Страница 90 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

402. а) Назовите какой-нибудь предмет, имеющий форму окружности.

б) Назовите какой-нибудь предмет, имеющий форму круга.

а)

Окружность — это замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от одной точки, называемой центром. Важно понимать, что окружность — это только линия (граница), она не включает в себя внутреннее пространство. Длина окружности вычисляется по формуле $L = 2\pi R$, где $R$ — радиус. Примерами предметов, которые имеют форму окружности, могут быть: гимнастический обруч, кольцо, обод колеса, браслет.

Ответ: обруч.

б)

Круг — это часть плоскости, которая ограничена окружностью. В отличие от окружности, круг включает в себя как саму границу, так и все точки внутри неё. Площадь круга можно найти по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ — радиус. Предметами, имеющими форму круга, являются: монета, тарелка, блин, крышка от банки, дно стакана.

Ответ: монета.

403. Назовите центр, радиус, диаметр окружности, изображённой на рисунке 60.

Так как изображение (рисунок 60) к задаче отсутствует, невозможно назвать конкретные элементы окружности. Ниже приведены определения и общее описание того, как найти центр, радиус и диаметр на любом чертеже окружности.

Центр

Центр окружности — это точка, равноудалённая от всех точек, лежащих на окружности. Обычно она обозначается заглавной латинской буквой, например, $O$. На рисунке это точка, которая служит центром симметрии для всей фигуры.

Ответ: Чтобы определить центр на рисунке 60, найдите точку внутри окружности, от которой, как правило, проведены радиусы или через которую проходит диаметр.

Радиус

Радиус ($r$) — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на самой окружности. Все радиусы одной окружности равны между собой. На чертеже может быть показано несколько радиусов.

Ответ: Чтобы определить радиус (или радиусы) на рисунке 60, найдите все отрезки, которые соединяют центр окружности с точками на её линии.

Диаметр

Диаметр ($d$) — это отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходит через её центр. Длина диаметра равна двум длинам радиуса ($d = 2r$).

Ответ: Чтобы определить диаметр на рисунке 60, найдите отрезок, который проходит через центр окружности и концы которого лежат на самой окружности.

404. а) Представление о сфере даёт теннисный мяч. Назовите какой-нибудь предмет, имеющий форму сферы.

б) Представление о шаре даёт арбуз. Назовите какой-нибудь предмет, имеющий форму шара.

а) Сфера представляет собой поверхность, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Теннисный мяч, будучи полым, является хорошим примером. Другими предметами, имеющими форму сферы, могут быть мыльный пузырь, глобус (его поверхность) или надувной пляжный мяч.
Ответ: мыльный пузырь, глобус.

б) Шар, в отличие от сферы, является объёмным телом, то есть он заполнен внутри. Арбуз — хороший пример такого тела. Другими предметами, имеющими форму шара, являются бильярдный шар, шарик от подшипника, апельсин или ядро для толкания.
Ответ: бильярдный шар, апельсин.

предмет, имеющий форму шара.

405. Задача-шутка. На рисунке 63 изображён воздушный шарик. Как его было бы правильнее назвать — «шариком» или «сфериком»?

Рис. 63

405.

Это задача-шутка, которая обращает внимание на разницу между геометрическими понятиями «шар» и «сфера».

Сфера — это геометрическая фигура, представляющая собой поверхность, все точки которой равноудалены от центра. Например, резиновая оболочка надутого воздушного шарика является моделью сферы.

Шар — это трёхмерное тело, ограниченное сферой. Шар включает в себя как саму поверхность (сферу), так и всё пространство внутри неё. Например, бильярдный шар или арбуз.

Воздушный шарик — это объёмный объект, состоящий из тонкой оболочки и газа внутри. Вместе они образуют тело, которое в геометрии называется шаром. Поэтому, с математической точки зрения, правильнее называть его «шариком» (уменьшительная форма от слова «шар»), так как он представляет собой объёмное тело, а не просто поверхность.

Ответ: Правильнее назвать «шариком».

406.

Чтобы начертить окружность с заданным радиусом, нужно использовать циркуль и линейку. Порядок действий следующий:

1. Выберите на бумаге точку, которая будет центром окружности. Обозначьте её буквой O.

