Страница 70 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

305. Вычислите произведение двух чисел индийским способом и сделайте проверку обычным способом:

а) $38 \cdot 57$;

б) $932 \cdot 43$;

в) $34 \cdot 269$.

Вычисление индийским способом (умножение решёткой):
1. Для умножения двузначных чисел 38 и 57 начертим таблицу 2x2. Над столбцами запишем цифры 3 и 8, а справа от строк — цифры 5 и 7.
2. Каждую ячейку разделим диагональю. Впишем в ячейки произведения соответствующих цифр. Десятки пишем над диагональю, единицы — под ней.
- В ячейке на пересечении '5' и '3': $5 \times 3 = 15$.
- В ячейке на пересечении '5' и '8': $5 \times 8 = 40$.
- В ячейке на пересечении '7' и '3': $7 \times 3 = 21$.
- В ячейке на пересечении '7' и '8': $7 \times 8 = 56$.
3. Сложим числа вдоль диагоналей, начиная с правого нижнего угла.
- Первая диагональ (справа внизу): 6. Это последняя цифра результата.
- Вторая диагональ: $0 + 5 + 1 = 6$.
- Третья диагональ: $4 + 5 + 2 = 11$. Записываем 1 и 1 переносим в следующий разряд.
- Четвертая диагональ (слева вверху): 1. Прибавляем перенесенную единицу: $1 + 1 = 2$.
4. Читаем результат по полученным цифрам слева направо: 2166.

Проверка обычным способом:
Выполним умножение в столбик: $\begin{array}{r} \\ \times \\ \hline \\ + \\ \hline \end{array} \begin{array}{r} 38 \\ 57 \\ \hline 266 \\ 190\phantom{0} \\ \hline 2166 \end{array}$
Результаты совпадают, вычисление верное.

Ответ: 2166.

Вычисление индийским способом (умножение решёткой):
1. Для умножения трёхзначного числа 932 на двузначное 43 начертим таблицу 3x2 (3 столбца, 2 строки). Над столбцами запишем цифры 9, 3, 2, а справа от строк — 4, 3.
2. Заполним ячейки произведениями (десятки над диагональю, единицы под ней):
- $9 \times 4 = 36$; $3 \times 4 = 12$; $2 \times 4 = 08$.
- $9 \times 3 = 27$; $3 \times 3 = 09$; $2 \times 3 = 06$.
3. Сложим числа вдоль диагоналей, начиная с правого нижнего угла.
- Первая диагональ: 6.
- Вторая диагональ: $8 + 0 + 9 = 17$. Записываем 7, переносим 1.
- Третья диагональ: $0 + 2 + 0 + 7 = 9$. Прибавляем перенос 1: $9+1=10$. Записываем 0, переносим 1.
- Четвертая диагональ: $1 + 6 + 2 = 9$. Прибавляем перенос 1: $9+1=10$. Записываем 0, переносим 1.
- Пятая диагональ: 3. Прибавляем перенос 1: $3+1=4$.
4. Читаем результат слева направо: 40076.

Проверка обычным способом:
Выполним умножение в столбик: $\begin{array}{r} \\ \times \\ \hline \\ + \\ \hline \end{array} \begin{array}{r} 932 \\ 43 \\ \hline 2796 \\ 3728\phantom{0} \\ \hline 40076 \end{array}$
Результаты совпадают, вычисление верное.

Ответ: 40076.

