Страница 82 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

361. В тетради постройте три отрезка различной длины. С помощью циркуля и линейки постройте отрезки, им равные.

Для выполнения этого задания сначала необходимо с помощью линейки начертить в тетради три отрезка, которые имеют разную длину. Обозначим концы этих отрезков буквами, например, получим отрезки $AB$, $CD$ и $EF$.

Затем для каждого из этих отрезков нужно построить равный ему отрезок, используя только циркуль и линейку (без шкалы). Алгоритм построения для всех отрезков одинаков. Рассмотрим его подробно на примере построения отрезка, равного отрезку $AB$.

1. С помощью линейки проводим произвольную прямую (или луч) и отмечаем на ней точку $A_1$. Эта точка будет служить началом нового отрезка.
2. Берем циркуль и измеряем им длину исходного отрезка $AB$. Для этого устанавливаем иглу циркуля в точку $A$, а ножку с грифелем — в точку $B$. Теперь расстояние между ножками циркуля (его раствор) равно длине отрезка $AB$.
3. Не изменяя раствор циркуля, переносим его и устанавливаем иглу в отмеченную нами точку $A_1$ на прямой.
4. Проводим циркулем дугу так, чтобы она пересекла нашу прямую. Точку пересечения обозначаем $B_1$.

Полученный отрезок $A_1B_1$ и есть искомый отрезок, равный отрезку $AB$. Его длина по построению равна раствору циркуля, который мы установили равным длине отрезка $AB$, следовательно, $A_1B_1 = AB$.

Аналогичную последовательность действий необходимо выполнить для двух оставшихся отрезков ($CD$ и $EF$), чтобы построить равные им отрезки $C_1D_1$ и $E_1F_1$.

Ответ: Сначала чертятся три отрезка различной длины. Затем для построения равного отрезка для каждого из них выполняется следующая последовательность действий: 1) проводится произвольная прямая и на ней отмечается точка — начало нового отрезка; 2) с помощью циркуля измеряется длина исходного отрезка; 3) полученный раствор циркуля откладывается на новой прямой от начальной точки, отмечая дугой конечную точку. Повторив эту процедуру трижды, мы получим три отрезка, равных исходным.

362. В тетради постройте отрезок. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок:

а) в 2 раза больший первого;

б) в 3 раза больший первого.

Для решения задачи сначала построим в тетради произвольный отрезок. Обозначим его концы буквами $A$ и $B$. Затем, с помощью линейки (без делений), начертим произвольный луч с началом в точке $O$. На этом луче мы будем строить новые отрезки.

Чтобы построить отрезок, в 2 раза больший отрезка $AB$, выполним следующие действия:

1. С помощью циркуля измерим длину отрезка $AB$. Для этого установим ножку циркуля в точку $A$, а грифель — в точку $B$.
2. Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в начало луча — точку $O$ — и проведем дугу так, чтобы она пересекла луч. Точку пересечения обозначим $C$. Таким образом, мы отложили на луче отрезок $OC$, равный исходному отрезку $AB$ ($|OC| = |AB|$).
3. Далее, не меняя раствора циркуля, установим его ножку в точку $C$ и снова проведем дугу, пересекающую луч в новой точке. Обозначим эту точку $D$. Таким образом, мы отложили отрезок $CD$, также равный исходному отрезку $AB$ ($|CD| = |AB|$).

В результате мы получили отрезок $OD$. Его длина равна сумме длин отрезков $OC$ и $CD$. Следовательно, $|OD| = |OC| + |CD| = |AB| + |AB| = 2 \cdot |AB|$.
Ответ: Построенный отрезок $OD$ в 2 раза больше исходного отрезка $AB$.

Чтобы построить отрезок, в 3 раза больший отрезка $AB$, необходимо повторить процедуру откладывания отрезка $AB$ на луче три раза подряд:

1. Выполняем шаги 1-3 из предыдущего пункта. В результате у нас уже построен отрезок $OD$, длина которого в 2 раза больше длины отрезка $AB$.
2. Не меняя раствора циркуля (который по-прежнему равен длине $AB$), установим его ножку в точку $D$ и проведем еще одну дугу, пересекающую луч в новой точке. Обозначим эту точку $E$. Отрезок $DE$ также будет равен отрезку $AB$ ($|DE| = |AB|$).

В результате мы получили отрезок $OE$. Его длина равна сумме длин трех отложенных отрезков. Следовательно, $|OE| = |OC| + |CD| + |DE| = |AB| + |AB| + |AB| = 3 \cdot |AB|$.
Ответ: Построенный отрезок $OE$ в 3 раза больше исходного отрезка $AB$.

363. Как называют отрезок, длина которого принята за единицу измерения?

Отрезок, длина которого принята за единицу измерения, называется единичным отрезком. Этот отрезок является эталоном, с которым сравниваются длины всех остальных отрезков. Например, на координатной прямой расстояние между точками с координатами $0$ и $1$ как раз и является единичным отрезком.

Ответ: единичный отрезок.

364. Что называют расстоянием между двумя точками?

Расстоянием между двумя точками в евклидовой геометрии называется длина отрезка прямой, который соединяет эти две точки. Это неотрицательное число, которое показывает, насколько далеко одна точка находится от другой.

В координатной системе расстояние можно вычислить с помощью формул, основанных на теореме Пифагора.

Если на плоскости заданы две точки с координатами $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, то расстояние $d$ между ними находится по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

В трёхмерном пространстве для точек $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ формула для вычисления расстояния выглядит так:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Понятие расстояния обладает тремя основными свойствами (аксиомами метрики):

1. Неотрицательность: Расстояние не может быть отрицательным. Оно равно нулю только в том случае, если точки совпадают. $d(A, B) \ge 0$, и $d(A, B) = 0$ тогда и только тогда, когда $A = B$.

