Страница 71 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

310. а) К двузначному числу приписали цифру 5 сначала слева, а потом справа — получили два трёхзначных числа, разность которых равна 234. Найдите двузначное число.

б) К двузначному числу приписали цифру 6 сначала слева, а потом справа — получили два трёхзначных числа, разность которых равна 162. Найдите двузначное число.

в) К трёхзначному числу приписали цифру 9 сначала слева, а потом справа — получили два четырёхзначных числа, разность которых равна 2214. Найдите трёхзначное число.

г) К трёхзначному числу приписали цифру 9 сначала слева, а потом справа — получили два четырёхзначных числа, разность которых равна 639. Найдите трёхзначное число.

Рис. 29

а) Пусть искомое двузначное число равно $x$. Когда к этому числу приписали цифру 5 слева, получилось новое трёхзначное число, которое можно выразить как $500 + x$. Когда к числу $x$ приписали цифру 5 справа, получилось число $10x + 5$. Разность этих двух чисел равна 234. Составим и решим уравнение:
$(500 + x) - (10x + 5) = 234$
$500 + x - 10x - 5 = 234$
$495 - 9x = 234$
$9x = 495 - 234$
$9x = 261$
$x = \frac{261}{9}$
$x = 29$
Проверим: первое число — 529, второе число — 295. Их разность: $529 - 295 = 234$. Условие задачи выполнено.
Ответ: 29

б) Пусть искомое двузначное число равно $x$. Когда к нему приписали цифру 6 слева, получилось число $600 + x$. Когда приписали 6 справа, получилось $10x + 6$. Разность этих чисел равна 162. Составим уравнение:
$(600 + x) - (10x + 6) = 162$
$600 + x - 10x - 6 = 162$
$594 - 9x = 162$
$9x = 594 - 162$
$9x = 432$
$x = \frac{432}{9}$
$x = 48$
Проверим: первое число — 648, второе число — 486. Их разность: $648 - 486 = 162$. Условие задачи выполнено.
Ответ: 48

в) Пусть искомое трёхзначное число равно $x$. Когда к нему приписали цифру 9 слева, получилось четырёхзначное число $9000 + x$. Когда приписали 9 справа, получилось число $10x + 9$. Разность этих чисел равна 2214. Составим уравнение:
$(9000 + x) - (10x + 9) = 2214$
$9000 + x - 10x - 9 = 2214$
$8991 - 9x = 2214$
$9x = 8991 - 2214$
$9x = 6777$
$x = \frac{6777}{9}$
$x = 753$
Проверим: первое число — 9753, второе число — 7539. Их разность: $9753 - 7539 = 2214$. Условие задачи выполнено, и найденное число является трёхзначным.
Ответ: 753

г) Пусть искомое трёхзначное число равно $x$. Когда к нему приписали цифру 9 слева, получилось число $9000 + x$. Когда приписали 9 справа, получилось число $10x + 9$. Разность этих чисел равна 639. Составим уравнение:
$(9000 + x) - (10x + 9) = 639$
$9000 + x - 10x - 9 = 639$
$8991 - 9x = 639$
$9x = 8991 - 639$
$9x = 8352$
$x = \frac{8352}{9}$
$x = 928$
Проверим: первое число — 9928, второе число — 9289. Их разность: $9928 - 9289 = 639$. Условие задачи выполнено, и найденное число является трёхзначным.
Ответ: 928

311. Автотурист отправился в путешествие на четырёхколёсном автомобиле с одним запасным колесом. По дороге он менял колёса с таким расчётом, чтобы каждое колесо проехало один и тот же путь. Определите:

а) Сколько километров проехало каждое колесо, если автомобиль проехал 4000 км?

б) Сколько километров проехал автомобиль, если каждое из пяти колёс проехало 4000 км?

а)

У автомобиля всего 5 колёс (4 основных и 1 запасное). Для движения автомобиля в любой момент времени используются 4 колеса.
Общий «пробег» всех колёс, которые были в движении, можно рассчитать, умножив путь автомобиля на количество одновременно используемых колёс:
$4000 \text{ км} \times 4 = 16000 \text{ км}$
Этот общий пробег равномерно распределяется на все 5 колёс, так как по условию каждое колесо проехало один и тот же путь. Чтобы найти, сколько проехало каждое колесо, нужно общий пробег разделить на общее количество колёс:
$16000 \text{ км} \div 5 = 3200 \text{ км}$
Таким образом, каждое из пяти колёс было в движении $4/5$ всего пути.
Ответ: Каждое колесо проехало 3200 км.

б)

В этом случае известен пробег каждого из 5 колёс. Сначала найдём общий «пробег» всех пяти колёс:
$4000 \text{ км/колесо} \times 5 \text{ колёс} = 20000 \text{ км}$
Этот суммарный пробег был пройден автомобилем, который постоянно использовал 4 колеса. Чтобы найти расстояние, которое проехал автомобиль, нужно общий пробег колёс разделить на количество колёс, находящихся на автомобиле одновременно:
$20000 \text{ км} \div 4 = 5000 \text{ км}$
Ответ: Автомобиль проехал 5000 км.

312. На столе лежит девять спичек (рис. 29). Расположите их так, чтобы в каждом горизонтальном ряду было:

а) по 4;

б) по 6;

в) по 9;

г) по 11.

Для решения этой задачи необходимо для каждого пункта найти своё расположение девяти спичек. Ключ к решению — небуквальная интерпретация условия. Вместо того чтобы выкладывать спички в ряды, из них нужно составлять римские цифры и арифметические выражения или слова.

