Страница 76 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

332. Требуется распилить бревно на 6 частей. Каждый распил занимает 1 мин 30 с. Сколько времени потребуется на эту работу?

Чтобы распилить бревно на 6 частей, необходимо сделать на один распил меньше, чем желаемое количество частей. Таким образом, количество распилов равно:

$6 \text{ частей} - 1 = 5 \text{ распилов}$

Время, затрачиваемое на один распил, составляет 1 минуту 30 секунд. Для удобства вычислений переведем это время в секунды. Поскольку в 1 минуте 60 секунд, получаем:

$1 \text{ мин } 30 \text{ с} = 60 \text{ с} + 30 \text{ с} = 90 \text{ с}$

Теперь вычислим общее время, умножив количество распилов на время одного распила:

Общее время = $5 \times 90 \text{ с} = 450 \text{ с}$

Для представления ответа в минутах и секундах, разделим общее количество секунд на 60:

$450 \div 60 = 7$ и остаток $30$

Это означает, что общее время на всю работу составит 7 минут и 30 секунд.

Ответ: 7 минут 30 секунд.

333. Лифт поднимается с первого этажа на третий за 6 с. За сколько секунд он поднимется с первого этажа на пятый?

Чтобы решить эту задачу, необходимо посчитать не этажи, а количество пролетов между этажами, которые проезжает лифт. Предполагается, что скорость лифта постоянна.

1. Сначала определим, сколько пролетов проезжает лифт, поднимаясь с первого на третий этаж. Для этого из номера конечного этажа вычитаем номер начального:

$3 - 1 = 2$ (пролета)

2. Теперь найдем, сколько времени лифт тратит на один пролет. Известно, что на 2 пролета он тратит 6 секунд:

$6 \text{ с} \div 2 = 3 \text{ с}$

Таким образом, лифт проезжает один пролет за 3 секунды.

3. Далее определим, сколько пролетов нужно проехать лифту с первого до пятого этажа:

$5 - 1 = 4$ (пролета)

4. Зная время на один пролет, рассчитаем общее время подъема на пятый этаж. Для этого умножим количество пролетов на время преодоления одного пролета:

$4 \times 3 \text{ с} = 12 \text{ с}$

Ответ: 12 секунд.

334. Сколькими способами можно уплатить без сдачи 28 рублей, имея монеты по 1 и 5 рублей?

Для решения задачи нам нужно найти количество целочисленных неотрицательных решений уравнения, которое описывает общую сумму. Пусть $x$ — это количество 5-рублевых монет, а $y$ — количество 1-рублевых монет. Тогда мы можем составить следующее уравнение:

$5x + 1y = 28$

В этом уравнении $x$ и $y$ должны быть целыми числами и не могут быть отрицательными, то есть $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Выразим $y$ через $x$:

$y = 28 - 5x$

Поскольку $y$ не может быть отрицательным, мы имеем неравенство:

$28 - 5x \ge 0$

Перенесем $5x$ в правую часть:

$28 \ge 5x$

Разделим обе части на 5:

$x \le 5.6$

Так как $x$ должно быть целым неотрицательным числом, то возможные значения для $x$ — это 0, 1, 2, 3, 4, 5. Теперь рассмотрим каждый из этих случаев, чтобы найти соответствующее количество 1-рублевых монет ($y$):

• Если $x = 0$ (0 монет по 5 руб.), то $y = 28 - 5 \cdot 0 = 28$ (28 монет по 1 руб.).
• Если $x = 1$ (1 монета по 5 руб.), то $y = 28 - 5 \cdot 1 = 23$ (23 монеты по 1 руб.).
• Если $x = 2$ (2 монеты по 5 руб.), то $y = 28 - 5 \cdot 2 = 18$ (18 монет по 1 руб.).
• Если $x = 3$ (3 монеты по 5 руб.), то $y = 28 - 5 \cdot 3 = 13$ (13 монет по 1 руб.).
• Если $x = 4$ (4 монеты по 5 руб.), то $y = 28 - 5 \cdot 4 = 8$ (8 монет по 1 руб.).
• Если $x = 5$ (5 монет по 5 руб.), то $y = 28 - 5 \cdot 5 = 3$ (3 монеты по 1 руб.).

