Номер 328, страница 75 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

328. Из нескольких монет только одна фальшивая — она легче остальных. Как с помощью чашечных весов без гирь определить фальшивую монету:

а) за одно взвешивание, если монет 3;

б) за два взвешивания, если монет 9;

в) за три взвешивания, если монет 27?

а) за одно взвешивание, если монет 3;
Пронумеруем монеты: 1, 2, 3. Положим на левую чашу весов монету 1, а на правую — монету 2. Монета 3 остается в стороне.
Возможны три результата:
1. Весы в равновесии. Это означает, что монеты 1 и 2 имеют одинаковый вес, то есть они настоящие. Следовательно, фальшивая монета — та, что осталась в стороне (монета 3).
2. Левая чаша весов легче (поднялась вверх). Это означает, что монета 1 легче монеты 2. Поскольку фальшивая монета легче настоящей, то фальшивая — монета 1.
3. Правая чаша весов легче (поднялась вверх). Это означает, что монета 2 легче монеты 1. Следовательно, фальшивая — монета 2.
Ответ: Положить по одной монете на каждую чашу весов. Если весы в равновесии, то фальшивая третья монета. Если одна из чаш легче, то на ней и находится фальшивая монета.

б) за два взвешивания, если монет 9;
Разделим все 9 монет на три группы по 3 монеты в каждой. Назовем их группа 1, группа 2 и группа 3.
Первое взвешивание: Положим на левую чашу весов группу 1, а на правую — группу 2.
- Если весы в равновесии, значит, все монеты на весах настоящие, а фальшивая находится в группе 3.
- Если левая чаша легче, значит, фальшивая монета находится в группе 1.
- Если правая чаша легче, значит, фальшивая монета находится в группе 2.
Таким образом, после первого взвешивания мы определили группу из трех монет, в которой находится фальшивая.
Второе взвешивание: Берем ту группу из трех монет, в которой оказалась фальшивая, и находим в ней более легкую монету за одно взвешивание, как описано в пункте а).
Ответ: Разделить монеты на 3 группы по 3 монеты. Сравнить вес первых двух групп. Если они равны, то фальшивая монета в третьей группе. Если одна из групп легче, то фальшивая в ней. Далее для найденной группы из 3-х монет применить алгоритм из пункта а).

в) за три взвешивания, если монет 27?
Принцип решения аналогичен предыдущему пункту. Каждое взвешивание позволяет втрое сократить число "подозреваемых" монет.
Первое взвешивание: Разделим 27 монет на три группы по 9 монет. Положим на чаши весов первую и вторую группы. Если весы в равновесии, фальшивая монета в третьей группе. Если какая-то чаша легче — то в группе на этой чаше. В результате мы определим группу из 9 монет, содержащую фальшивую. У нас осталось два взвешивания.
Второе взвешивание: Берем найденную группу из 9 монет и применяем к ней алгоритм из пункта б). То есть, делим ее на три подгруппы по 3 монеты, взвешиваем две из них и определяем, в какой из трех подгрупп находится фальшивая монета. У нас осталось одно взвешивание.
Третье взвешивание: Берем найденную подгруппу из 3 монет и применяем к ней алгоритм из пункта а), чтобы окончательно найти фальшивую монету.
Этот метод позволяет находить одну легкую фальшивую монету из $3^n$ монет за $n$ взвешиваний.
Ответ: Разделить монеты на 3 группы по 9 монет. Первым взвешиванием определить, в какой из групп находится фальшивая монета. Для найденной группы из 9 монет применить алгоритм из пункта б) за оставшиеся два взвешивания.