Номер 306, страница 70 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

306. Запишите в двоичной системе нумерации числовые выражения:

a) $2^1$; $2^2$; $2^3$; $2^4$; $2^5$; $2^6$; $2^7$; $2^8$; $2^9$; $2^{10}$;

б) $1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8 + 2^9 + 2^{10}$;

в) $2^5 + 1$; $2^6 + 1$; $2^7 + 1$; $2^8 + 1$; $2^9 + 1$; $2^{10} + 1$.

а) Любое число вида $2^n$ в десятичной системе счисления записывается в двоичной системе как единица, за которой следует $n$ нулей. Это следует из разложения числа по степеням двойки: $2^n = 1 \cdot 2^n + 0 \cdot 2^{n-1} + \dots + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0$. Применяя это правило, получаем следующие двоичные представления:
$2^1 = 10_2$
$2^2 = 100_2$
$2^3 = 1000_2$
$2^4 = 10000_2$
$2^5 = 100000_2$
$2^6 = 1000000_2$
$2^7 = 10000000_2$
$2^8 = 100000000_2$
$2^9 = 1000000000_2$
$2^{10} = 10000000000_2$
Ответ: $10_2; 100_2; 1000_2; 10000_2; 100000_2; 1000000_2; 10000000_2; 100000000_2; 1000000000_2; 10000000000_2$.

б) Данное числовое выражение представляет собой сумму степеней двойки от 0 до 10: $1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{10} = 1 \cdot 2^0 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^2 + \dots + 1 \cdot 2^{10}$.
Это является развернутой формой записи числа в двоичной системе, где все коэффициенты (цифры) на позициях от 0 до 10 равны 1. Следовательно, двоичное представление этого числа будет состоять из одиннадцати единиц подряд.
Другой способ решения — использовать формулу суммы геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$. В данном случае $b_1=1$, $q=2$, $n=11$ (так как ряд начинается с $2^0$). Сумма равна $S_{11} = \frac{1(2^{11}-1)}{2-1} = 2^{11} - 1$.
Число $2^{11}$ в двоичной системе записывается как единица и 11 нулей ($100000000000_2$). Вычитание единицы из такого числа ($100...0_2 - 1_2$) приводит к замене всех нулей на единицы, а старшая единица становится нулем, уменьшая разрядность числа на 1. Таким образом, $2^{11} - 1$ в двоичной системе — это 11 единиц.
$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8 + 2^9 + 2^{10} = 11111111111_2$.
Ответ: $11111111111_2$.

в) Число вида $2^n + 1$ можно представить в виде разложения по степеням двойки как $1 \cdot 2^n + 0 \cdot 2^{n-1} + \dots + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$.
Это означает, что в двоичной записи данного числа на $n$-ой позиции (старший разряд) и на 0-ой позиции (младший разряд) будут стоять единицы, а между ними — $n-1$ нулей.
Применяя это правило, получаем следующие двоичные представления:
$2^5 + 1 = 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^0 = 100001_2$
$2^6 + 1 = 1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^0 = 1000001_2$
$2^7 + 1 = 1 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^0 = 10000001_2$
$2^8 + 1 = 1 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^0 = 100000001_2$
$2^9 + 1 = 1 \cdot 2^9 + 1 \cdot 2^0 = 1000000001_2$
$2^{10} + 1 = 1 \cdot 2^{10} + 1 \cdot 2^0 = 10000000001_2$
Ответ: $100001_2; 1000001_2; 10000001_2; 100000001_2; 1000000001_2; 10000000001_2$.