Страница 83 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

367. Точка $C$ расположена на прямой между точками $A$ и $B$. Длина отрезка $AC$ равна 8 см, длина отрезка $CB$ на 3 см больше длины отрезка $AC$. Найдите длину отрезка $AB$.

По условию задачи точка $C$ расположена на прямой между точками $A$ и $B$. Это значит, что длина отрезка $AB$ является суммой длин отрезков $AC$ и $CB$. Выразим это формулой:
$AB = AC + CB$

Нам известна длина отрезка $AC$:
$AC = 8$ см.

Длина отрезка $CB$ на 3 см больше длины отрезка $AC$. Чтобы найти длину $CB$, нужно к длине $AC$ прибавить 3 см:
$CB = 8 + 3 = 11$ см.

Теперь, зная длины обоих отрезков, мы можем вычислить длину отрезка $AB$:
$AB = AC + CB = 8 + 11 = 19$ см.

Ответ: 19 см.

368. Точка $A$ расположена на прямой между точками $B$ и $C$. Длина отрезка $CB$ на 3 см больше длины отрезка $AC$. Найдите длину отрезка $AB$.

Согласно условию, точка $A$ лежит на отрезке $BC$. Это означает, что длина всего отрезка $BC$ (или $CB$) равна сумме длин его частей, отрезков $AB$ и $AC$. Математически это можно записать так:

$CB = AB + AC$

Также из условия известно, что длина отрезка $CB$ на 3 см больше длины отрезка $AC$. Запишем это в виде формулы:

$CB = AC + 3$

Теперь у нас есть два выражения для длины отрезка $CB$. Мы можем приравнять их правые части:

$AB + AC = AC + 3$

Чтобы найти длину отрезка $AB$, вычтем из обеих частей уравнения длину отрезка $AC$:

$AB + AC - AC = AC + 3 - AC$

$AB = 3$

Таким образом, длина отрезка $AB$ составляет 3 см.

Ответ: 3 см.

369. На прямой даны точки $A$, $B$ и $C$, причём $AB=6$ см, $AC=13$ см.

Найдите длину отрезка $BC$, если:

а) точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от точки $A$;

б) точки $B$ и $C$ лежат по разные стороны от точки $A$.

а) точки B и C лежат по одну сторону от точки А

Если точки B и C лежат по одну сторону от точки A, то одна из точек (B или C) лежит между точкой A и другой точкой. Из условия задачи мы знаем, что расстояние от A до B равно 6 см ($AB = 6$ см), а расстояние от A до C равно 13 см ($AC = 13$ см). Поскольку $AC > AB$, точка B находится между точками A и C.

Схематично это можно изобразить так: A — B — C.

Длина всего отрезка AC равна сумме длин его частей, отрезков AB и BC. Это можно записать в виде формулы:

$AC = AB + BC$

Чтобы найти длину отрезка BC, необходимо из длины отрезка AC вычесть длину отрезка AB:

$BC = AC - AB$

Подставим известные значения:

$BC = 13 \text{ см} - 6 \text{ см} = 7 \text{ см}$

Ответ: 7 см.

б) точки B и C лежат по разные стороны от точки А

Если точки B и C лежат по разные стороны от точки A, это означает, что точка A находится между точками B и C.

Схематично это можно изобразить так: B — A — C.

В этом случае длина отрезка BC будет равна сумме длин отрезков BA (что то же самое, что и AB) и AC. Запишем это в виде формулы:

$BC = AB + AC$

Подставим известные значения длин отрезков:

$BC = 6 \text{ см} + 13 \text{ см} = 19 \text{ см}$

Ответ: 19 см.

370. На прямой даны три точки $A$; $B$ и $C$, причём $AB = 13$ см, $AC = 4$ см. Найдите длину отрезка $BC$. (Задача имеет два решения.)

Поскольку точки A, B и C лежат на одной прямой, их взаимное расположение не определено однозначно. Это приводит к двум возможным решениям задачи.

Случай 1: Точка C лежит между точками A и B.
В этом случае отрезок AB состоит из двух отрезков: AC и CB. Длина отрезка AB равна сумме длин этих двух отрезков.
Математически это выражается формулой: $AB = AC + BC$.
Чтобы найти длину отрезка BC, нужно из длины отрезка AB вычесть длину отрезка AC:
$BC = AB - AC$
Подставим известные значения: $AB = 13$ см, $AC = 4$ см.
$BC = 13 - 4 = 9$ (см).
Ответ: 9 см.

