Номер 326, страница 75 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

326. Докажите, что предыдущая задача имеет бесконечно много ре-шений.

Для того чтобы доказать, что предыдущая задача имеет бесконечно много решений, необходимо сделать предположение о её содержании. Характер вопроса указывает на то, что, скорее всего, в предыдущей задаче требовалось найти целочисленные решения линейного уравнения с двумя переменными вида:

$ax + by = c$

где $a, b, c$ — целые числа. Такие уравнения называют линейными диофантовыми уравнениями. Докажем, что если такое уравнение имеет хотя бы одно целочисленное решение, то оно имеет бесконечно много решений.

Доказательство:

Предположим, что найдено одно частное решение этого уравнения — пара целых чисел $(x_0, y_0)$. Это означает, что выполняется равенство:

$ax_0 + by_0 = c$

Пусть $(x, y)$ — любое другое целочисленное решение этого же уравнения. Тогда для него также справедливо равенство:

$ax + by = c$

Поскольку левые части обоих равенств равны $c$, мы можем их приравнять:

$ax + by = ax_0 + by_0$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить разности $x - x_0$ и $y - y_0$:

$a(x - x_0) = b(y_0 - y)$

Пусть $d = \text{НОД}(a, b)$ — наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$. Тогда мы можем представить $a$ и $b$ в виде $a = d \cdot a'$ и $b = d \cdot b'$, где числа $a'$ и $b'$ являются взаимно простыми, то есть $\text{НОД}(a', b') = 1$.

Подставим эти выражения в наше уравнение:

$d \cdot a' \cdot (x - x_0) = d \cdot b' \cdot (y_0 - y)$

Разделим обе части уравнения на $d$ (поскольку для существования решений $c$ должно делиться на $d$, $d \neq 0$, если $a$ и $b$ не равны нулю одновременно):

$a'(x - x_0) = b'(y_0 - y)$

Из этого равенства следует, что произведение $a'(x - x_0)$ делится на $b'$. Поскольку $a'$ и $b'$ взаимно просты, то множитель $(x - x_0)$ должен делиться на $b'$. Это можно записать в виде:

$x - x_0 = k \cdot b'$

где $k$ — некоторое целое число. Отсюда получаем общую формулу для $x$:

$x = x_0 + k \cdot b' = x_0 + k \cdot \frac{b}{d}$

Теперь подставим выражение для $(x - x_0)$ обратно в уравнение $a'(x - x_0) = b'(y_0 - y)$:

$a'(k \cdot b') = b'(y_0 - y)$

Сократив на $b'$ (предполагая $b \neq 0$), получим:

$k \cdot a' = y_0 - y$

Отсюда выразим $y$:

$y = y_0 - k \cdot a' = y_0 - k \cdot \frac{a}{d}$

Таким образом, мы получили общее решение уравнения в целых числах:

$x = x_0 + k \frac{b}{\text{НОД}(a, b)}$

$y = y_0 - k \frac{a}{\text{НОД}(a, b)}$

В этих формулах $(x_0, y_0)$ — это одно частное решение, а $k$ — произвольное целое число. Каждому целому значению $k$ (например, $k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$) соответствует своя уникальная пара чисел $(x, y)$, которая является решением исходного уравнения.

Поскольку множество целых чисел бесконечно, количество таких пар $(x, y)$ также бесконечно. Следовательно, если линейное диофантово уравнение имеет хотя бы одно решение, то оно имеет бесконечно много решений. Это и доказывает утверждение задачи.

Ответ: поскольку общее решение линейного диофантового уравнения с двумя переменными зависит от целочисленного параметра $k$, который может принимать бесконечное множество значений, то и само уравнение имеет бесконечно много решений, что и требовалось доказать.