Страница 69 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

301. Первый магический квадрат был составлен в Китае в V—IV веке до н. э. Другой магический квадрат был составлен в Индии в I веке н. э. Сравните суммы чисел в строчках, столбцах и диагоналях квадратов. В чём заключается магическое свойство этих квадратов?

Сравните суммы чисел в строчках, столбцах и диагоналях квадратов.

Для анализа магического квадрата необходимо вычислить суммы чисел по всем его строкам, столбцам и двум главным диагоналям.

Суммы по строкам:
Верхняя строка: $4 + 9 + 2 = 15$
Средняя строка: $3 + 5 + 7 = 15$
Нижняя строка: $8 + 1 + 6 = 15$

Суммы по столбцам:
Левый столбец: $4 + 3 + 8 = 15$
Средний столбец: $9 + 5 + 1 = 15$
Правый столбец: $2 + 7 + 6 = 15$

Суммы по диагоналям:
Главная диагональ (сверху слева вниз направо): $4 + 5 + 6 = 15$
Побочная диагональ (сверху справа вниз налево): $2 + 5 + 8 = 15$

Все вычисленные суммы равны между собой.
Ответ: Суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях квадрата одинаковы и равны 15.

В чём заключается магическое свойство этих квадратов?

Магическим свойством таких квадратов является то, что суммы чисел, расположенных в любой строке, любом столбце и на двух главных диагоналях, всегда равны одному и тому же числу. Это число называют магической константой квадрата.
Ответ: Магическое свойство этих квадратов заключается в том, что суммы чисел по всем строкам, столбцам и двум главным диагоналям равны между собой.

302. В квадрате $3 \times 3$ расставьте числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 так, чтобы сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали была одинакова. Сначала определите, какой должна быть эта сумма.

1 14 15 4

12 7 6 9

301.

Для того чтобы сравнить суммы чисел и определить магическое свойство квадратов, проанализируем каждый из них.

Первый квадрат (китайский, 3×3):

• Суммы по строкам:
  1-я строка: $4 + 9 + 2 = 15$
  2-я строка: $3 + 5 + 7 = 15$
  3-я строка: $8 + 1 + 6 = 15$
• Суммы по столбцам:
  1-й столбец: $4 + 3 + 8 = 15$
  2-й столбец: $9 + 5 + 1 = 15$
  3-й столбец: $2 + 7 + 6 = 15$
• Суммы по диагоналям:
  Главная диагональ: $4 + 5 + 6 = 15$
  Побочная диагональ: $2 + 5 + 8 = 15$

Во всех случаях сумма равна 15.

Второй квадрат (индийский, 4×4, показан частично):

• Суммы по видимым строкам:
  1-я строка: $1 + 14 + 15 + 4 = 34$
  2-я строка: $12 + 7 + 6 + 9 = 34$

Сумма чисел в каждой из представленных строк равна 34. Хотя квадрат показан не полностью, можно сделать вывод, что магическая сумма для него равна 34.

Магическое свойство этих квадратов заключается в том, что суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих главных диагоналях равны одному и тому же числу. Это число называется магической константой.

Ответ: Суммы чисел в строках, столбцах и диагоналях для каждого квадрата одинаковы (для первого — 15, для второго — 34). В этом и заключается их магическое свойство.

302.

Сначала определим, какой должна быть сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали (магическая константа).

Нам нужно расставить в квадрате числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Найдем их общую сумму:

$0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36$

В квадрате 3×3 всего три строки. Так как сумма чисел в каждой строке должна быть одинаковой, то общую сумму нужно разделить на количество строк:

$36 \div 3 = 12$

Таким образом, сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали должна быть равна 12.

Один из возможных вариантов расстановки чисел представлен ниже:

Проверим суммы:
Строки: $3+8+1=12$, $2+4+6=12$, $7+0+5=12$.
Столбцы: $3+2+7=12$, $8+4+0=12$, $1+6+5=12$.
Диагонали: $3+4+5=12$, $1+4+7=12$.

Ответ: Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагонали должна быть равна 12. Один из вариантов квадрата представлен выше.

303. Докажите, что сумма всех чисел любого магического квадрата $3 \times 3$ делится на 3.

Для того чтобы сравнить суммы чисел в квадратах, рассчитаем их для каждой строки, каждого столбца и каждой диагонали.

