имеющихся частей, и общее количество частей увеличивается на одну. Получается 3 части.
• Третий разрез снова увеличивает количество частей на одну, и их становится 4.

Можно заметить закономерность: количество частей всегда на одну больше, чем количество сделанных разрезов. Эту зависимость можно выразить формулой, где $N$ — количество разрезов:

Количество частей = $N + 1$

По условию задачи было сделано 6 разрезов ($N=6$). Подставим это значение в формулу:

Количество частей = $6 + 1 = 7$

Ответ: 7 частей.

331. Имеются брёвна по 4 м и 5 м. Сколько брёвен каждого вида надо распилить, чтобы получить 42 бревна по 1 м и сделать наименьшее число распилов?

Пусть $x$ — это количество брёвен длиной 4 м, а $y$ — количество брёвен длиной 5 м, которые нужно распилить.

Чтобы получить 42 бревна по 1 м, общее количество метровых брёвен, полученных после распила, должно быть равно 42. Из одного 4-метрового бревна получается 4 бревна по 1 м, а из одного 5-метрового — 5. Это условие можно записать в виде уравнения:
$4x + 5y = 42$
где $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами, так как они обозначают количество брёвен.

Далее определим общее количество распилов. Чтобы получить $n$ частей из одного бревна, нужно сделать $n-1$ распил.
Следовательно, для распила одного 4-метрового бревна на метровые части требуется $4 - 1 = 3$ распила.
Для распила одного 5-метрового бревна требуется $5 - 1 = 4$ распила.
Общее количество распилов ($C$), которое необходимо минимизировать, выражается формулой:
$C = 3x + 4y$

Теперь найдём все возможные комбинации брёвен, то есть все пары целых неотрицательных чисел $(x, y)$, которые являются решением уравнения $4x + 5y = 42$.
Выразим $x$ из уравнения: $4x = 42 - 5y$. Так как $x$ не может быть отрицательным ($x \ge 0$), то $42 - 5y \ge 0$, откуда $5y \le 42$, или $y \le 8.4$. Также правая часть уравнения, $42 - 5y$, должна делиться на 4 без остатка.
Проверим все возможные целые значения $y$ от 0 до 8:
- при $y=0$, $4x=42$ (решение $x=10.5$ не является целым).
- при $y=1$, $4x=37$ (не делится на 4).
- при $y=2$, $4x=32$, откуда $x=8$. Получаем первую возможную комбинацию: 8 брёвен по 4 м и 2 бревна по 5 м.
- при $y=3$, $4x=27$ (не делится на 4).
- при $y=4$, $4x=22$ (не делится на 4).
- при $y=5$, $4x=17$ (не делится на 4).
- при $y=6$, $4x=12$, откуда $x=3$. Получаем вторую возможную комбинацию: 3 бревна по 4 м и 6 брёвен по 5 м.
- при $y=7$, $4x=7$ (не делится на 4).
- при $y=8$, $4x=2$ (не делится на 4).
Таким образом, существует всего два подходящих варианта.

Теперь для каждого из двух вариантов рассчитаем общее число распилов $C = 3x + 4y$, чтобы выбрать тот, где оно наименьшее.
1. Для варианта ($x=8, y=2$): $C_1 = 3 \cdot 8 + 4 \cdot 2 = 24 + 8 = 32$ распила.
2. Для варианта ($x=3, y=6$): $C_2 = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 6 = 9 + 24 = 33$ распила.

Сравнивая количество распилов ($32 < 33$), мы приходим к выводу, что наименьшее число распилов равно 32 и достигается при использовании 8 брёвен по 4 м и 2 брёвен по 5 м.
Ответ: для получения 42 брёвен по 1 м с наименьшим числом распилов необходимо распилить 8 брёвен по 4 м и 2 бревна по 5 м.