Случай 2: Точка A лежит между точками C и B.
В этом случае отрезок CB является суммой отрезков CA и AB.
Математически это выражается формулой: $CB = CA + AB$.
Длина отрезка не зависит от порядка букв, поэтому $CB = BC$ и $CA = AC = 4$ см.
Подставим известные значения в формулу:
$BC = AC + AB$
$BC = 4 + 13 = 17$ (см).
(Третий вариант расположения, когда точка B лежит между A и C, невозможен, так как в этом случае $AC = AB + BC$, а $AC < AB$ ($4 < 13$), что противоречит основному свойству измерения отрезков).
Ответ: 17 см.

371. На прямой даны три точки $A$, $B$ и $C$, причём $AB = 83$ см, $AC = 97$ см. Найдите длину отрезка $BC$. Сколько решений имеет задача?

Для решения задачи необходимо рассмотреть все возможные варианты расположения точек A, B и C на одной прямой, так как от их взаимного расположения зависит искомая длина отрезка BC.

Найдите длину отрезка BC

Существует два случая, удовлетворяющих условиям задачи ($|AB|=83$ см, $|AC|=97$ см).

Случай 1: Точка B лежит между точками A и C.
В этом случае длина отрезка AC равна сумме длин отрезков AB и BC.
$|AC| = |AB| + |BC|$
Подставляем известные значения:
$97 = 83 + |BC|$
Отсюда находим длину отрезка BC:
$|BC| = 97 - 83 = 14$ см.

Случай 2: Точка A лежит между точками B и C.
В этом случае длина отрезка BC равна сумме длин отрезков BA и AC.
$|BC| = |BA| + |AC|$
Подставляем известные значения ($|BA| = |AB| = 83$ см):
$|BC| = 83 + 97 = 180$ см.

(Примечание: случай, когда точка C лежит между A и B, невозможен. В этой ситуации должно было бы выполняться равенство $|AB| = |AC| + |CB|$, что привело бы к $83 = 97 + |CB|$. Это уравнение не имеет решения для положительной длины отрезка CB.)

Ответ: длина отрезка BC может быть равна 14 см или 180 см.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку мы нашли два различных возможных значения для длины отрезка BC, которые соответствуют двум различным конфигурациям расположения точек на прямой, то задача имеет два решения.
Ответ: 2 решения.

372. На луче $AM$ отложили отрезки $AB$ и $AC$, $AC = 89\text{ см}$. Найдите длину отрезка $BC$, если:

a) $AB$ на 15 см длиннее $AC$;

б) $AB$ на 15 см короче $AC$.

а) AB на 15 см длиннее AC;

Дано, что длина отрезка $AC = 89$ см. По условию, отрезок AB на 15 см длиннее отрезка AC. Это значит, что длина AB равна сумме длины AC и 15 см.

$AB = AC + 15$ см

Подставим известное значение AC:

$AB = 89 + 15 = 104$ см

Так как точки A, B и C лежат на одном луче с началом в точке A, и при этом $AB > AC$, то точка C находится между точками A и B. Длину отрезка BC можно найти как разность длин отрезков AB и AC.

$BC = AB - AC$

$BC = 104 - 89 = 15$ см

Ответ: 15 см

б) AB на 15 см короче AC.

Дано, что длина отрезка $AC = 89$ см. По условию, отрезок AB на 15 см короче отрезка AC. Это значит, что длина AB равна разности длины AC и 15 см.

$AB = AC - 15$ см

Подставим известное значение AC:

$AB = 89 - 15 = 74$ см

Так как точки A, B и C лежат на одном луче с началом в точке A, и при этом $AC > AB$, то точка B находится между точками A и C. Длину отрезка BC можно найти как разность длин отрезков AC и AB.

$BC = AC - AB$

$BC = 89 - 74 = 15$ см

Ответ: 15 см

373. Объясните на примере, как измерить длину отрезка с точностью до 1 см:

а) с недостатком;

б) с избытком;

в) с округлением.

Для объяснения используем пример. Представим, что мы измеряем отрезок линейкой и его длина $L$ оказалась равной 5,7 см. Этот отрезок длиннее 5 см, но короче 6 см. Математически это можно записать в виде двойного неравенства: $5 \text{ см} < L < 6 \text{ см}$.

а) с недостатком;

Чтобы измерить длину отрезка с точностью до 1 см с недостатком, необходимо определить, сколько полных сантиметров в нём содержится. Для этого мы смотрим на последнее целое сантиметровое деление, которое не превышает длину отрезка. В нашем примере, длина отрезка составляет 5,7 см, поэтому последнее целое деление, которое он пересекает, — это 5 см. Следовательно, длина отрезка, измеренная с недостатком, равна 5 см.