Первый квадрат (3×3):

4 9 2
3 5 7
8 1 6

• Суммы по строкам:
  $4 + 9 + 2 = 15$
  $3 + 5 + 7 = 15$
  $8 + 1 + 6 = 15$
• Суммы по столбцам:
  $4 + 3 + 8 = 15$
  $9 + 5 + 1 = 15$
  $2 + 7 + 6 = 15$
• Суммы по диагоналям:
  $4 + 5 + 6 = 15$ (главная диагональ)
  $2 + 5 + 8 = 15$ (побочная диагональ)

Все суммы в первом квадрате равны 15.

Второй квадрат (4×4):

Этот квадрат неполный, отсутствует последняя строка. Однако, если предположить, что это магический квадрат, мы можем восстановить недостающие числа. Сумма чисел в каждой полной строке равна 34:

$1 + 14 + 15 + 4 = 34$
$12 + 7 + 6 + 9 = 34$
$8 + 11 + 10 + 5 = 34$

Примем магическую сумму равной 34 и найдем числа в последней строке, исходя из того, что суммы в столбцах также должны быть равны 34:

• Первый столбец: $1 + 12 + 8 + x_1 = 34 \implies x_1 = 13$
• Второй столбец: $14 + 7 + 11 + x_2 = 34 \implies x_2 = 2$
• Третий столбец: $15 + 6 + 10 + x_3 = 34 \implies x_3 = 3$
• Четвертый столбец: $4 + 9 + 5 + x_4 = 34 \implies x_4 = 16$

Таким образом, последняя строка: 13, 2, 3, 16. Проверим ее сумму: $13+2+3+16=34$.

Полный квадрат выглядит так:

1 14 15 4
12 7 6 9
8 11 10 5
13 2 3 16

Проверим суммы по диагоналям:

• Главная диагональ: $1 + 7 + 10 + 16 = 34$
• Побочная диагональ: $4 + 6 + 11 + 13 = 34$

Все суммы по строкам, столбцам и диагоналям во втором квадрате равны 34.

Магическое свойство этих квадратов заключается в том, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на двух главных диагоналях одинаковы. Эта сумма называется магической константой.

Ответ: Суммы чисел в строках, столбцах и диагоналях первого квадрата равны 15. Суммы чисел в строках, столбцах и диагоналях второго квадрата равны 34. Магическое свойство этих квадратов заключается в том, что суммы чисел по всем строкам, столбцам и двум главным диагоналям равны между собой.

Сначала определим, какой должна быть сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали (магическая константа).

Для этого найдем сумму всех чисел, которые нужно расставить в квадрате: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.
Сумма всех чисел $S = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36$.

Эта общая сумма распределяется по трем строкам квадрата, причем сумма в каждой строке должна быть одинаковой. Обозначим эту сумму как $M$. Тогда $3 \times M = S$.
$M = S / 3 = 36 / 3 = 12$.
Итак, искомая сумма равна 12.

Теперь расставим числа в квадрате $3 \times 3$ так, чтобы выполнялось это условие. Один из возможных вариантов магического квадрата выглядит так:

3 8 1
2 4 6
7 0 5

Проверим суммы:

• Строки: $3+8+1=12$, $2+4+6=12$, $7+0+5=12$.
• Столбцы: $3+2+7=12$, $8+4+0=12$, $1+6+5=12$.
• Диагонали: $3+4+5=12$, $1+4+7=12$.

Все условия выполняются.

Ответ: Сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали должна быть равна 12. Пример такого квадрата:
3 8 1
2 4 6
7 0 5

Чтобы доказать, что сумма всех чисел любого магического квадрата $3 \times 3$ делится на 3, рассмотрим его общую структуру.

Пусть $M$ — это магическая константа квадрата, то есть одинаковая сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и на диагоналях.

Рассмотрим три строки квадрата:

• Сумма чисел в первой строке равна $M$.
• Сумма чисел во второй строке равна $M$.
• Сумма чисел в третьей строке равна $M$.

Сумма всех чисел в квадрате, обозначим ее $S$, равна сумме чисел во всех его строках.

Следовательно, $S = (\text{сумма 1-й строки}) + (\text{сумма 2-й строки}) + (\text{сумма 3-й строки})$.

Подставляя значение магической константы, получаем:
$S = M + M + M = 3M$.

Поскольку числа в магических квадратах обычно целые, их сумма $M$ также является целым числом. Выражение $S = 3M$ показывает, что общая сумма $S$ является произведением числа 3 и целого числа $M$. Любое число, которое можно представить в таком виде, по определению делится на 3.

Таким образом, сумма всех чисел любого магического квадрата $3 \times 3$ всегда делится на 3, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. Сумма всех чисел магического квадрата $3 \times 3$ равна утроенной магической константе ($S=3M$), следовательно, она всегда делится на 3.

