Номер 307, страница 70 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

307. Проверьте, что в двоичной системе нумерации справедливы равенства:

а) $11 + 11 = 110;$

б) $101 + 11 = 1000;$

в) $101 - 11 = 10;$

г) $100 - 11 = 1;$

д) $101 \cdot 11 = 1111;$

е) $11 \cdot 11 = 1001;$

ж) $111 \cdot 11 = 10101;$

з) $1011 \cdot 11 = 100001.$

Для проверки справедливости равенств можно выполнить арифметические действия непосредственно в двоичной системе счисления, либо перевести числа в десятичную систему, выполнить действия в ней, а результат сравнить с результатом из условия.

а) $11_2 + 11_2 = 110_2$

Способ 1: Двоичная арифметика.
Выполним сложение в столбик. В младшем разряде (справа): $1 + 1 = 10_2$. Записываем $0$ и переносим $1$ в следующий разряд. В следующем разряде: $1 + 1 + 1$ (перенос) $= 11_2$. Записываем $1$ и переносим $1$ в следующий разряд. В старшем разряде получаем $1$ из переноса. Итоговый результат: $110_2$. Равенство верно.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$11_2 = 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 2 + 1 = 3_{10}$.
Следовательно, $3_{10} + 3_{10} = 6_{10}$.
Проверим правую часть равенства: $110_2 = 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 4 + 2 + 0 = 6_{10}$.
Так как $6_{10} = 6_{10}$, равенство справедливо.

Ответ: равенство верно.

б) $101_2 + 11_2 = 1000_2$

Способ 1: Двоичная арифметика.
В младшем разряде: $1 + 1 = 10_2$. Пишем $0$, переносим $1$.
В следующем разряде: $0 + 1 + 1$ (перенос) $= 10_2$. Пишем $0$, переносим $1$.
В следующем разряде: $1 + 0 + 1$ (перенос) $= 10_2$. Пишем $0$, переносим $1$.
В старшем разряде получаем $1$ из переноса. Итоговый результат: $1000_2$. Равенство верно.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$101_2 = 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 4 + 0 + 1 = 5_{10}$.
$11_2 = 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 2 + 1 = 3_{10}$.
$5_{10} + 3_{10} = 8_{10}$.
Проверим правую часть: $1000_2 = 1 \cdot 2^3 = 8_{10}$.
Так как $8_{10} = 8_{10}$, равенство справедливо.

Ответ: равенство верно.

в) $101_2 - 11_2 = 10_2$

Способ 1: Двоичная арифметика.
Выполним вычитание в столбик. В младшем разряде: $1 - 1 = 0$.
В следующем разряде: $0 - 1$. Занимаем единицу из старшего разряда (из $1 \cdot 2^2$). Получаем $10_2 - 1_2 = 1$.
В старшем разряде после заёма остался $0$. Итоговый результат: $10_2$. Равенство верно.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$101_2 = 5_{10}$.
$11_2 = 3_{10}$.
$5_{10} - 3_{10} = 2_{10}$.
Проверим правую часть: $10_2 = 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 2_{10}$.
Так как $2_{10} = 2_{10}$, равенство справедливо.

Ответ: равенство верно.

г) $100_2 - 11_2 = 1_2$

Способ 1: Двоичная арифметика.
В младшем разряде: $0 - 1$. Занимаем единицу из старших разрядов. Заём из третьего разряда ($1 \cdot 2^2$) даёт $10_2$ ($2_{10}$) во второй разряд. Затем заём из второго разряда даёт $10_2$ в первый, а во втором остаётся $1$.
В младшем разряде: $10_2 - 1 = 1$.
Во втором разряде: $1 - 1 = 0$.
В третьем разряде: $0-0=0$. Итоговый результат: $1_2$. Равенство верно.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$100_2 = 1 \cdot 2^2 = 4_{10}$.
$11_2 = 3_{10}$.
$4_{10} - 3_{10} = 1_{10}$.
Проверим правую часть: $1_2 = 1_{10}$.
Так как $1_{10} = 1_{10}$, равенство справедливо.

Ответ: равенство верно.

д) $101_2 \cdot 11_2 = 1111_2$

Способ 1: Двоичная арифметика.
Умножение в столбик: $101 \cdot 1 = 101$, $101 \cdot 10 = 1010$.
Складываем результаты: $101_2 + 1010_2 = 1111_2$. Равенство верно.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$101_2 = 5_{10}$.
$11_2 = 3_{10}$.
$5_{10} \cdot 3_{10} = 15_{10}$.
Проверим правую часть: $1111_2 = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15_{10}$.
Так как $15_{10} = 15_{10}$, равенство справедливо.

Ответ: равенство верно.

е) $11_2 \cdot 11_2 = 1001_2$

Способ 1: Двоичная арифметика.
Умножение в столбик: $11 \cdot 1 = 11$, $11 \cdot 10 = 110$.
Складываем результаты: $11_2 + 110_2 = 1001_2$. Равенство верно.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$11_2 = 3_{10}$.
$3_{10} \cdot 3_{10} = 9_{10}$.
Проверим правую часть: $1001_2 = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 1 = 9_{10}$.
Так как $9_{10} = 9_{10}$, равенство справедливо.

Ответ: равенство верно.

ж) $111_2 \cdot 11_2 = 10101_2$

Способ 1: Двоичная арифметика.
Умножение в столбик: $111 \cdot 1 = 111$, $111 \cdot 10 = 1110$.
Складываем результаты: $111_2 + 1110_2 = 10101_2$. Равенство верно.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$111_2 = 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 4 + 2 + 1 = 7_{10}$.
$11_2 = 3_{10}$.
$7_{10} \cdot 3_{10} = 21_{10}$.
Проверим правую часть: $10101_2 = 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 16 + 4 + 1 = 21_{10}$.
Так как $21_{10} = 21_{10}$, равенство справедливо.

Ответ: равенство верно.

з) $1011_2 \cdot 11_2 = 100001_2$

Способ 1: Двоичная арифметика.
Умножение в столбик: $1011 \cdot 1 = 1011$, $1011 \cdot 10 = 10110$.
Складываем результаты: $1011_2 + 10110_2 = 100001_2$. Равенство верно.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$1011_2 = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 2 + 1 = 11_{10}$.
$11_2 = 3_{10}$.
$11_{10} \cdot 3_{10} = 33_{10}$.
Проверим правую часть: $100001_2 = 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^0 = 32 + 1 = 33_{10}$.
Так как $33_{10} = 33_{10}$, равенство справедливо.

Ответ: равенство верно.