Если мы попытаемся взять $x=6$, то $5 \cdot 6 = 30$, что уже больше 28. Значит, мы перечислили все возможные комбинации монет.

Всего получилось 6 различных способов.

Ответ: 6.

335. Сколькими способами можно разменять 50 рублей монетами в 1 и 5 рублей?

Для решения этой задачи нам нужно найти все возможные комбинации монет достоинством 1 и 5 рублей, которые в сумме дают 50 рублей.

Обозначим количество однорублевых монет как $x$, а количество пятирублевых монет как $y$.

Сумма денег, составленная из этих монет, должна равняться 50 рублям. Это можно записать в виде уравнения: $1 \cdot x + 5 \cdot y = 50$ или просто $x + 5y = 50$

Поскольку количество монет не может быть отрицательным или дробным, $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами ($x \ge 0$, $y \ge 0$).

Чтобы найти все возможные решения, мы можем перебрать все допустимые значения для одной из переменных. Удобнее всего перебирать значения для $y$ (количество пятирублевых монет), так как их не может быть много. Максимальная сумма, которую можно набрать пятирублевыми монетами, не должна превышать 50 рублей.

$5y \le 50$ $y \le 10$

Таким образом, количество пятирублевых монет $y$ может принимать любое целое значение от 0 до 10. Для каждого такого значения $y$ мы можем найти единственное соответствующее значение $x$ по формуле $x = 50 - 5y$.

Перечислим все возможные способы:

• Если взять 0 монет по 5 руб. ($y=0$), то понадобится $50 - 5 \cdot 0 = 50$ монет по 1 руб. ($x=50$).
• Если взять 1 монету по 5 руб. ($y=1$), то понадобится $50 - 5 \cdot 1 = 45$ монет по 1 руб. ($x=45$).
• Если взять 2 монеты по 5 руб. ($y=2$), то понадобится $50 - 5 \cdot 2 = 40$ монет по 1 руб. ($x=40$).
• Если взять 3 монеты по 5 руб. ($y=3$), то понадобится $50 - 5 \cdot 3 = 35$ монет по 1 руб. ($x=35$).
• Если взять 4 монеты по 5 руб. ($y=4$), то понадобится $50 - 5 \cdot 4 = 30$ монет по 1 руб. ($x=30$).
• Если взять 5 монет по 5 руб. ($y=5$), то понадобится $50 - 5 \cdot 5 = 25$ монет по 1 руб. ($x=25$).
• Если взять 6 монет по 5 руб. ($y=6$), то понадобится $50 - 5 \cdot 6 = 20$ монет по 1 руб. ($x=20$).
• Если взять 7 монет по 5 руб. ($y=7$), то понадобится $50 - 5 \cdot 7 = 15$ монет по 1 руб. ($x=15$).
• Если взять 8 монет по 5 руб. ($y=8$), то понадобится $50 - 5 \cdot 8 = 10$ монет по 1 руб. ($x=10$).
• Если взять 9 монет по 5 руб. ($y=9$), то понадобится $50 - 5 \cdot 9 = 5$ монет по 1 руб. ($x=5$).
• Если взять 10 монет по 5 руб. ($y=10$), то понадобится $50 - 5 \cdot 10 = 0$ монет по 1 руб. ($x=0$).

Каждый из перечисленных вариантов является уникальным способом размена. Подсчитав количество вариантов (количество возможных значений для $y$ от 0 до 10 включительно), получим общее число способов.

Всего способов: $10 - 0 + 1 = 11$.

Ответ: 11

336. Однажды Чёрт предложил Бездельнику заработать.

— Как только ты перейдёшь через этот мост, — сказал он, — так твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 24 копейки.

Бездельник согласился и... после третьего перехода остался без гроша. Сколько денег было у него сначала?

Для решения этой задачи удобнее всего рассуждать в обратном порядке, то есть "с конца".

Нам известно, что после третьего перехода у бездельника осталось 0 копеек.

1. Сумма перед уплатой в третий раз.