Вычисление индийским способом (умножение решёткой):
1. Для умножения двузначного числа 34 на трёхзначное 269 начертим таблицу 2x3 (2 столбца, 3 строки). Над столбцами запишем цифры 3, 4, а справа от строк — 2, 6, 9.
2. Заполним ячейки произведениями:
- Строка '2': $3 \times 2 = 06$; $4 \times 2 = 08$.
- Строка '6': $3 \times 6 = 18$; $4 \times 6 = 24$.
- Строка '9': $3 \times 9 = 27$; $4 \times 9 = 36$.
3. Сложим числа вдоль диагоналей, начиная с правого нижнего угла.
- Первая диагональ: 6.
- Вторая диагональ: $4 + 3 + 7 = 14$. Записываем 4, переносим 1.
- Третья диагональ: $8 + 2 + 8 + 2 = 20$. Прибавляем перенос 1: $20+1=21$. Записываем 1, переносим 2.
- Четвертая диагональ: $0 + 1 + 6 = 7$. Прибавляем перенос 2: $7+2=9$.
- Пятая диагональ: 0.
4. Читаем результат слева направо (игнорируя ведущий ноль): 9146.

Проверка обычным способом:
Выполним умножение в столбик (для удобства умножим 269 на 34): $\begin{array}{r} \\ \times \\ \hline \\ + \\ \hline \end{array} \begin{array}{r} 269 \\ 34 \\ \hline 1076 \\ 807\phantom{0} \\ \hline 9146 \end{array}$
Результаты совпадают, вычисление верное.

Ответ: 9146.

306. Запишите в двоичной системе нумерации числовые выражения:

a) $2^1$; $2^2$; $2^3$; $2^4$; $2^5$; $2^6$; $2^7$; $2^8$; $2^9$; $2^{10}$;

б) $1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8 + 2^9 + 2^{10}$;

в) $2^5 + 1$; $2^6 + 1$; $2^7 + 1$; $2^8 + 1$; $2^9 + 1$; $2^{10} + 1$.

а) Любое число вида $2^n$ в десятичной системе счисления записывается в двоичной системе как единица, за которой следует $n$ нулей. Это следует из разложения числа по степеням двойки: $2^n = 1 \cdot 2^n + 0 \cdot 2^{n-1} + \dots + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0$. Применяя это правило, получаем следующие двоичные представления:
$2^1 = 10_2$
$2^2 = 100_2$
$2^3 = 1000_2$
$2^4 = 10000_2$
$2^5 = 100000_2$
$2^6 = 1000000_2$
$2^7 = 10000000_2$
$2^8 = 100000000_2$
$2^9 = 1000000000_2$
$2^{10} = 10000000000_2$
Ответ: $10_2; 100_2; 1000_2; 10000_2; 100000_2; 1000000_2; 10000000_2; 100000000_2; 1000000000_2; 10000000000_2$.

б) Данное числовое выражение представляет собой сумму степеней двойки от 0 до 10: $1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{10} = 1 \cdot 2^0 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^2 + \dots + 1 \cdot 2^{10}$.
Это является развернутой формой записи числа в двоичной системе, где все коэффициенты (цифры) на позициях от 0 до 10 равны 1. Следовательно, двоичное представление этого числа будет состоять из одиннадцати единиц подряд.
Другой способ решения — использовать формулу суммы геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$. В данном случае $b_1=1$, $q=2$, $n=11$ (так как ряд начинается с $2^0$). Сумма равна $S_{11} = \frac{1(2^{11}-1)}{2-1} = 2^{11} - 1$.
Число $2^{11}$ в двоичной системе записывается как единица и 11 нулей ($100000000000_2$). Вычитание единицы из такого числа ($100...0_2 - 1_2$) приводит к замене всех нулей на единицы, а старшая единица становится нулем, уменьшая разрядность числа на 1. Таким образом, $2^{11} - 1$ в двоичной системе — это 11 единиц.
$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8 + 2^9 + 2^{10} = 11111111111_2$.
Ответ: $11111111111_2$.