Ответ: 5 см.

б) с избытком;

Чтобы измерить длину отрезка с точностью до 1 см с избытком, необходимо найти наименьшее целое число сантиметров, которое будет больше или равно длине нашего отрезка. Мы смотрим на первое целое сантиметровое деление, которое находится сразу за концом отрезка. В нашем примере, длина отрезка 5,7 см, значит, следующее за ним целое деление — это 6 см. Следовательно, длина отрезка, измеренная с избытком, равна 6 см.

Ответ: 6 см.

в) с округлением.

Чтобы измерить длину отрезка с точностью до 1 см с округлением, нужно выбрать то из двух ближайших целых значений (с недостатком или с избытком), которое находится ближе к фактической длине. Для этого мы смотрим на середину сантиметрового отрезка — отметку в 5 миллиметров (0,5 см). Если конец измеряемого отрезка находится до этой отметки, округляем в меньшую сторону. Если он находится на этой отметке или после неё — в большую. В нашем примере длина отрезка $L = 5,7$ см. Сравниваем её с серединой интервала между 5 и 6 см, то есть с 5,5 см. Так как $5,7 \text{ см} > 5,5 \text{ см}$, то длина отрезка ближе к 6 см. Следовательно, при округлении его длина равна 6 см.

Ответ: 6 см.

374. Измерьте длину и ширину тетради с точностью до 1 см:

а) с недостатком;

б) с избытком;

в) с округлением.

Поскольку это практическая задача, для ее решения необходимо измерить настоящую тетрадь. В качестве примера возьмем стандартную ученическую тетрадь, размеры которой примерно составляют 20,5 см в длину и 16,5 см в ширину. Измерения будем проводить с точностью до 1 см, то есть до целого числа сантиметров.

а) с недостатком

Приближение с недостатком до целого числа (округление в меньшую сторону) означает, что мы отбрасываем дробную часть числа, беря ближайшее целое, которое не больше исходного числа.

Длина: точное значение $20.5$ см. Ближайшее меньшее целое число — 20. Длина с недостатком равна 20 см.

Ширина: точное значение $16.5$ см. Ближайшее меньшее целое число — 16. Ширина с недостатком равна 16 см.

Ответ: длина 20 см, ширина 16 см.

б) с избытком

Приближение с избытком до целого числа (округление в большую сторону) означает, что мы берем ближайшее целое число, которое не меньше исходного.

Длина: точное значение $20.5$ см. Ближайшее большее целое число — 21. Длина с избытком равна 21 см.

Ширина: точное значение $16.5$ см. Ближайшее большее целое число — 17. Ширина с избытком равна 17 см.

Ответ: длина 21 см, ширина 17 см.

в) с округлением

Приближение с округлением до целого числа выполняется по стандартным математическим правилам: если первая цифра после запятой 5 или больше, то округляем в большую сторону; если она меньше 5, то отбрасываем дробную часть.

Длина: точное значение $20.5$ см. Первая цифра после запятой — 5, значит, округляем в большую сторону. Длина с округлением равна 21 см.

Ширина: точное значение $16.5$ см. Первая цифра после запятой — 5, значит, округляем в большую сторону. Ширина с округлением равна 17 см.

Ответ: длина 21 см, ширина 17 см.

375. Отметьте в тетради две точки. Определите на глаз расстояние между ними. Начертите отрезок с концами в этих точках и измерьте приближённо его длину.

Отметьте в тетради две точки.

Поставим в тетради две произвольные точки и обозначим их буквами $A$ и $B$.

Определите на глаз расстояние между ними.

Посмотрим на отмеченные точки $A$ и $B$ и сделаем предположение о расстоянии между ними без использования измерительных приборов. Допустим, на глаз это расстояние кажется равным примерно 7 сантиметрам (7 см).

Начертите отрезок с концами в этих точках.

С помощью линейки соединим точки $A$ и $B$ прямой линией. В результате получится отрезок $AB$.

Измерьте приближённо его длину.

Приложим линейку к отрезку $AB$ так, чтобы её нулевая отметка совпала с точкой $A$. Посмотрим на деление, которое совпадает с точкой $B$. Предположим, что измерение показало длину 6 сантиметров и 5 миллиметров. Таким образом, измеренная длина отрезка $AB$ равна $6,5$ см.

