Номер 303, страница 69 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

303. Докажите, что сумма всех чисел любого магического квадрата $3 \times 3$ делится на 3.

Для того чтобы сравнить суммы чисел в квадратах, рассчитаем их для каждой строки, каждого столбца и каждой диагонали.

Первый квадрат (3×3):

4 9 2
3 5 7
8 1 6

• Суммы по строкам:
  $4 + 9 + 2 = 15$
  $3 + 5 + 7 = 15$
  $8 + 1 + 6 = 15$
• Суммы по столбцам:
  $4 + 3 + 8 = 15$
  $9 + 5 + 1 = 15$
  $2 + 7 + 6 = 15$
• Суммы по диагоналям:
  $4 + 5 + 6 = 15$ (главная диагональ)
  $2 + 5 + 8 = 15$ (побочная диагональ)

Все суммы в первом квадрате равны 15.

Второй квадрат (4×4):

Этот квадрат неполный, отсутствует последняя строка. Однако, если предположить, что это магический квадрат, мы можем восстановить недостающие числа. Сумма чисел в каждой полной строке равна 34:

$1 + 14 + 15 + 4 = 34$
$12 + 7 + 6 + 9 = 34$
$8 + 11 + 10 + 5 = 34$

Примем магическую сумму равной 34 и найдем числа в последней строке, исходя из того, что суммы в столбцах также должны быть равны 34:

• Первый столбец: $1 + 12 + 8 + x_1 = 34 \implies x_1 = 13$
• Второй столбец: $14 + 7 + 11 + x_2 = 34 \implies x_2 = 2$
• Третий столбец: $15 + 6 + 10 + x_3 = 34 \implies x_3 = 3$
• Четвертый столбец: $4 + 9 + 5 + x_4 = 34 \implies x_4 = 16$

Таким образом, последняя строка: 13, 2, 3, 16. Проверим ее сумму: $13+2+3+16=34$.

Полный квадрат выглядит так:

1 14 15 4
12 7 6 9
8 11 10 5
13 2 3 16

Проверим суммы по диагоналям:

• Главная диагональ: $1 + 7 + 10 + 16 = 34$
• Побочная диагональ: $4 + 6 + 11 + 13 = 34$

Все суммы по строкам, столбцам и диагоналям во втором квадрате равны 34.

Магическое свойство этих квадратов заключается в том, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на двух главных диагоналях одинаковы. Эта сумма называется магической константой.

Ответ: Суммы чисел в строках, столбцах и диагоналях первого квадрата равны 15. Суммы чисел в строках, столбцах и диагоналях второго квадрата равны 34. Магическое свойство этих квадратов заключается в том, что суммы чисел по всем строкам, столбцам и двум главным диагоналям равны между собой.

Сначала определим, какой должна быть сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали (магическая константа).

Для этого найдем сумму всех чисел, которые нужно расставить в квадрате: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.
Сумма всех чисел $S = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36$.

Эта общая сумма распределяется по трем строкам квадрата, причем сумма в каждой строке должна быть одинаковой. Обозначим эту сумму как $M$. Тогда $3 \times M = S$.
$M = S / 3 = 36 / 3 = 12$.
Итак, искомая сумма равна 12.

Теперь расставим числа в квадрате $3 \times 3$ так, чтобы выполнялось это условие. Один из возможных вариантов магического квадрата выглядит так:

3 8 1
2 4 6
7 0 5

Проверим суммы:

• Строки: $3+8+1=12$, $2+4+6=12$, $7+0+5=12$.
• Столбцы: $3+2+7=12$, $8+4+0=12$, $1+6+5=12$.
• Диагонали: $3+4+5=12$, $1+4+7=12$.

Все условия выполняются.

Ответ: Сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали должна быть равна 12. Пример такого квадрата:
3 8 1
2 4 6
7 0 5

Чтобы доказать, что сумма всех чисел любого магического квадрата $3 \times 3$ делится на 3, рассмотрим его общую структуру.

Пусть $M$ — это магическая константа квадрата, то есть одинаковая сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и на диагоналях.

Рассмотрим три строки квадрата:

• Сумма чисел в первой строке равна $M$.
• Сумма чисел во второй строке равна $M$.
• Сумма чисел в третьей строке равна $M$.

Сумма всех чисел в квадрате, обозначим ее $S$, равна сумме чисел во всех его строках.

Следовательно, $S = (\text{сумма 1-й строки}) + (\text{сумма 2-й строки}) + (\text{сумма 3-й строки})$.

Подставляя значение магической константы, получаем:
$S = M + M + M = 3M$.

Поскольку числа в магических квадратах обычно целые, их сумма $M$ также является целым числом. Выражение $S = 3M$ показывает, что общая сумма $S$ является произведением числа 3 и целого числа $M$. Любое число, которое можно представить в таком виде, по определению делится на 3.

Таким образом, сумма всех чисел любого магического квадрата $3 \times 3$ всегда делится на 3, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. Сумма всех чисел магического квадрата $3 \times 3$ равна утроенной магической константе ($S=3M$), следовательно, она всегда делится на 3.