Страница 79 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

339. Представление о плоскости даёт поверхность стола. Приведите другие примеры.

В геометрии плоскость — это абсолютно ровная, гладкая поверхность, которая не имеет толщины и бесконечно простирается во всех направлениях. В реальном мире мы не можем увидеть бесконечную плоскость, но многие окружающие нас предметы имеют поверхности, которые являются хорошими моделями её части. Кроме поверхности стола, можно привести следующие примеры:

• Поверхность стены, пола или потолка в комнате.
• Поверхность школьной доски.
• Лист бумаги или страница книги.
• Поверхность оконного стекла или зеркала.
• Спокойная поверхность воды в озере или бассейне (водная гладь).
• Поверхность футбольного поля, теннисного корта или ледового катка.

Каждый из этих объектов в нашем представлении ассоциируется с ровной, плоской поверхностью, что и является наглядной моделью геометрической плоскости.

Ответ: Другими примерами поверхностей, дающими представление о плоскости, являются: поверхность стены, пола, школьной доски, листа бумаги, зеркала, спокойной водной глади.

340. Представление о прямой даёт туго натянутая нить. Приведите другие примеры.

Представление о прямой, помимо туго натянутой нити, дают многие другие объекты и явления из окружающего мира. Например, луч света, особенно от лазерной указки, который кажется идеально прямым в однородной среде. Также прямыми являются края многих предметов, созданных человеком: край линейки, столешницы или книги. Линия, полученная при аккуратном сгибании листа бумаги, тоже является моделью прямой. В природе прямую линию можно увидеть, глядя на линию горизонта над спокойной поверхностью моря или на прямой конденсационный след, оставляемый самолётом в небе. Кроме того, моделями прямой служат туго натянутые провода, струны музыкальных инструментов и рельсы на прямом участке железной дороги. В геометрии пространства прямая возникает как линия пересечения двух плоскостей, например, стены и потолка в комнате.

Ответ: Другие примеры объектов, дающих представление о прямой: луч света, край линейки, линия сгиба бумаги, линия горизонта, натянутый провод, след от самолёта в небе, железнодорожные рельсы, линия пересечения двух стен.

341. а) Можно ли в школьной тетради изобразить всю прямую?

б) Сколько прямых можно провести через две разные точки?

в) Как могут располагаться две прямые на плоскости?

г) Какие прямые называют параллельными?

д) Что называют лучом?

е) Что называют отрезком?

$A$, $B$, $C$, $D$

Рис. 45

а) Можно ли в школьной тетради изобразить всю прямую?

Нет, в школьной тетради нельзя изобразить всю прямую. Прямая линия по своему геометрическому определению является бесконечной, то есть она простирается в обе стороны неограниченно. Лист тетради имеет конечные, ограниченные размеры, поэтому на нем можно начертить лишь видимую часть прямой, которая называется отрезком. Ответ: нет, нельзя.

б) Сколько прямых можно провести через две разные точки?

Через любые две различные точки на плоскости можно провести только одну-единственную прямую. Это утверждение является одной из основных аксиом евклидовой геометрии. Ответ: одну.

в) Как могут располагаться две прямые на плоскости?

Две прямые на плоскости могут иметь три варианта взаимного расположения:
1. Пересекаться, то есть иметь ровно одну общую точку.
2. Быть параллельными, то есть не иметь ни одной общей точки.
3. Совпадать, то есть иметь все точки общими (по сути, являться одной и той же прямой). Ответ: две прямые на плоскости могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

г) Какие прямые называют параллельными?

Параллельными называют две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продлевали. Расстояние между параллельными прямыми в любой точке постоянно. На рисунке 45 отрезки AB и CD лежат на параллельных прямых. Ответ: прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

д) Что называют лучом?

Лучом (или полупрямой) называют часть прямой линии, которая состоит из одной точки, называемой началом луча, и всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от неё. Таким образом, луч имеет точку начала, но не имеет конца, он бесконечен в одном направлении. Ответ: часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца.

