Страница 80 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

346. Проведите прямую $AB$ и вне её точку $C$. Через точку $C$ проведите прямую, параллельную прямой $AB$.

Для решения данной задачи, то есть для построения прямой, параллельной данной прямой AB и проходящей через точку C, не лежащую на ней, используется классический метод построения с помощью циркуля и линейки. Метод основан на построении равных накрест лежащих углов.

Построение:

1. Проводим произвольную прямую и отмечаем на ней точки A и B. Вне этой прямой ставим точку C.

2. Проводим через точку C и любую точку на прямой AB (для удобства возьмем точку A) вспомогательную прямую-секущую AC. При этом образуется угол $\angle CAB$.

3. Теперь необходимо построить угол с вершиной в точке C, который будет равен углу $\angle CAB$ и будет являться накрест лежащим с ним относительно секущей AC. Для этого выполним следующие шаги:

   1. С центром в точке A проводим циркулем дугу произвольного радиуса r. Эта дуга пересечет прямую AB в точке, назовем ее K, и прямую AC в точке L.

   2. Не изменяя раствор циркуля (то есть, с тем же радиусом r), проводим дугу с центром в точке C. Эта дуга пересечет прямую AC в точке M (точка M должна лежать на луче CA по другую сторону от C, нежели точка A).

   3. Измеряем циркулем расстояние между точками K и L.

   4. С этим расстоянием в качестве радиуса проводим новую дугу с центром в точке M. Эта дуга пересечет дугу, построенную в шаге 2. Обозначим точку их пересечения буквой N.

4. Проводим прямую через точки C и N. Обозначим эту прямую как c.

Обоснование:

В результате нашего построения угол $\angle MCN$ равен углу $\angle LAK$ (то есть $\angle MCN = \angle CAB$). Эти углы являются накрест лежащими при прямых AB и c и секущей AC. Согласно признаку параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, прямая $c \parallel AB$.

Ответ: Построенная прямая c (проходящая через точки C и N) проходит через заданную точку C и параллельна заданной прямой AB.

347. Сколько прямых можно провести через одну точку?

Через одну точку можно провести бесконечное множество прямых. Это одна из фундаментальных аксиом геометрии.

Давайте разберемся, почему это так. Для того чтобы однозначно задать прямую, необходимо указать две различные точки, через которые она проходит. Если у нас есть только одна точка, назовем ее $A$, то второй точки для фиксации прямой у нас нет. Мы можем выбрать любую другую точку $B$ на плоскости (или в пространстве), и через точки $A$ и $B$ пройдет одна-единственная прямая.

Поскольку мы можем выбрать вторую точку $B$ в любом из бесконечного числа мест, то и прямых, проходящих через точку $A$, мы можем провести бесконечно много. Каждая новая точка, не лежащая на уже проведенных прямых, будет задавать новую прямую, проходящую через точку $A$.

Можно представить это наглядно: точка — это центр, а прямые — это лучи, расходящиеся из этого центра во всех возможных направлениях. Так как направлений бесконечно много, то и прямых, проходящих через эту точку, тоже бесконечно много.

Ответ: через одну точку можно провести бесконечно много прямых.

348. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Сколько прямых проведено?

Для решения этой задачи воспользуемся одной из основных аксиом геометрии, которая гласит: через любые две точки, не совпадающие друг с другом, можно провести прямую, и притом только одну.

В условии даны три точки. Обозначим их для наглядности буквами A, B и C.

По условию, эти три точки не лежат на одной прямой. Это означает, что каждая прямая, проведенная через любую пару из этих точек, будет уникальной.

Теперь перечислим все возможные пары точек, через которые можно провести прямые:

• Первая прямая: через точки A и B.
• Вторая прямая: через точки B и C.
• Третья прямая: через точки A и C.

Больше никаких комбинаций из двух точек составить нельзя. Таким образом, мы можем провести ровно три прямые.

Эту задачу также можно решить с помощью формулы из комбинаторики для нахождения числа сочетаний. Нам нужно найти, сколькими способами можно выбрать 2 точки из 3 имеющихся. Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число точек $n = 3$, а для проведения прямой мы выбираем $k = 2$ точки.

Подставим значения в формулу:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Ответ: 3.

349. Даны четыре точки так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Сколько прямых проведено?