   Свои последние деньги (0 копеек) он получил после того, как отдал Чёрту 24 копейки. Значит, до этой уплаты у него было $0 + 24 = 24$ копейки. Эта сумма была у него сразу после третьего удвоения.

2. Сумма перед третьим переходом (после второго).

   Сумма в 24 копейки получилась в результате удвоения. Следовательно, до третьего перехода у него было в два раза меньше: $24 / 2 = 12$ копеек. Это та сумма, которая осталась у него после второго перехода.

3. Сумма перед уплатой во второй раз.

   Остаток в 12 копеек получился после уплаты 24 копеек. Значит, до уплаты во второй раз у него было: $12 + 24 = 36$ копеек.

4. Сумма перед вторым переходом (после первого).

   36 копеек — это результат второго удвоения. Значит, до второго перехода у него было: $36 / 2 = 18$ копеек.

5. Сумма перед уплатой в первый раз.

   18 копеек остались после первой уплаты Чёрту. Значит, до этого у него было: $18 + 24 = 42$ копейки.

6. Начальная сумма.

   42 копейки — это результат самого первого удвоения. Следовательно, изначально у бездельника было: $42 / 2 = 21$ копейка.

Проверка:
Изначально у бездельника была 21 копейка.
После первого перехода: $21 \cdot 2 - 24 = 42 - 24 = 18$ копеек.
После второго перехода: $18 \cdot 2 - 24 = 36 - 24 = 12$ копеек.
После третьего перехода: $12 \cdot 2 - 24 = 24 - 24 = 0$ копеек.
Все сходится.

Задачу также можно решить с помощью уравнения. Если обозначить начальную сумму за $x$, то после всех операций получится выражение: $2 \cdot (2 \cdot (2x - 24) - 24) - 24 = 0$. Раскрыв скобки, получим $8x - 168 = 0$, откуда $x = 21$.

Ответ: 21 копейка.

337. Три брата получили 24 яблока, причём младшему досталось меньше всех. Видя это, младший брат предложил такой обмен яблоками: «Я оставлю себе половину имеющихся у меня яблок, а остальные разделю между вами поровну. После этого пусть средний брат, а за ним старший поступят так же». Братья согласились. В результате у всех яблок стало поровну. Сколько яблок было у каждого первоначально?

Для решения этой задачи лучше всего использовать метод обратного счёта, то есть начать с конца и шаг за шагом восстанавливать исходную ситуацию.

Конечное состояние

В конце у всех троих братьев стало поровну яблок. Поскольку всего было 24 яблока, у каждого оказалось по:

$24 / 3 = 8$ яблок.

Итак, в самом конце у младшего, среднего и старшего братьев было по 8 яблок.

Теперь будем отменять их действия в обратном порядке.

1. Отменяем обмен старшего брата

Последним яблоками делился старший брат. Он оставил себе половину, и у него стало 8 яблок. Это значит, что до своего хода у него было в два раза больше:

$8 \times 2 = 16$ яблок.

Вторую половину, то есть 8 яблок, он отдал младшему и среднему брату поровну. Каждый из них получил:

$8 / 2 = 4$ яблока.

Чтобы узнать, сколько яблок было у них до этого, нужно забрать у них эти 4 яблока и вернуть старшему.

Состояние до хода старшего брата:

• Младший брат: $8 - 4 = 4$ яблока.
• Средний брат: $8 - 4 = 4$ яблока.
• Старший брат: $8 + 4 + 4 = 16$ яблок.

Проверка: $4 + 4 + 16 = 24$. Все верно.

2. Отменяем обмен среднего брата

Перед старшим братом делился средний. После своего обмена у него осталось 4 яблока. Это была половина от того, что у него было. Значит, до обмена у него было:

$4 \times 2 = 8$ яблок.

Вторую половину, то есть 4 яблока, он отдал младшему и старшему поровну. Каждый получил:

$4 / 2 = 2$ яблока.

Отменяем это действие: забираем по 2 яблока у младшего и старшего и возвращаем среднему.

Состояние до хода среднего брата:

• Младший брат: $4 - 2 = 2$ яблока.
• Средний брат: $4 + 2 + 2 = 8$ яблок.
• Старший брат: $16 - 2 = 14$ яблок.