а) по 4

Чтобы в результате получилось число 4, необходимо из девяти спичек составить верное математическое равенство с использованием римских цифр. Таким равенством является $V - I = IV$, что в арабской системе счисления соответствует $5 - 1 = 4$.

Для составления этого выражения требуется ровно девять спичек:

• Цифра V (5) — 2 спички.
• Знак «минус» (–) — 1 спичка.
• Цифра I (1) — 1 спичка.
• Знак «равно» (=) — 2 спички.
• Число IV (4) — 3 спички (I и V).

Общее количество спичек: $2 + 1 + 1 + 2 + 3 = 9$.

Ответ: Расположить спички в виде математического выражения $V - I = IV$.

б) по 6

В данном случае решение заключается в том, чтобы выложить из девяти спичек слово, обозначающее число шесть. Можно выложить слово «ШЕСТ» (краткая форма слова «шесть»). Для этого потребуется ровно девять спичек при экономном формировании букв:

• Буква Ш — 3 спички (три вертикальные параллельные линии).
• Буква Е — 2 спички (одна вертикальная и одна горизонтальная в середине).
• Буква С — 2 спички (два отрезка, образующие незамкнутую фигуру).
• Буква Т — 2 спички (одна вертикальная и одна горизонтальная сверху).

Общее количество спичек: $3 + 2 + 2 + 2 = 9$.

Ответ: Выложить из спичек слово «ШЕСТ».

в) по 9

Аналогично пункту «а», для получения числа 9 составим верное равенство из девяти спичек с римскими цифрами: $X - I = IX$, что соответствует $10 - 1 = 9$.

Проверим количество спичек:

• Цифра X (10) — 2 спички.
• Знак «минус» (–) — 1 спичка.
• Цифра I (1) — 1 спичка.
• Знак «равно» (=) — 2 спички.
• Число IX (9) — 3 спички (I и X).

Общее количество спичек: $2 + 1 + 1 + 2 + 3 = 9$.

Ответ: Расположить спички в виде математического выражения $X - I = IX$.

г) по 11

Для получения числа 11 также составим верное равенство из девяти спичек с римскими цифрами. Подходящим выражением является $XII - I = XI$, что соответствует $12 - 1 = 11$.

Проверим количество спичек:

• Число XII (12) — 3 спички (X и II).
• Знак «минус» (–) — 1 спичка.
• Цифра I (1) — 1 спичка.
• Знак «равно» (=) — 2 спички.
• Число XI (11) — 2 спички (X и I).

Общее количество спичек: $3 + 1 + 1 + 2 + 2 = 9$.

Ответ: Расположить спички в виде математического выражения $XII - I = XI$.

313. Из спичек сложили шесть неверных равенств:

a) $XII + IX = II$

б) $IV - V = I$

в) $X = VII - III$

г) $X + X = I$

д) $VI - VI = XI$

е) $IV - I + V = II$

Переложите в каждом равенстве по одной спичке так, чтобы равенства стали верными.

а) Исходное неверное равенство: $XII + IX = II$, что в числовой форме означает $12 + 9 = 2$. Чтобы равенство стало верным, нужно переложить одну спичку. Возьмем вертикальную спичку из знака сложения «+», превратив его в знак вычитания «-». Эту спичку добавим к числу $II$ (два) справа, получив число $III$ (три). В результате получится верное равенство: $XII - IX = III$ ($12 - 9 = 3$).

Ответ: $XII - IX = III$

б) Исходное неверное равенство: $IV - V = I$, что в числовой форме означает $4 - 5 = 1$. Переместим спичку, обозначающую $I$ в числе $IV$ (четыре), из положения перед $V$ в положение после $V$. Таким образом, число $IV$ (четыре) превратится в число $VI$ (шесть). В результате получится верное равенство: $VI - V = I$ ($6 - 5 = 1$).

Ответ: $VI - V = I$

в) Исходное неверное равенство: $X = VII - III$, что в числовой форме означает $10 = 7 - 3$ или $10 = 4$. Возьмем верхнюю спичку из знака равенства «=», превратив его в знак вычитания «-». Эту спичку положим под существующий знак вычитания «-», превратив его в знак равенства «=». В результате получится верное равенство: $X - VII = III$ ($10 - 7 = 3$).

Ответ: $X - VII = III$

г) Исходное неверное равенство: $X + X = I$, что в числовой форме означает $10 + 10 = 1$. Возьмем вертикальную спичку из знака сложения «+», превратив его в знак вычитания «-». Эту спичку приставим к первому числу $X$ (десять) справа, чтобы получилось число $XI$ (одиннадцать). В результате получится верное равенство: $XI - X = I$ ($11 - 10 = 1$).

Ответ: $XI - X = I$

д) Исходное неверное равенство: $VI - VI = XI$, что в числовой форме означает $6 - 6 = 11$. Возьмем спичку, обозначающую $I$ в первом числе $VI$ (шесть), превратив его в число $V$ (пять). Эту спичку положим поперек знака вычитания «-», чтобы получился знак сложения «+». В результате получится верное равенство: $V + VI = XI$ ($5 + 6 = 11$).

Ответ: $V + VI = XI$

е) Исходное неверное равенство: $IV - I + V = II$, что в числовой форме означает $4 - 1 + 5 = 2$ или $8 = 2$. Возьмем верхнюю спичку из знака равенства «=», отчего он станет знаком вычитания «-». Переложим эту спичку на знак вычитания «-», чтобы он стал знаком равенства «=». В результате получится верное равенство: $IV = I + V - II$ ($4 = 1 + 5 - 2$).

Ответ: $IV = I + V - II$