Чтобы найти количество прямых, которые можно провести через четыре точки, нужно определить, сколько уникальных пар точек можно составить из этих четырех. По условию задачи, никакие три точки не лежат на одной прямой, поэтому каждая пара точек определяет одну и только одну прямую.

Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Метод перебора

Обозначим точки цифрами 1, 2, 3 и 4. Теперь последовательно перечислим все возможные прямые, которые можно провести через эти точки:

• Через точку 1 можно провести прямые к точкам 2, 3 и 4. Получаем 3 прямые: (1,2), (1,3), (1,4).
• Через точку 2 можно провести прямые к точкам 3 и 4. Прямая к точке 1 (2,1) уже учтена как (1,2). Получаем 2 новые прямые: (2,3), (2,4).
• Через точку 3 можно провести прямую к точке 4. Прямые к точкам 1 и 2 уже учтены. Получаем 1 новую прямую: (3,4).
• Для точки 4 все возможные прямые (к точкам 1, 2 и 3) уже были посчитаны.

Теперь сложим количество уникальных прямых: $3 + 2 + 1 = 6$.

Способ 2: Использование формулы сочетаний

Эта задача является классической задачей комбинаторики. Нам нужно выбрать 2 точки из 4, чтобы определить прямую. Порядок выбора точек не имеет значения (прямая, проходящая через точки А и Б, — это та же самая прямая, что и через точки Б и А). Следовательно, мы должны вычислить число сочетаний из 4 элементов по 2.

Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит так:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае:
$n = 4$ (общее количество точек).
$k = 2$ (количество точек, необходимое для проведения одной прямой).

Подставляем значения в формулу:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 6

350. На сколько частей прямая делит плоскость?

Для ответа на этот вопрос обратимся к одной из основных аксиом планиметрии, известной как аксиома разбиения плоскости. Она гласит, что любая прямая, лежащая в плоскости, делит множество всех точек этой плоскости, не принадлежащих прямой, на два непересекающихся подмножества. Эти подмножества называются открытыми полуплоскостями.

Проще говоря, если представить плоскость как бесконечный ровный стол, а прямую — как бесконечную тонкую нить, натянутую на этом столе, то эта нить разделит всю поверхность стола на две части. Каждая точка плоскости будет находиться либо по одну сторону от прямой, либо по другую, либо на самой прямой. Области по обе стороны от прямой и являются теми частями, на которые она делит плоскость. Эти части называются полуплоскостями, а сама прямая — их общей границей.

Таким образом, любая прямая делит плоскость на две части.

Ответ: 2

351. На сколько частей делят плоскость две прямые, если они:

а) пересекаются;

б) параллельны?

а) пересекаются

Когда мы проводим на плоскости одну прямую, она делит эту плоскость на 2 части. Если мы проведем вторую прямую так, чтобы она пересекала первую, то вторая прямая пройдет через обе из этих двух частей. Пересекая каждую часть, вторая прямая разделит ее на две новые. Таким образом, общее количество частей станет в два раза больше, чем было после проведения первой прямой.
Количество частей = $2 \times 2 = 4$.
Визуально это можно представить как четыре угла, образовавшихся в точке пересечения двух прямых. Каждая из этих четырех областей является частью, на которую разделена плоскость.

Ответ: 4.

б) параллельны

Первая прямая делит плоскость на 2 части. Если вторая прямая параллельна первой, то она не будет ее пересекать. Это означает, что вторая прямая целиком окажется в одной из двух частей, образованных первой прямой. Пройдя через эту часть, вторая прямая разделит ее на две, в то время как другая часть останется целой.
Таким образом, общее количество частей будет равно сумме разделенной части (которая стала двумя) и нетронутой части (оставшейся одной).
Количество частей = $2 + 1 = 3$.
Это можно представить как три области: область с одной стороны от первой прямой, область между двумя параллельными прямыми и область с другой стороны от второй прямой.

Ответ: 3.

352. На сколько частей можно разделить плоскость тремя прямыми?

Количество частей, на которые три прямые могут разделить плоскость, зависит от их взаимного расположения. Рассмотрим все возможные случаи, предполагая, что прямые различны.

Случай 1: Все три прямые параллельны друг другу.
Первая прямая делит плоскость на 2 части. Каждая следующая параллельная прямая добавляет еще одну часть.