в) Число вида $2^n + 1$ можно представить в виде разложения по степеням двойки как $1 \cdot 2^n + 0 \cdot 2^{n-1} + \dots + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$.
Это означает, что в двоичной записи данного числа на $n$-ой позиции (старший разряд) и на 0-ой позиции (младший разряд) будут стоять единицы, а между ними — $n-1$ нулей.
Применяя это правило, получаем следующие двоичные представления:
$2^5 + 1 = 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^0 = 100001_2$
$2^6 + 1 = 1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^0 = 1000001_2$
$2^7 + 1 = 1 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^0 = 10000001_2$
$2^8 + 1 = 1 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^0 = 100000001_2$
$2^9 + 1 = 1 \cdot 2^9 + 1 \cdot 2^0 = 1000000001_2$
$2^{10} + 1 = 1 \cdot 2^{10} + 1 \cdot 2^0 = 10000000001_2$
Ответ: $100001_2; 1000001_2; 10000001_2; 100000001_2; 1000000001_2; 10000000001_2$.

307. Проверьте, что в двоичной системе нумерации справедливы равенства:

а) $11 + 11 = 110;$

б) $101 + 11 = 1000;$

в) $101 - 11 = 10;$

г) $100 - 11 = 1;$

д) $101 \cdot 11 = 1111;$

е) $11 \cdot 11 = 1001;$

ж) $111 \cdot 11 = 10101;$

з) $1011 \cdot 11 = 100001.$

Для проверки справедливости равенств можно выполнить арифметические действия непосредственно в двоичной системе счисления, либо перевести числа в десятичную систему, выполнить действия в ней, а результат сравнить с результатом из условия.

а) $11_2 + 11_2 = 110_2$

Способ 1: Двоичная арифметика.
Выполним сложение в столбик. В младшем разряде (справа): $1 + 1 = 10_2$. Записываем $0$ и переносим $1$ в следующий разряд. В следующем разряде: $1 + 1 + 1$ (перенос) $= 11_2$. Записываем $1$ и переносим $1$ в следующий разряд. В старшем разряде получаем $1$ из переноса. Итоговый результат: $110_2$. Равенство верно.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$11_2 = 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 2 + 1 = 3_{10}$.
Следовательно, $3_{10} + 3_{10} = 6_{10}$.
Проверим правую часть равенства: $110_2 = 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 4 + 2 + 0 = 6_{10}$.
Так как $6_{10} = 6_{10}$, равенство справедливо.

Ответ: равенство верно.

б) $101_2 + 11_2 = 1000_2$

Способ 1: Двоичная арифметика.
В младшем разряде: $1 + 1 = 10_2$. Пишем $0$, переносим $1$.
В следующем разряде: $0 + 1 + 1$ (перенос) $= 10_2$. Пишем $0$, переносим $1$.
В следующем разряде: $1 + 0 + 1$ (перенос) $= 10_2$. Пишем $0$, переносим $1$.
В старшем разряде получаем $1$ из переноса. Итоговый результат: $1000_2$. Равенство верно.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$101_2 = 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 4 + 0 + 1 = 5_{10}$.
$11_2 = 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 2 + 1 = 3_{10}$.
$5_{10} + 3_{10} = 8_{10}$.
Проверим правую часть: $1000_2 = 1 \cdot 2^3 = 8_{10}$.
Так как $8_{10} = 8_{10}$, равенство справедливо.

Ответ: равенство верно.

в) $101_2 - 11_2 = 10_2$

Способ 1: Двоичная арифметика.
Выполним вычитание в столбик. В младшем разряде: $1 - 1 = 0$.
В следующем разряде: $0 - 1$. Занимаем единицу из старшего разряда (из $1 \cdot 2^2$). Получаем $10_2 - 1_2 = 1$.
В старшем разряде после заёма остался $0$. Итоговый результат: $10_2$. Равенство верно.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$101_2 = 5_{10}$.
$11_2 = 3_{10}$.
$5_{10} - 3_{10} = 2_{10}$.
Проверим правую часть: $10_2 = 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 2_{10}$.
Так как $2_{10} = 2_{10}$, равенство справедливо.

Ответ: равенство верно.

