Номер 331, страница 75 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

331. Имеются брёвна по 4 м и 5 м. Сколько брёвен каждого вида надо распилить, чтобы получить 42 бревна по 1 м и сделать наименьшее число распилов?

Пусть $x$ — это количество брёвен длиной 4 м, а $y$ — количество брёвен длиной 5 м, которые нужно распилить.

Чтобы получить 42 бревна по 1 м, общее количество метровых брёвен, полученных после распила, должно быть равно 42. Из одного 4-метрового бревна получается 4 бревна по 1 м, а из одного 5-метрового — 5. Это условие можно записать в виде уравнения:
$4x + 5y = 42$
где $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами, так как они обозначают количество брёвен.

Далее определим общее количество распилов. Чтобы получить $n$ частей из одного бревна, нужно сделать $n-1$ распил.
Следовательно, для распила одного 4-метрового бревна на метровые части требуется $4 - 1 = 3$ распила.
Для распила одного 5-метрового бревна требуется $5 - 1 = 4$ распила.
Общее количество распилов ($C$), которое необходимо минимизировать, выражается формулой:
$C = 3x + 4y$

Теперь найдём все возможные комбинации брёвен, то есть все пары целых неотрицательных чисел $(x, y)$, которые являются решением уравнения $4x + 5y = 42$.
Выразим $x$ из уравнения: $4x = 42 - 5y$. Так как $x$ не может быть отрицательным ($x \ge 0$), то $42 - 5y \ge 0$, откуда $5y \le 42$, или $y \le 8.4$. Также правая часть уравнения, $42 - 5y$, должна делиться на 4 без остатка.
Проверим все возможные целые значения $y$ от 0 до 8:
- при $y=0$, $4x=42$ (решение $x=10.5$ не является целым).
- при $y=1$, $4x=37$ (не делится на 4).
- при $y=2$, $4x=32$, откуда $x=8$. Получаем первую возможную комбинацию: 8 брёвен по 4 м и 2 бревна по 5 м.
- при $y=3$, $4x=27$ (не делится на 4).
- при $y=4$, $4x=22$ (не делится на 4).
- при $y=5$, $4x=17$ (не делится на 4).
- при $y=6$, $4x=12$, откуда $x=3$. Получаем вторую возможную комбинацию: 3 бревна по 4 м и 6 брёвен по 5 м.
- при $y=7$, $4x=7$ (не делится на 4).
- при $y=8$, $4x=2$ (не делится на 4).
Таким образом, существует всего два подходящих варианта.

Теперь для каждого из двух вариантов рассчитаем общее число распилов $C = 3x + 4y$, чтобы выбрать тот, где оно наименьшее.
1. Для варианта ($x=8, y=2$): $C_1 = 3 \cdot 8 + 4 \cdot 2 = 24 + 8 = 32$ распила.
2. Для варианта ($x=3, y=6$): $C_2 = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 6 = 9 + 24 = 33$ распила.

Сравнивая количество распилов ($32 < 33$), мы приходим к выводу, что наименьшее число распилов равно 32 и достигается при использовании 8 брёвен по 4 м и 2 брёвен по 5 м.
Ответ: для получения 42 брёвен по 1 м с наименьшим числом распилов необходимо распилить 8 брёвен по 4 м и 2 бревна по 5 м.