304. В Древней Индии умножали многозначные числа совсем не так, как мы это делаем теперь. Чтобы перемножить, например, 537 и 82, индусы рисовали прямоугольник со сторонами 3 и 2 клетки (по числу цифр в записи множителей), подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого числа слева направо, цифры второго числа снизу вверх; клетки прямоугольника делили диагоналями (рис. 28). Затем перемножали попарно цифры множителей и результат записывали в соответствующую клетку таблицы так: цифру единиц писали вверху клетки, цифру десятков — внизу. После этого складывали полученные результаты вдоль диагоналей квадратов. Считать начинали с правого верхнего угла квадрата. Так получали цифры ответа по разрядам. В нашем примере:

Единицы: 4

Десятки: $6 + 1 + 6 = 13$ (3 пишем, 1 запоминаем)

Сотни: $0 + 4 + 5 + 1 = 10$ (0 пишем, 1 запоминаем)

Тысячи: $1 + 0 + 2 + 1 = 4$

Десятки тысяч: 4

Ответ: $537 \cdot 82 = 44 034$.

Проверим результаты обычным способом:

$\begin{array}{r}537 \\\times 82 \\\hline1074 \\+ 4296 \\\hline44034\end{array}$

Рис. 28

В задаче описан древнеиндийский метод умножения многозначных чисел, известный как умножение решёткой. Алгоритм этого метода следующий:

1. Рисуется прямоугольная сетка (решётка). Количество столбцов равно количеству цифр в первом множителе, а количество строк — количеству цифр во втором множителе.
2. Над каждым столбцом записывается одна цифра первого множителя. Справа от каждой строки записывается одна цифра второго множителя.
3. Каждая ячейка сетки делится диагональю из правого верхнего угла в левый нижний.
4. В каждую ячейку вписывается результат умножения соответствующей цифры столбца на цифру строки. Цифра десятков произведения пишется в нижней части ячейки (под диагональю), а цифра единиц — в верхней. Если произведение однозначное, то в разряде десятков пишется 0.
5. Цифры, находящиеся в одинаковых диагональных полосах, складываются. Суммирование производят справа налево (от правого нижнего угла к левому верхнему). Если сумма в диагонали получается двузначной, то её последняя цифра является очередной цифрой итогового ответа, а первая цифра (десятки) прибавляется как перенос к сумме цифр в следующей диагонали.
6. Итоговый результат считывается из полученных сумм по краям решётки.

Применим этот метод для решения задач, числа для которых, предположительно, указаны вверху изображения: 13, 2, 3 и 16. Наиболее вероятная трактовка — это два примера на умножение, которые мы решим ниже.

1. Начертим решётку размером $2 \times 1$ (2 столбца для числа 13, 1 строка для числа 2). Сверху запишем цифры 1 и 3, справа — цифру 2.

2. Заполним ячейки, умножая соответствующие цифры. Десятки записываем под диагональю, единицы — над ней.

• Первая ячейка (пересечение столбца '1' и строки '2'): $1 \times 2 = 2$. Записываем результат как 02 (0 десятков, 2 единицы).
• Вторая ячейка (пересечение столбца '3' и строки '2'): $3 \times 2 = 6$. Записываем результат как 06 (0 десятков, 6 единиц).

3. Сложим числа вдоль диагоналей, начиная справа.

• Первая диагональ (разряд единиц): содержит только цифру 6. Сумма равна 6.
• Вторая диагональ (разряд десятков): содержит цифры 2 и 0. Сумма: $2 + 0 = 2$.
• Третья диагональ (разряд сотен): содержит цифру 0.

4. Записываем полученные цифры по порядку: 0, 2, 6. Отбрасывая незначащий ноль в начале, получаем число 26.

Ответ: 26.

1. Начертим решётку размером $2 \times 1$ (2 столбца для числа 16, 1 строка для числа 3). Сверху запишем цифры 1 и 6, справа — цифру 3.

2. Заполним ячейки результатами умножения.

• Первая ячейка (пересечение '1' и '3'): $1 \times 3 = 3$. Записываем как 03.
• Вторая ячейка (пересечение '6' и '3'): $6 \times 3 = 18$. Записываем 1 в десятках и 8 в единицах.

3. Сложим числа вдоль диагоналей.

• Первая диагональ (разряд единиц): содержит только цифру 8. Сумма равна 8.
• Вторая диагональ (разряд десятков): содержит цифры 3 и 1. Сумма: $3 + 1 = 4$.
• Третья диагональ (разряд сотен): содержит цифру 0.

4. Записываем полученные цифры: 0, 4, 8. Итоговый результат — 48.

Ответ: 48.