г) $100_2 - 11_2 = 1_2$

Способ 1: Двоичная арифметика.
В младшем разряде: $0 - 1$. Занимаем единицу из старших разрядов. Заём из третьего разряда ($1 \cdot 2^2$) даёт $10_2$ ($2_{10}$) во второй разряд. Затем заём из второго разряда даёт $10_2$ в первый, а во втором остаётся $1$.
В младшем разряде: $10_2 - 1 = 1$.
Во втором разряде: $1 - 1 = 0$.
В третьем разряде: $0-0=0$. Итоговый результат: $1_2$. Равенство верно.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$100_2 = 1 \cdot 2^2 = 4_{10}$.
$11_2 = 3_{10}$.
$4_{10} - 3_{10} = 1_{10}$.
Проверим правую часть: $1_2 = 1_{10}$.
Так как $1_{10} = 1_{10}$, равенство справедливо.

Ответ: равенство верно.

д) $101_2 \cdot 11_2 = 1111_2$

Способ 1: Двоичная арифметика.
Умножение в столбик: $101 \cdot 1 = 101$, $101 \cdot 10 = 1010$.
Складываем результаты: $101_2 + 1010_2 = 1111_2$. Равенство верно.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$101_2 = 5_{10}$.
$11_2 = 3_{10}$.
$5_{10} \cdot 3_{10} = 15_{10}$.
Проверим правую часть: $1111_2 = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15_{10}$.
Так как $15_{10} = 15_{10}$, равенство справедливо.

Ответ: равенство верно.

е) $11_2 \cdot 11_2 = 1001_2$

Способ 1: Двоичная арифметика.
Умножение в столбик: $11 \cdot 1 = 11$, $11 \cdot 10 = 110$.
Складываем результаты: $11_2 + 110_2 = 1001_2$. Равенство верно.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$11_2 = 3_{10}$.
$3_{10} \cdot 3_{10} = 9_{10}$.
Проверим правую часть: $1001_2 = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 1 = 9_{10}$.
Так как $9_{10} = 9_{10}$, равенство справедливо.

Ответ: равенство верно.

ж) $111_2 \cdot 11_2 = 10101_2$

Способ 1: Двоичная арифметика.
Умножение в столбик: $111 \cdot 1 = 111$, $111 \cdot 10 = 1110$.
Складываем результаты: $111_2 + 1110_2 = 10101_2$. Равенство верно.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$111_2 = 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 4 + 2 + 1 = 7_{10}$.
$11_2 = 3_{10}$.
$7_{10} \cdot 3_{10} = 21_{10}$.
Проверим правую часть: $10101_2 = 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 16 + 4 + 1 = 21_{10}$.
Так как $21_{10} = 21_{10}$, равенство справедливо.

Ответ: равенство верно.

з) $1011_2 \cdot 11_2 = 100001_2$

Способ 1: Двоичная арифметика.
Умножение в столбик: $1011 \cdot 1 = 1011$, $1011 \cdot 10 = 10110$.
Складываем результаты: $1011_2 + 10110_2 = 100001_2$. Равенство верно.

Способ 2: Перевод в десятичную систему.
$1011_2 = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 2 + 1 = 11_{10}$.
$11_2 = 3_{10}$.
$11_{10} \cdot 3_{10} = 33_{10}$.
Проверим правую часть: $100001_2 = 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^0 = 32 + 1 = 33_{10}$.
Так как $33_{10} = 33_{10}$, равенство справедливо.

Ответ: равенство верно.

308. а) Тройка лошадей проскакала 90 км. Сколько километров проскакала каждая лошадь?

б) Чтобы сварить яйцо всмятку, мама держит его 2 мин в кипящей воде. Сколько минут потребуется, чтобы сварить всмятку 8 яиц?

а) Тройка лошадей — это упряжка из трех лошадей, которые бегут вместе, одновременно, и тянут одну повозку (в данном случае, сани). Так как все лошади движутся вместе как единое целое, они проходят одинаковый путь. Следовательно, если вся тройка проскакала 90 км, то и каждая лошадь в отдельности проскакала то же самое расстояние.
Ответ: 90 км.

