Номер 304, страница 69 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

304. В Древней Индии умножали многозначные числа совсем не так, как мы это делаем теперь. Чтобы перемножить, например, 537 и 82, индусы рисовали прямоугольник со сторонами 3 и 2 клетки (по числу цифр в записи множителей), подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого числа слева направо, цифры второго числа снизу вверх; клетки прямоугольника делили диагоналями (рис. 28). Затем перемножали попарно цифры множителей и результат записывали в соответствующую клетку таблицы так: цифру единиц писали вверху клетки, цифру десятков — внизу. После этого складывали полученные результаты вдоль диагоналей квадратов. Считать начинали с правого верхнего угла квадрата. Так получали цифры ответа по разрядам. В нашем примере:

Единицы: 4

Десятки: $6 + 1 + 6 = 13$ (3 пишем, 1 запоминаем)

Сотни: $0 + 4 + 5 + 1 = 10$ (0 пишем, 1 запоминаем)

Тысячи: $1 + 0 + 2 + 1 = 4$

Десятки тысяч: 4

Ответ: $537 \cdot 82 = 44 034$.

Проверим результаты обычным способом:

$\begin{array}{r}537 \\\times 82 \\\hline1074 \\+ 4296 \\\hline44034\end{array}$

Рис. 28

В задаче описан древнеиндийский метод умножения многозначных чисел, известный как умножение решёткой. Алгоритм этого метода следующий:

1. Рисуется прямоугольная сетка (решётка). Количество столбцов равно количеству цифр в первом множителе, а количество строк — количеству цифр во втором множителе.
2. Над каждым столбцом записывается одна цифра первого множителя. Справа от каждой строки записывается одна цифра второго множителя.
3. Каждая ячейка сетки делится диагональю из правого верхнего угла в левый нижний.
4. В каждую ячейку вписывается результат умножения соответствующей цифры столбца на цифру строки. Цифра десятков произведения пишется в нижней части ячейки (под диагональю), а цифра единиц — в верхней. Если произведение однозначное, то в разряде десятков пишется 0.
5. Цифры, находящиеся в одинаковых диагональных полосах, складываются. Суммирование производят справа налево (от правого нижнего угла к левому верхнему). Если сумма в диагонали получается двузначной, то её последняя цифра является очередной цифрой итогового ответа, а первая цифра (десятки) прибавляется как перенос к сумме цифр в следующей диагонали.
6. Итоговый результат считывается из полученных сумм по краям решётки.

Применим этот метод для решения задач, числа для которых, предположительно, указаны вверху изображения: 13, 2, 3 и 16. Наиболее вероятная трактовка — это два примера на умножение, которые мы решим ниже.

1. Начертим решётку размером $2 \times 1$ (2 столбца для числа 13, 1 строка для числа 2). Сверху запишем цифры 1 и 3, справа — цифру 2.

2. Заполним ячейки, умножая соответствующие цифры. Десятки записываем под диагональю, единицы — над ней.

• Первая ячейка (пересечение столбца '1' и строки '2'): $1 \times 2 = 2$. Записываем результат как 02 (0 десятков, 2 единицы).
• Вторая ячейка (пересечение столбца '3' и строки '2'): $3 \times 2 = 6$. Записываем результат как 06 (0 десятков, 6 единиц).

3. Сложим числа вдоль диагоналей, начиная справа.

• Первая диагональ (разряд единиц): содержит только цифру 6. Сумма равна 6.
• Вторая диагональ (разряд десятков): содержит цифры 2 и 0. Сумма: $2 + 0 = 2$.
• Третья диагональ (разряд сотен): содержит цифру 0.

4. Записываем полученные цифры по порядку: 0, 2, 6. Отбрасывая незначащий ноль в начале, получаем число 26.

Ответ: 26.

1. Начертим решётку размером $2 \times 1$ (2 столбца для числа 16, 1 строка для числа 3). Сверху запишем цифры 1 и 6, справа — цифру 3.

2. Заполним ячейки результатами умножения.

• Первая ячейка (пересечение '1' и '3'): $1 \times 3 = 3$. Записываем как 03.
• Вторая ячейка (пересечение '6' и '3'): $6 \times 3 = 18$. Записываем 1 в десятках и 8 в единицах.

3. Сложим числа вдоль диагоналей.

• Первая диагональ (разряд единиц): содержит только цифру 8. Сумма равна 8.
• Вторая диагональ (разряд десятков): содержит цифры 3 и 1. Сумма: $3 + 1 = 4$.
• Третья диагональ (разряд сотен): содержит цифру 0.

4. Записываем полученные цифры: 0, 4, 8. Итоговый результат — 48.

Ответ: 48.