Номер 338, страница 76 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

338. Однажды умный бедняк попросил у скупого богача приюта на две недели, причём сказал: «За это я тебе в первый день заплачу 1 р., во второй день — 2 р., в третий день — 3 р. и т. д. Словом, каждый день я буду прибавлять тебе по одному рублю, так что за один только четырнадцатый (последний) день я заплачу 14 р. Ты же будешь мне подавать милостыню: в первый день копейку, во второй — 2 к., в третий день — 4 к. и т. д., увеличивая каждый день свою милостыню вдвое». Богач с радостью согласился на такие условия, которые ему показались выгодными. Какой барыш принесла эта сделка богачу?

Для того чтобы определить, какой барыш (прибыль или убыток) принесла сделка богачу, необходимо рассчитать две суммы: общую сумму, которую богач получил от бедняка, и общую сумму, которую богач отдал бедняку в качестве милостыни. Срок сделки — две недели, то есть 14 дней.

1. Рассчитаем, сколько денег получил богач.Платежи бедняка представляют собой арифметическую прогрессию, где первый член $a_1 = 1$ рубль, а каждый последующий член увеличивается на 1 рубль. Последний член прогрессии на 14-й день равен $a_{14} = 14$ рублей. Сумму $n$ членов арифметической прогрессии можно найти по формуле: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$.В нашем случае $n=14$, $a_1 = 1$, $a_{14} = 14$.Сумма, полученная богачом, составляет:$S_{получено} = \frac{14 \cdot (1 + 14)}{2} = \frac{14 \cdot 15}{2} = 7 \cdot 15 = 105$ рублей. Таким образом, за 14 дней богач получил от бедняка 105 рублей.

2. Рассчитаем, сколько денег отдал богач.Милостыня, которую подавал богач, представляет собой геометрическую прогрессию, так как каждый день сумма удваивалась. Суммы указаны в копейках. Первый член прогрессии $b_1 = 1$ копейка, знаменатель прогрессии $q = 2$.Сумму $n$ членов геометрической прогрессии можно найти по формуле: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.В нашем случае $n=14$, $b_1 = 1$, $q=2$.Сумма, отданная богачом, составляет:$S_{отдано} = \frac{1 \cdot (2^{14} - 1)}{2 - 1} = 2^{14} - 1$.Вычислим $2^{14}$:$2^{10} = 1024$.$2^{14} = 2^{10} \cdot 2^4 = 1024 \cdot 16 = 16384$.$S_{отдано} = 16384 - 1 = 16383$ копейки. Переведем эту сумму в рубли, зная, что 1 рубль = 100 копеек:$16383 \text{ коп.} = 163 \text{ руб.} 83 \text{ коп.}$

3. Найдем барыш богача.Чтобы найти барыш, нужно из суммы, которую богач получил, вычесть сумму, которую он отдал. Барыш = $105 \text{ руб.} - 163 \text{ руб.} 83 \text{ коп.} = -58 \text{ руб.} 83 \text{ коп.}$Отрицательное значение означает, что богач не получил прибыли, а понес убытки.

Ответ: Сделка принесла богачу убыток в размере 58 рублей 83 копеек.