б) Время, необходимое для варки яйца, не зависит от количества яиц, если их варят одновременно в одной и той же кастрюле (при условии, что кастрюля достаточно большая и вода не перестает кипеть). Все 8 яиц можно положить в кипящую воду одновременно, и они будут готовы через то же время, что и одно яйцо. Таким образом, чтобы сварить 8 яиц, потребуется 2 минуты.
Ответ: 2 минуты.

309. а) К двузначному числу приписали цифру 5 сначала слева, а потом справа — получили два трёхзначных числа, сумма которых равна 912. Найдите двузначное число.

б) К двузначному числу приписали цифру 1 сначала слева, а потом справа — получили два трёхзначных числа, сумма которых равна 926. Найдите двузначное число.

в) К трёхзначному числу приписали цифру 2 сначала слева, а потом справа — получили два четырёхзначных числа, сумма которых равна 5929. Найдите трёхзначное число.

г) К трёхзначному числу приписали цифру 7 сначала слева, а потом справа — получили два четырёхзначных числа, сумма которых равна 8360. Найдите трёхзначное число.

а) Пусть искомое двузначное число — это $X$. Когда к числу $X$ приписывают цифру 5 слева, мы получаем новое трёхзначное число, которое можно записать как $500 + X$. Когда к числу $X$ приписывают цифру 5 справа, новое число можно записать как $10X + 5$. По условию, сумма этих двух чисел равна 912. Составим и решим уравнение:

$(500 + X) + (10X + 5) = 912$

$505 + 11X = 912$

$11X = 912 - 505$

$11X = 407$

$X = \frac{407}{11}$

$X = 37$

Проверим: искомое число — 37. Приписав 5 слева, получаем 537. Приписав 5 справа, получаем 375. Сумма: $537 + 375 = 912$. Условие задачи выполнено.
Ответ: 37

б) Пусть искомое двузначное число — это $X$. Когда к нему приписывают цифру 1 слева, получается число $100 + X$. Когда цифру 1 приписывают справа, получается число $10X + 1$. Сумма этих двух чисел по условию равна 926. Составим и решим уравнение:

$(100 + X) + (10X + 1) = 926$

$101 + 11X = 926$

$11X = 926 - 101$

$11X = 825$

$X = \frac{825}{11}$

$X = 75$

Проверим: искомое число — 75. Приписав 1 слева, получаем 175. Приписав 1 справа, получаем 751. Сумма: $175 + 751 = 926$. Условие задачи выполнено.
Ответ: 75

в) Пусть искомое трёхзначное число — это $X$. Когда к нему приписывают цифру 2 слева, получается четырёхзначное число $2000 + X$. Когда цифру 2 приписывают справа, получается число $10X + 2$. Сумма этих двух чисел по условию равна 5929. Составим и решим уравнение:

$(2000 + X) + (10X + 2) = 5929$

$2002 + 11X = 5929$

$11X = 5929 - 2002$

$11X = 3927$

$X = \frac{3927}{11}$

$X = 357$

Проверим: искомое число — 357. Приписав 2 слева, получаем 2357. Приписав 2 справа, получаем 3572. Сумма: $2357 + 3572 = 5929$. Условие задачи выполнено.
Ответ: 357

г) Пусть искомое трёхзначное число — это $X$. Когда к нему приписывают цифру 7 слева, получается четырёхзначное число $7000 + X$. Когда цифру 7 приписывают справа, получается число $10X + 7$. Сумма этих двух чисел по условию равна 8360. Составим и решим уравнение:

$(7000 + X) + (10X + 7) = 8360$

$7007 + 11X = 8360$

$11X = 8360 - 7007$

$11X = 1353$

$X = \frac{1353}{11}$

$X = 123$

Проверим: искомое число — 123. Приписав 7 слева, получаем 7123. Приписав 7 справа, получаем 1237. Сумма: $7123 + 1237 = 8360$. Условие задачи выполнено.
Ответ: 123