Номер 360, страница 80 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

точки. Образовалось 6 отрезков с концами в этих точках. Проверьте.

360. Перечертите рисунок 49 в тетрадь. Обозначьте все точки пересечения прямых, продолжив их, если нужно. На сколько частей разделилась плоскость?

Выберите правильный ответ.

А. 10 частей

Б. 11 частей

В. 12 частей

Рис. 49

Для решения этой задачи необходимо определить, на сколько частей делят плоскость прямые, изображенные на рисунке. На рисунке 49 показаны три прямые, которые находятся в "общем положении": никакие две из них не параллельны и все три не пересекаются в одной точке.

Посчитаем количество частей последовательно:

• Первая прямая делит плоскость на 2 части.
• Вторая прямая пересекает первую, проходя через 2 уже существующие области. Каждую из этих областей она делит на две, добавляя 2 новые части. Общее количество частей становится $2 + 2 = 4$.
• Третья прямая пересекает две предыдущие прямые в двух различных точках. Эти две точки пересечения делят третью прямую на 3 части (два луча и один отрезок). Каждая из этих трех частей, в свою очередь, делит одну из существующих областей на две. Таким образом, добавляется еще 3 новые части. Общее количество частей становится $4 + 3 = 7$.

Итак, три прямые в общем положении делят плоскость на 7 частей. Однако, среди предложенных вариантов (10, 11, 12) ответа "7" нет. Это говорит о том, что в условии задачи, скорее всего, допущена опечатка, и имеется в виду не три, а четыре прямые в общем положении.

Рассчитаем количество частей для четырех прямых в общем положении, продолжая наши рассуждения:

• Три прямые делят плоскость на 7 частей.
• Четвертая прямая, проведенная в общем положении, пересечет три предыдущие прямые в трех различных точках. Эти три точки разделят четвертую прямую на 4 части (два луча и два отрезка). Каждая из этих четырех частей разделит одну из существующих областей на две, то есть будет добавлено 4 новые части.

Следовательно, общее количество частей для четырех прямых равно: $7 + 4 = 11$.

Этот результат также можно получить, используя общую формулу для максимального числа частей $R_n$, на которые $n$ прямых делят плоскость:

$R_n = \frac{n^2 + n + 2}{2}$

Подставим $n = 4$:

$R_4 = \frac{4^2 + 4 + 2}{2} = \frac{16 + 4 + 2}{2} = \frac{22}{2} = 11$

Число 11 соответствует варианту ответа Б.

Ответ: Б. 11 частей