Страница 68 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

298. a) Прочитайте числа, записанные в римской системе нумерации:

I, II, IV, VII, IX, XI, XVII, MCMXCV.

б) Запишите в римской системе нумерации числа:

6, 8, 12, 18, 19, 20, 23, 24.

а) Для того чтобы прочитать числа, записанные в римской системе нумерации, необходимо знать значения основных римских цифр и правила их комбинирования.

Значения основных цифр:
I = 1
V = 5
X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000

Правила комбинирования:

1. Если меньшая цифра стоит после большей, то их значения складываются. Например, $VI = V + I = 5 + 1 = 6$.
2. Если меньшая цифра стоит перед большей, то её значение вычитается из большей. Например, $IV = V - I = 5 - 1 = 4$.

Применяя эти правила, прочитаем заданные числа:

I $ \rightarrow $ 1 (один)
II $ \rightarrow $ $1 + 1 = 2$ (два)
IV $ \rightarrow $ $5 - 1 = 4$ (четыре)
VII $ \rightarrow $ $5 + 1 + 1 = 7$ (семь)
IX $ \rightarrow $ $10 - 1 = 9$ (девять)
XI $ \rightarrow $ $10 + 1 = 11$ (одиннадцать)
XVII $ \rightarrow $ $10 + 5 + 1 + 1 = 17$ (семнадцать)
MCMXCV $ \rightarrow $ $M + CM + XC + V = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 = 1000 + 900 + 90 + 5 = 1995$ (тысяча девятьсот девяносто пять)

Ответ: 1, 2, 4, 7, 9, 11, 17, 1995.

б) Для записи арабских чисел в римской системе нумерации представим каждое число как комбинацию стандартных римских цифр, последовательно записывая цифры для тысяч, сотен, десятков и единиц.

$6 = 5 + 1 \rightarrow$ VI
$8 = 5 + 1 + 1 + 1 \rightarrow$ VIII
$12 = 10 + 2 \rightarrow$ XII
$18 = 10 + 8 \rightarrow$ XVIII
$19 = 10 + 9 \rightarrow$ XIX
$20 = 10 + 10 \rightarrow$ XX
$23 = 20 + 3 \rightarrow$ XXIII
$24 = 20 + 4 \rightarrow$ XXIV

Ответ: VI, VIII, XII, XVIII, XIX, XX, XXIII, XXIV.

299. На одной из старых улиц Москвы стоят два дома, на фасадах которых обозначены даты их постройки:

$MDCCCCV$ и $MDCCCLXXXXIX$.

В каком году построен каждый дом?

Для того чтобы определить год постройки каждого дома, необходимо перевести даты, записанные римскими цифрами, в арабские.

Расшифруем первую дату, используя значения римских цифр: $M=1000$, $D=500$, $C=100$, $V=5$.

В данном числе цифры записаны в порядке убывания их значений, поэтому для определения года мы складываем их значения:

$M + D + C + C + C + C + V = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 5 = 1905$.

Ответ: первый дом построен в 1905 году.

Расшифруем вторую дату, используя значения следующих римских цифр: $M=1000$, $D=500$, $C=100$, $L=50$, $X=10$, $I=1$.

Разложим число на группы в соответствии с правилами записи. Если меньшая цифра стоит перед большей, она вычитается из большей. В остальных случаях значения складываются.

$M = 1000$
$DCCC = D + C + C + C = 500 + 300 = 800$
$LXXX = L + X + X + X = 50 + 30 = 80$
$IX = X - I = 10 - 1 = 9$

Теперь сложим значения всех групп:

$1000 + 800 + 80 + 9 = 1889$.

Ответ: второй дом построен в 1889 году.

300. В предыдущем задании упростите запись чисел, учитывая, что четыре одинаковые цифры подряд обычно не пишут.

Это задание относится к правилам записи римских цифр. Правило, которое нужно применить, называется "правилом вычитания". Оно используется, чтобы не писать четыре одинаковые цифры подряд. Согласно этому правилу, если меньшая цифра стоит перед большей, то она вычитается из большей. Это правило применяется для следующих пар:

• I перед V или X (4 = IV, 9 = IX)
• X перед L или C (40 = XL, 90 = XC)
• C перед D или M (400 = CD, 900 = CM)

Поскольку в задании требуется упростить числа из предыдущего задания, а само задание не предоставлено, приведем примеры упрощения для всех возможных случаев, где может возникнуть четыре одинаковых цифры.

Упрощение для числа 4

Вместо записи с четырьмя единицами подряд (`IIII`) используется вычитание единицы из пяти. Для этого цифра `I` (1) ставится перед цифрой `V` (5): $5 - 1 = 4$.

Ответ: IV

Упрощение для числа 9

Вместо записи `VIIII` используется вычитание единицы из десяти. Для этого цифра `I` (1) ставится перед цифрой `X` (10): $10 - 1 = 9$.

Ответ: IX

Упрощение для числа 40

Вместо записи с четырьмя десятками подряд (`XXXX`) используется вычитание десяти из пятидесяти. Для этого цифра `X` (10) ставится перед цифрой `L` (50): $50 - 10 = 40$.

Ответ: XL

Упрощение для числа 90

Вместо записи `LXXXX` используется вычитание десяти из ста. Для этого цифра `X` (10) ставится перед цифрой `C` (100): $100 - 10 = 90$.

Ответ: XC

Упрощение для числа 400

Вместо записи с четырьмя сотнями подряд (`CCCC`) используется вычитание ста из пятисот. Для этого цифра `C` (100) ставится перед цифрой `D` (500): $500 - 100 = 400$.

Ответ: CD

Упрощение для числа 900

Вместо записи `DCCCC` используется вычитание ста из тысячи. Для этого цифра `C` (100) ставится перед цифрой `M` (1000): $1000 - 100 = 900$.

Ответ: CM