Сравним результат измерения с нашей первоначальной оценкой. Оценка была 7 см, а результат измерения — $6,5$ см. Погрешность оценки составила $7 \text{ см} - 6,5 \text{ см} = 0,5 \text{ см}$, или 5 мм.

Ответ: Так как это практическое задание, конкретные числа будут зависеть от расположения точек, которое вы выберете. В приведённом примере предполагаемое расстояние было 7 см, а измеренное — 6,5 см.

376. С помощью линейки измерьте отрезки, изображённые на рисунке 53, с точностью до 1 см:

а) с недостатком;

б) с избытком;

в) с округлением.

$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$

Рис. 53

Для решения задачи сначала измерим длину каждого отрезка с помощью линейки. Так как точный размер на экране может отличаться от размера в учебнике, мы будем использовать стандартные примерные значения, которые часто встречаются в подобных задачах. Пусть измерения дали следующие результаты:

• Длина отрезка AB: $2.6 \text{ см}$
• Длина отрезка CD: $4.3 \text{ см}$
• Длина отрезка EF: $3.8 \text{ см}$

Теперь найдем значения длин с точностью до 1 см для каждого из требуемых случаев.

а) с недостатком

Приближение с недостатком (округление вниз) до целого числа сантиметров означает, что мы отбрасываем дробную часть длины.

• Для отрезка AB ($2.6 \text{ см}$): целая часть равна 2. Длина равна $2 \text{ см}$.
• Для отрезка CD ($4.3 \text{ см}$): целая часть равна 4. Длина равна $4 \text{ см}$.
• Для отрезка EF ($3.8 \text{ см}$): целая часть равна 3. Длина равна $3 \text{ см}$.

Ответ: $AB = 2 \text{ см}, CD = 4 \text{ см}, EF = 3 \text{ см}$.

б) с избытком

Приближение с избытком (округление вверх) до целого числа сантиметров означает, что мы увеличиваем целую часть длины на единицу, если есть какая-либо дробная часть.

• Для отрезка AB ($2.6 \text{ см}$): ближайшее большее целое число — 3. Длина равна $3 \text{ см}$.
• Для отрезка CD ($4.3 \text{ см}$): ближайшее большее целое число — 5. Длина равна $5 \text{ см}$.
• Для отрезка EF ($3.8 \text{ см}$): ближайшее большее целое число — 4. Длина равна $4 \text{ см}$.

Ответ: $AB = 3 \text{ см}, CD = 5 \text{ см}, EF = 4 \text{ см}$.

в) с округлением

Приближение с округлением выполняется по стандартным математическим правилам. Если количество миллиметров (первая цифра после запятой) равно 5 или больше, округляем в большую сторону. Если меньше 5 — в меньшую.

• Для отрезка AB ($2.6 \text{ см}$): так как $6 \ge 5$, округляем до $3 \text{ см}$.
• Для отрезка CD ($4.3 \text{ см}$): так как $3 < 5$, округляем до $4 \text{ см}$.
• Для отрезка EF ($3.8 \text{ см}$): так как $8 \ge 5$, округляем до $4 \text{ см}$.

Ответ: $AB = 3 \text{ см}, CD = 4 \text{ см}, EF = 4 \text{ см}$.

377. Рейка длиной 147 см разрезана на 4 равные части. Какую длину имеет каждая часть с точностью до 1 см:

а) с недостатком;

б) с избытком;

в) с округлением?

Для того чтобы найти длину каждой части, необходимо общую длину рейки разделить на количество частей.

$147 \text{ см} \div 4 = 36,75 \text{ см}$

Точная длина каждой части составляет $36,75$ см. Теперь найдем приближенные значения с точностью до 1 см (до целого числа) для каждого случая.

а) с недостатком
Приближение с недостатком до целого числа означает, что мы отбрасываем дробную часть числа. Целая часть числа $36,75$ равна $36$.
Ответ: 36 см.

б) с избытком
Приближение с избытком до целого числа означает, что мы берем ближайшее целое число, которое больше исходного. Для числа $36,75$ ближайшее большее целое число — это $37$.
Ответ: 37 см.

в) с округлением
При округлении до целого числа по математическим правилам необходимо посмотреть на первую цифру после запятой. Если она равна 5 или больше, то число округляется в большую сторону. В числе $36,75$ первая цифра после запятой — это 7. Так как $7 \geq 5$, то округляем до ближайшего большего целого числа.
$36,75 \approx 37$
Ответ: 37 см.