• 1 прямая: 2 части.
• 2 параллельные прямые: $2 + 1 = 3$ части.
• 3 параллельные прямые: $3 + 1 = 4$ части.

Ответ: 4 части.

Случай 2: Две прямые параллельны, а третья их пересекает.
Две параллельные прямые изначально делят плоскость на 3 части. Третья прямая, пересекая их, проходит через все 3 эти части, разделяя каждую из них на две. Таким образом, она добавляет 3 новые части к уже существующим. Общее количество частей: $3 + 3 = 6$.
Ответ: 6 частей.

Случай 3: Все три прямые пересекаются в одной точке.
Две пересекающиеся прямые делят плоскость на 4 части. Третья прямая, проходящая через их точку пересечения, разрезает две из четырёх образовавшихся областей (пару вертикальных углов). Это добавляет 2 новые части. Общее количество частей: $4 + 2 = 6$.
Ответ: 6 частей.

Случай 4: Прямые попарно пересекаются в трех различных точках (образуют треугольник).
Это случай так называемого общего положения, при котором достигается максимальное количество частей.

• Первая прямая делит плоскость на 2 части.
• Вторая прямая пересекает первую, добавляя 2 новые части. Всего: $2 + 2 = 4$ части.
• Третья прямая пересекает первые две в двух разных точках. Она проходит через 3 из 4 существующих областей, добавляя 3 новые части. Всего: $4 + 3 = 7$ частей.

Это значение можно также получить по общей формуле для максимального числа областей $L_n$, на которые $n$ прямых могут разделить плоскость: $L_n = \frac{n^2 + n + 2}{2}$.
При $n=3$: $L_3 = \frac{3^2 + 3 + 2}{2} = \frac{9 + 3 + 2}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
Ответ: 7 частей.

Таким образом, плоскость можно разделить тремя прямыми на 4, 6 или 7 частей.

353. Отметьте на листе бумаги точку, проведите несколько лучей с началом в этой точке. Сколько таких лучей можно провести?

Сначала выполним первую часть задания. Отметим на листе бумаги произвольную точку и назовем ее $O$. Эта точка будет служить началом для всех лучей, которые мы будем проводить.

Далее, из точки $O$ проведем несколько лучей. Луч — это часть прямой, которая имеет начало в одной точке и не имеет конца. Например, проведем лучи $OA$, $OB$ и $OC$. Каждому лучу, помимо начальной точки $O$, соответствует уникальное направление.

Теперь ответим на главный вопрос: сколько всего таких лучей можно провести из одной точки?

Каждый луч, исходящий из точки $O$, определяется своим направлением. Направлений из одной точки на плоскости существует бесконечно много. Мы можем представить это как проведение луча в сторону каждой точки на воображаемой окружности с центром в точке $O$. Поскольку на окружности бесконечное множество точек, то и направлений, а следовательно, и лучей, можно провести бесконечно много.

Иначе говоря, для любой точки на плоскости, отличной от точки $O$, существует единственный луч, который начинается в $O$ и проходит через эту другую точку. Так как на плоскости существует бесконечное множество точек, то и лучей, выходящих из точки $O$, можно провести бесконечно много.

Ответ: Из одной точки можно провести бесконечно много лучей.

354. Отметьте на прямой две точки A и B. Сколько получилось лучей с началом в этих точках?

Чтобы решить задачу, необходимо понять, что такое луч. Луч — это часть прямой линии, которая имеет начальную точку и уходит в бесконечность в одном направлении.

Когда мы ставим на бесконечной прямой одну точку, она делит эту прямую на два луча, которые начинаются в этой точке и направлены в противоположные стороны.

В нашей задаче на прямой отмечены две точки: А и В. Рассмотрим каждую из них как начальную точку для лучей:

Лучи с началом в точке А
Из точки А выходят два луча. Один луч направлен в сторону точки В и далее в бесконечность. Второй луч направлен в противоположную от точки В сторону. Итого, 2 луча.

Лучи с началом в точке В
Из точки В также выходят два луча. Один луч направлен в сторону точки А и далее в бесконечность. Второй луч направлен в противоположную от точки А сторону. Итого, еще 2 луча.

Все четыре полученных луча различны, так как у них либо разные начальные точки, либо разные направления.

Чтобы найти общее количество лучей, нужно сложить количество лучей, исходящих из каждой точки: $2 + 2 = 4$.