е) Что называют отрезком?

Отрезком называют часть прямой линии, которая ограничена двумя точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок включает в себя оба своих конца и все точки прямой, которые лежат между ними. На рисунке 45 показаны два отрезка: AB и CD. Ответ: часть прямой, ограниченная двумя точками.

342. Нарисуйте прямую, обозначьте её. Отметьте на ней точку, обозначьте её. Запишите обозначения прямой и полученных лучей.

Для выполнения задания необходимо последовательно совершить несколько действий.

1. Нарисуем прямую. Прямые в геометрии принято обозначать одной строчной (маленькой) латинской буквой. Пусть наша прямая будет обозначена буквой $a$.

2. Отметим на прямой $a$ любую точку. Точки обозначаются заглавными (большими) латинскими буквами. Обозначим нашу точку буквой $O$.

3. Любая точка, принадлежащая прямой, делит её на два луча, которые выходят из этой точки в противоположных направлениях. Точка $O$ является началом (вершиной) этих двух лучей. Чтобы дать лучам обозначения, необходимо отметить ещё по одной точке на каждом из них. Отметим точку $A$ на одном луче и точку $B$ на другом.

В результате у нас есть прямая $a$, на которой последовательно расположены точки $A$, $O$ и $B$.

4. Теперь запишем обозначения всех полученных геометрических фигур:

Прямая: можно обозначать одной строчной буквой — $a$. Также прямую можно обозначать по любым двум точкам, лежащим на ней, например, $AB$ или $AO$.
Лучи: луч имеет начало, но не имеет конца. Обозначение луча состоит из двух заглавных букв, где первая буква — это его начало. Таким образом, мы получили два луча с общим началом в точке $O$:

• Луч $OA$ — начинается в точке $O$ и проходит через точку $A$.
• Луч $OB$ — начинается в точке $O$ и проходит через точку $B$.

Ответ: Обозначение прямой — $a$ (или $AB$), обозначения полученных лучей — $OA$ и $OB$.

343. Отметьте две точки. Проведите от руки прямую, проходящую через эти точки. Проверьте точность построения с помощью линейки.

Отметьте две точки.

На листе бумаги с помощью карандаша или ручки поставьте две точки в произвольных местах. Чтобы было удобнее на них ссылаться, можно обозначить их буквами, например, точка $A$ и точка $B$.

Проведите от руки прямую, проходящую через эти точки.

Не используя линейку или другие вспомогательные инструменты, соедините точки $A$ и $B$ одной линией. Старайтесь вести карандаш ровно, одним движением, чтобы линия получилась как можно более прямой. Эта линия является вашим построением прямой, проходящей через две заданные точки.

Проверьте точность построения с помощью линейки.

Теперь возьмите линейку и приложите её ровный край к бумаге так, чтобы он проходил одновременно через обе точки, $A$ и $B$. Край линейки представляет собой идеальную прямую. Сравните линию, которую вы нарисовали от руки, с краем линейки.

Оценка точности построения:
- Если ваша линия практически полностью совпадает с краем линейки, ваше построение очень точное.
- Если линия имеет небольшие изгибы или отклонения от края линейки, но в целом проходит вдоль него, точность можно считать хорошей.
- Если линия заметно искривлена и сильно отклоняется от края линейки, то точность построения низкая.

Это практическое задание иллюстрирует важную аксиому геометрии: через две различные точки можно провести прямую, и притом только одну.

Ответ: Чтобы решить задачу, нужно отметить на бумаге две точки, соединить их прямой линией, нарисованной от руки, а затем приложить к этим точкам линейку для проверки. Точность построения определяется тем, насколько сильно нарисованная линия отклоняется от прямого края линейки.

344. На рисунке 46 найдите параллельные прямые. Проверьте с помощью линейки и угольника справедливость ваших утверждений.