2. Симметричность: Расстояние от точки А до точки B равно расстоянию от точки B до точки А. $d(A, B) = d(B, A)$.

3. Неравенство треугольника: Длина любой стороны треугольника не превышает суммы длин двух других его сторон. Для любых трёх точек A, B и C выполняется неравенство: $d(A, C) \le d(A, B) + d(B, C)$.

Ответ: Расстоянием между двумя точками называют длину отрезка, соединяющего эти точки.

365. Постройте отрезки длиной 7 см, 11 см 4 мм, 14 см 6 мм.

Для построения отрезков заданной длины понадобится линейка с сантиметровыми и миллиметровыми делениями и карандаш. Построение выполняется на ровной поверхности, например, на листе бумаги.

7 см

Чтобы построить отрезок длиной 7 см, необходимо выполнить следующие действия:
1. Приложить линейку к бумаге.
2. Поставить точку в начале отсчета (напротив деления «0»). Это будет начало отрезка.
3. Найти на шкале линейки деление, соответствующее 7 см.
4. Поставить вторую точку напротив этого деления. Это будет конец отрезка.
5. Соединить две поставленные точки прямой линией, проведя ее вдоль края линейки.

Ответ: Построен отрезок длиной 7 см.

11 см 4 мм

Длина этого отрезка задана в сантиметрах и миллиметрах. Для удобства можно выразить ее в одной единице измерения. Вспомним, что $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
Тогда $11 \text{ см} 4 \text{ мм} = 11 \times 10 \text{ мм} + 4 \text{ мм} = 110 \text{ мм} + 4 \text{ мм} = 114 \text{ мм}$.
Также можно выразить длину в сантиметрах: $11 \text{ см} 4 \text{ мм} = 11 \text{ см} + 0.4 \text{ см} = 11.4 \text{ см}$.
Алгоритм построения:

1. Приложить линейку к бумаге.
2. Поставить начальную точку отрезка напротив деления «0».
3. Найти на шкале линейки деление «11» (11 см).
4. Отсчитать от этого деления еще 4 маленьких деления, каждое из которых равно 1 мм.
5. Поставить конечную точку отрезка напротив четвертого миллиметрового деления после 11 см.
6. Соединить начальную и конечную точки прямой линией вдоль линейки.

Ответ: Построен отрезок длиной 11 см 4 мм.

14 см 6 мм

Аналогично предыдущему случаю, выразим длину в одной единице измерения.
В миллиметрах: $14 \text{ см} 6 \text{ мм} = 14 \times 10 \text{ мм} + 6 \text{ мм} = 140 \text{ мм} + 6 \text{ мм} = 146 \text{ мм}$.
В сантиметрах: $14 \text{ см} 6 \text{ мм} = 14 \text{ см} + 0.6 \text{ см} = 14.6 \text{ см}$.
Построение выполняется следующим образом:

1. Приложить линейку к бумаге.
2. Отметить начальную точку у нулевого деления линейки.
3. Найти на шкале деление «14» (14 см).
4. Отсчитать от деления «14» еще 6 миллиметровых делений.
5. Отметить конечную точку напротив шестого миллиметрового деления после 14 см.
6. Соединить начальную и конечную точки, проведя линию вдоль линейки.

Ответ: Построен отрезок длиной 14 см 6 мм.

366. С помощью линейки постройте отрезок, длина которого равна:

а) сумме длин отрезков, изображённых на рисунке 52: $AB + CD$;

б) разности длин отрезков, изображённых на рисунке 52: $AB - CD$.

Рис. 52

Для решения этой задачи воспользуемся линейкой. Обозначим длину отрезка AB как $L_{AB}$ и длину отрезка CD как $L_{CD}$.

а) Чтобы построить отрезок, длина которого равна сумме длин отрезков AB и CD, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить произвольную прямую и отметить на ней начальную точку, например, точку E.
2. С помощью линейки измерить длину отрезка AB.
3. Отложить от точки E на прямой отрезок, равный по длине отрезку AB, и отметить его конец — точку F. Длина отрезка EF равна $L_{AB}$.
4. Измерить линейкой длину отрезка CD.
5. Отложить от точки F на прямой, в том же направлении от точки E, отрезок, равный по длине отрезку CD, и отметить его конец — точку G. Длина отрезка FG равна $L_{CD}$.
6. Полученный отрезок EG и будет искомым отрезком. Его длина $L_{EG}$ равна сумме длин отрезков AB и CD: $L_{EG} = L_{EF} + L_{FG} = L_{AB} + L_{CD}$.

Ответ: Построен отрезок EG, длина которого равна сумме длин отрезков AB и CD.

б) Чтобы построить отрезок, длина которого равна разности длин отрезков AB и CD, необходимо выполнить следующие шаги (из рисунка видно, что отрезок AB длиннее отрезка CD, поэтому будем вычитать длину CD из длины AB):

1. Начертить произвольную прямую и отметить на ней начальную точку, например, точку H.
2. С помощью линейки измерить длину большего отрезка AB.
3. Отложить от точки H на прямой отрезок, равный по длине отрезку AB, и отметить его конец — точку I. Длина отрезка HI равна $L_{AB}$.
4. Измерить линейкой длину меньшего отрезка CD.
5. Отложить от точки I отрезок, равный по длине отрезку CD, но в обратном направлении (в сторону точки H), и отметить его конец — точку J. Длина отрезка JI равна $L_{CD}$.
6. Полученный отрезок HJ и будет искомым отрезком. Его длина $L_{HJ}$ равна разности длин отрезков AB и CD: $L_{HJ} = L_{HI} - L_{JI} = L_{AB} - L_{CD}$.

Ответ: Построен отрезок HJ, длина которого равна разности длин отрезков AB и CD.