Ответ: 4.

355. Сколько получится лучей, если на прямой отметить:

а) 3 точки;

б) 5 точек;

в) 100 точек?

Каждая точка, отмеченная на прямой, является началом (вершиной) для двух лучей, которые направлены в противоположные стороны вдоль этой прямой. Следовательно, чтобы найти общее количество лучей, нужно количество отмеченных точек умножить на 2.

Если количество точек равно $n$, то количество лучей будет равно $2n$.

а) 3 точки

Если на прямой отметить 3 точки, то каждая из них будет являться началом для двух лучей.

Общее количество лучей равно: $3 \times 2 = 6$.

Ответ: 6.

б) 5 точек

Если на прямой отметить 5 точек, то из каждой точки будет исходить по два луча.

Общее количество лучей равно: $5 \times 2 = 10$.

Ответ: 10.

в) 100 точек

Если на прямой отметить 100 точек, то каждая точка станет началом для двух лучей.

Общее количество лучей равно: $100 \times 2 = 200$.

Ответ: 200.

356. Две прямые пересекаются в одной точке. Сколько лучей с началом в этой точке они образуют?

Прямая линия является бесконечной в обе стороны. Когда мы рассматриваем точку на прямой, эта точка делит прямую на две части. Каждая из этих частей, имеющая начало в данной точке и уходящая в бесконечность в одном из направлений, называется лучом.

Таким образом, одна прямая, проходящая через заданную точку, образует два луча, выходящих из этой точки в противоположных направлениях.

В условии задачи даны две прямые, которые пересекаются в одной точке. Каждая из этих двух прямых образует по два луча с началом в точке пересечения.

Чтобы найти общее количество лучей, нужно умножить количество прямых на количество лучей, образуемых каждой прямой:

$2 \text{ (прямые)} \times 2 \text{ (луча на каждой прямой)} = 4 \text{ (луча)}$

Следовательно, две пересекающиеся прямые образуют четыре луча с началом в точке их пересечения.

Ответ: 4

зуют?

357. Назовите все лучи с вершиной в точках $A$, $B$ и $C$ (рис. 47). Сколько лучей получилось?

Рис. 47

Луч — это часть прямой, которая начинается в определенной точке (называемой вершиной луча) и продолжается бесконечно в одном направлении. Из любой точки на прямой можно провести два луча в противоположных направлениях.

Назовите все лучи с вершиной в точках А, В и С

Рассмотрим каждую точку отдельно:

• Из точки A исходят два луча: луч AM, направленный влево, и луч AB, направленный вправо.
• Из точки B исходят два луча: луч BA, направленный влево, и луч BC, направленный вправо.
• Из точки C исходят два луча: луч CB, направленный влево, и луч CN, направленный вправо.

Ответ: AM, AB, BA, BC, CB, CN.

Сколько лучей получилось?

Из каждой из трех заданных точек (A, B и C) исходит по два луча. Чтобы найти общее количество лучей, нужно умножить количество точек на количество лучей, исходящих из одной точки:

$3 \text{ точки} \cdot 2 \text{ луча} = 6 \text{ лучей}$

Ответ: 6 лучей.

358. Назовите все отрезки с конца-ми в точках $M$, $N$ и $K$ (рис. 48). Сколько отрезков получилось?

Назовите все отрезки с концами в точках M, N и K
Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками (концами). Чтобы найти все отрезки с концами в заданных точках $M$, $N$ и $K$, нужно составить все возможные уникальные пары из этих точек.
1. Возьмем точку $M$ и соединим ее с двумя другими точками: $N$ и $K$. Получим отрезки $MN$ и $MK$.
2. Возьмем точку $N$ и соединим ее с оставшейся точкой $K$. Получим отрезок $NK$. (Соединять $N$ с $M$ не нужно, так как отрезок $MN$ уже найден, а $MN$ и $NM$ — это один и тот же отрезок).
3. Точка $K$ уже соединена с $M$ и $N$.
Таким образом, мы получили три отрезка.
Ответ: $MN$, $MK$, $NK$.

Сколько отрезков получилось?
Перечислив все отрезки в предыдущем пункте ($MN$, $MK$, $NK$), мы можем их посчитать. Всего получилось 3 отрезка.
Это количество также можно найти с помощью комбинаторной формулы для числа сочетаний, так как порядок точек в отрезке не важен. Мы выбираем 2 точки из 3-х доступных:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = 3$.
Ответ: 3.