Рис. 46

Для нахождения параллельных прямых на рисунке 46 необходимо сначала провести визуальный анализ, а затем проверить предположения с помощью линейки и угольника, как того требует условие задачи.

Визуальный анализ. При осмотре рисунка можно предположить, что параллельными являются две пары прямых:
1. Прямые a и b. Они обе расположены горизонтально, и расстояние между ними кажется постоянным.
2. Прямые k и m. Они имеют одинаковый наклон, и расстояние между ними также визуально не меняется.
Прямые c и d, напротив, не выглядят параллельными, так как они явно сближаются при движении вправо и, следовательно, пересекутся.

Проверка с помощью линейки и угольника. Чтобы проверить наши предположения, нужно выполнить следующую процедуру:
1. Приложить один из катетов (коротких сторон) угольника к одной из проверяемых прямых (например, к прямой a).
2. К другому катету угольника плотно приложить линейку.
3. Крепко удерживая линейку на месте, сдвинуть угольник вдоль нее до второй прямой (b).
4. Если катет угольника, который был приложен к первой прямой, полностью совпадет со второй прямой, то прямые параллельны.

Применение этого метода к прямым на рисунке 46 подтверждает наши первоначальные выводы:
- При проверке прямых a и b угольник показывает, что они параллельны.
- При проверке прямых k и m угольник также подтверждает их параллельность.
- При проверке прямых c и d видно, что они не параллельны.

Таким образом, на рисунке есть две пары параллельных прямых.

Ответ: $a \parallel b$ и $k \parallel m$.

345. Нарисуйте от руки параллельные прямые. Обозначьте их. Проверьте с помощью линейки и угольника точность построения.

Для выполнения этого задания необходимо последовательно совершить три действия: нарисовать прямые, обозначить их и проверить точность построения с помощью инструментов.

На чистом листе бумаги проведите произвольную прямую линию. Затем рядом с ней, на глаз определив равное расстояние, проведите вторую прямую так, чтобы она не пересекалась с первой и не меняла своего расстояния до неё.

Прямые линии в геометрии принято обозначать строчными (маленькими) буквами латинского алфавита. Обозначим первую нарисованную прямую буквой a, а вторую — буквой b. Факт параллельности этих прямых математически записывается с помощью специального знака: $a \parallel b$.

Существует стандартный метод проверки параллельности двух прямых с использованием угольника и линейки. Он заключается в следующем:

1. Приложите одну из коротких сторон (катет) угольника к одной из прямых, например, к прямой a.
2. К другой короткой стороне угольника плотно приложите линейку. Теперь линейка и угольник образуют устойчивую конструкцию.
3. Крепко прижмите линейку к бумаге, чтобы она оставалась неподвижной.
4. Аккуратно сдвигайте угольник вдоль линейки (как по направляющей) до тех пор, пока его сторона, ранее совмещенная с прямой a, не достигнет прямой b.
5. Оцените результат:
   • Если эта сторона угольника полностью совпала с прямой b по всей видимой длине, то ваши прямые действительно параллельны, и построение выполнено точно.
   • Если прямая b не совпадает со стороной угольника, а пересекает ее под небольшим углом, значит, нарисованные от руки прямые не параллельны.

Этот метод работает благодаря свойству соответственных углов: если они равны при пересечении двух прямых третьей (секущей), то прямые параллельны. Угольник позволяет "перенести" угол от одной прямой к другой вдоль секущей (линейки).

Ответ:

Нужно нарисовать от руки две прямые, которые выглядят параллельными, и обозначить их буквами, например, a и b ($a \parallel b$). Для проверки точности следует приложить один катет угольника к прямой a, к другому катету приставить линейку, а затем, удерживая линейку неподвижно, сдвинуть угольник до прямой b. Если катет угольника совпадет с прямой b, то построение выполнено верно и прямые параллельны.