Проверка: $2 + 8 + 14 = 24$. Все верно.

3. Отменяем обмен младшего брата

Самым первым делился младший брат. После его хода у него осталось 2 яблока, что составляло половину его первоначального количества. Значит, в самом начале у него было:

$2 \times 2 = 4$ яблока.

Вторую половину, то есть 2 яблока, он отдал среднему и старшему поровну. Каждый получил:

$2 / 2 = 1$ яблоко.

Забираем у них по одному яблоку и возвращаем младшему, чтобы найти первоначальное распределение.

Первоначальное количество яблок:

• Младший брат: $2 + 1 + 1 = 4$ яблока.
• Средний брат: $8 - 1 = 7$ яблок.
• Старший брат: $14 - 1 = 13$ яблок.

Проверим условие задачи: младшему досталось меньше всех. 4 яблока действительно меньше, чем 7 и 13. Условие выполнено.

Ответ: Первоначально у младшего брата было 4 яблока, у среднего — 7 яблок, а у старшего — 13 яблок.

338. Однажды умный бедняк попросил у скупого богача приюта на две недели, причём сказал: «За это я тебе в первый день заплачу 1 р., во второй день — 2 р., в третий день — 3 р. и т. д. Словом, каждый день я буду прибавлять тебе по одному рублю, так что за один только четырнадцатый (последний) день я заплачу 14 р. Ты же будешь мне подавать милостыню: в первый день копейку, во второй — 2 к., в третий день — 4 к. и т. д., увеличивая каждый день свою милостыню вдвое». Богач с радостью согласился на такие условия, которые ему показались выгодными. Какой барыш принесла эта сделка богачу?

Для того чтобы определить, какой барыш (прибыль или убыток) принесла сделка богачу, необходимо рассчитать две суммы: общую сумму, которую богач получил от бедняка, и общую сумму, которую богач отдал бедняку в качестве милостыни. Срок сделки — две недели, то есть 14 дней.

1. Рассчитаем, сколько денег получил богач.Платежи бедняка представляют собой арифметическую прогрессию, где первый член $a_1 = 1$ рубль, а каждый последующий член увеличивается на 1 рубль. Последний член прогрессии на 14-й день равен $a_{14} = 14$ рублей. Сумму $n$ членов арифметической прогрессии можно найти по формуле: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$.В нашем случае $n=14$, $a_1 = 1$, $a_{14} = 14$.Сумма, полученная богачом, составляет:$S_{получено} = \frac{14 \cdot (1 + 14)}{2} = \frac{14 \cdot 15}{2} = 7 \cdot 15 = 105$ рублей. Таким образом, за 14 дней богач получил от бедняка 105 рублей.

2. Рассчитаем, сколько денег отдал богач.Милостыня, которую подавал богач, представляет собой геометрическую прогрессию, так как каждый день сумма удваивалась. Суммы указаны в копейках. Первый член прогрессии $b_1 = 1$ копейка, знаменатель прогрессии $q = 2$.Сумму $n$ членов геометрической прогрессии можно найти по формуле: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.В нашем случае $n=14$, $b_1 = 1$, $q=2$.Сумма, отданная богачом, составляет:$S_{отдано} = \frac{1 \cdot (2^{14} - 1)}{2 - 1} = 2^{14} - 1$.Вычислим $2^{14}$:$2^{10} = 1024$.$2^{14} = 2^{10} \cdot 2^4 = 1024 \cdot 16 = 16384$.$S_{отдано} = 16384 - 1 = 16383$ копейки. Переведем эту сумму в рубли, зная, что 1 рубль = 100 копеек:$16383 \text{ коп.} = 163 \text{ руб.} 83 \text{ коп.}$

3. Найдем барыш богача.Чтобы найти барыш, нужно из суммы, которую богач получил, вычесть сумму, которую он отдал. Барыш = $105 \text{ руб.} - 163 \text{ руб.} 83 \text{ коп.} = -58 \text{ руб.} 83 \text{ коп.}$Отрицательное значение означает, что богач не получил прибыли, а понес убытки.

Ответ: Сделка принесла богачу убыток в размере 58 рублей 83 копеек.