359. На прямой отметили четыре точки. Образовалось 6 отрезков с концами в этих точках. Проверьте.

Для проверки данного утверждения можно использовать два подхода: метод прямого перечисления и комбинаторный метод.

1. Метод прямого перечисления

Обозначим четыре точки на прямой буквами A, B, C и D, расположенными последовательно. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Перечислим все возможные уникальные отрезки:

- Отрезки, одним из концов которых является точка A: AB, AC, AD. (Получаем 3 отрезка).
- Отрезки, одним из концов которых является точка B (исключая уже посчитанный отрезок AB): BC, BD. (Получаем 2 новых отрезка).
- Отрезок, одним из концов которых является точка C (исключая уже посчитанные AC и BC): CD. (Получаем 1 новый отрезок).
- Для точки D все возможные отрезки (DA, DB, DC) уже были учтены.

Теперь сложим количество всех найденных отрезков: $3 + 2 + 1 = 6$.

Таким образом, прямое перечисление подтверждает, что образуется ровно 6 отрезков.

2. Комбинаторный метод

Создание отрезка эквивалентно выбору двух точек из четырех имеющихся. Порядок выбора точек не имеет значения (отрезок AB — это тот же самый отрезок, что и BA). Следовательно, нам нужно найти число сочетаний из 4 элементов по 2.

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ имеет вид:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашей задаче общее количество точек $n = 4$, а для образования одного отрезка нужно выбрать $k = 2$ точки. Подставим эти значения в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Этот метод также показывает, что из четырех точек можно составить 6 уникальных отрезков.

Оба способа доказывают, что утверждение в задаче является верным.

Ответ: Утверждение верно.

точки. Образовалось 6 отрезков с концами в этих точках. Проверьте.

360. Перечертите рисунок 49 в тетрадь. Обозначьте все точки пересечения прямых, продолжив их, если нужно. На сколько частей разделилась плоскость?

Выберите правильный ответ.

А. 10 частей

Б. 11 частей

В. 12 частей

Рис. 49

Для решения этой задачи необходимо определить, на сколько частей делят плоскость прямые, изображенные на рисунке. На рисунке 49 показаны три прямые, которые находятся в "общем положении": никакие две из них не параллельны и все три не пересекаются в одной точке.

Посчитаем количество частей последовательно:

• Первая прямая делит плоскость на 2 части.
• Вторая прямая пересекает первую, проходя через 2 уже существующие области. Каждую из этих областей она делит на две, добавляя 2 новые части. Общее количество частей становится $2 + 2 = 4$.
• Третья прямая пересекает две предыдущие прямые в двух различных точках. Эти две точки пересечения делят третью прямую на 3 части (два луча и один отрезок). Каждая из этих трех частей, в свою очередь, делит одну из существующих областей на две. Таким образом, добавляется еще 3 новые части. Общее количество частей становится $4 + 3 = 7$.

Итак, три прямые в общем положении делят плоскость на 7 частей. Однако, среди предложенных вариантов (10, 11, 12) ответа "7" нет. Это говорит о том, что в условии задачи, скорее всего, допущена опечатка, и имеется в виду не три, а четыре прямые в общем положении.

Рассчитаем количество частей для четырех прямых в общем положении, продолжая наши рассуждения:

• Три прямые делят плоскость на 7 частей.
• Четвертая прямая, проведенная в общем положении, пересечет три предыдущие прямые в трех различных точках. Эти три точки разделят четвертую прямую на 4 части (два луча и два отрезка). Каждая из этих четырех частей разделит одну из существующих областей на две, то есть будет добавлено 4 новые части.

Следовательно, общее количество частей для четырех прямых равно: $7 + 4 = 11$.

Этот результат также можно получить, используя общую формулу для максимального числа частей $R_n$, на которые $n$ прямых делят плоскость:

$R_n = \frac{n^2 + n + 2}{2}$

Подставим $n = 4$:

$R_4 = \frac{4^2 + 4 + 2}{2} = \frac{16 + 4 + 2}{2} = \frac{22}{2} = 11$

Число 11 соответствует варианту ответа Б.

Ответ: Б. 11 частей