2. При помощи линейки установите расстояние между иглой и грифелем циркуля (это расстояние называется раствором циркуля) равным требуемому радиусу.

3. Установите иглу циркуля в точку O.

4. Аккуратно вращая циркуль, проведите грифелем замкнутую линию. Эта линия и есть окружность.

а) Для построения окружности с радиусом 2 см установите раствор циркуля равным 2 см.

б) Для построения окружности с радиусом 5 см установите раствор циркуля равным 5 см.

в) Для построения окружности с радиусом 7 см установите раствор циркуля равным 7 см.

г) Для построения окружности с радиусом 3 см 5 мм сначала переведём значение в одну единицу измерения, например, в сантиметры. Поскольку 1 см = 10 мм, то 5 мм = 0,5 см. Таким образом, радиус равен $3 + 0,5 = 3,5$ см. Установите раствор циркуля равным 3,5 см.

Ответ: Для построения окружностей нужно выполнить описанные выше действия для каждого из заданных радиусов.

407.

В предоставленном изображении отсутствует рисунок 64, поэтому невозможно указать, какая из фигур является окружностью, а какая — кругом. Однако можно дать общее определение этим фигурам.

Окружность — это замкнутая кривая линия на плоскости, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром. Окружность — это граница круга. Примером из жизни может служить обруч или кольцо.

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Круг включает в себя как саму линию окружности, так и все точки, находящиеся внутри неё. Примером из жизни может служить монета, тарелка или пицца.

Следовательно, на рисунке 64 фигура, изображённая как линия без заполнения внутри, будет окружностью, а фигура, которая закрашена или выглядит как сплошной диск, будет кругом.

Ответ: Для ответа на вопрос необходимо иметь изображение из рисунка 64.

406. Начертите окружность, радиус которой равен:

а) $2 \text{ см}$;

б) $5 \text{ см}$;

в) $7 \text{ см}$;

г) $3 \text{ см } 5 \text{ мм}$.

а)

Чтобы начертить окружность с радиусом 2 см, необходимо выполнить следующие действия:

1. Взять циркуль и линейку.
2. С помощью линейки выставить на циркуле расстояние между острием и грифелем, равное 2 см.
3. Отметить на бумаге точку, которая будет центром окружности (например, точка O).
4. Поставить острие циркуля в точку O и, не изменяя его раствора, провести замкнутую линию.

В результате будет построена окружность с центром в точке O и радиусом $R = 2$ см. Ответ: Начерчена окружность с радиусом 2 см.

б)

Чтобы начертить окружность с радиусом 5 см, необходимо выполнить следующие действия:

1. Взять циркуль и линейку.
2. С помощью линейки установить раствор циркуля, равный 5 см.
3. Отметить на бумаге точку-центр будущей окружности (например, точка O).
4. Поместить острие циркуля в точку O и начертить окружность.

В результате будет построена окружность с центром в точке O и радиусом $R = 5$ см. Ответ: Начерчена окружность с радиусом 5 см.

в)

Чтобы начертить окружность с радиусом 7 см, необходимо выполнить следующие действия:

1. Взять циркуль и линейку.
2. Используя линейку, установить расстояние между концами циркуля равным 7 см.
3. Выбрать на листе бумаги точку, которая будет служить центром окружности (например, точка O).
4. Установить острие циркуля в эту точку и провести замкнутую кривую.

В результате будет построена окружность с центром в точке O и радиусом $R = 7$ см. Ответ: Начерчена окружность с радиусом 7 см.

г)

Чтобы начертить окружность с радиусом 3 см 5 мм, необходимо выполнить следующие действия:

1. Перевести данный радиус в одну единицу измерения, например, в сантиметры. Так как в одном сантиметре 10 миллиметров ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$), то $5 \text{ мм} = 0,5 \text{ см}$. Следовательно, радиус окружности равен $3 \text{ см} + 0,5 \text{ см} = 3,5 \text{ см}$.
2. Взять циркуль и линейку.
3. С помощью линейки установить раствор циркуля равным 3,5 см. Для этого острие циркуля нужно поставить на нулевую отметку линейки, а грифель — на отметку 3,5 см (середина между 3 см и 4 см).
4. Отметить на бумаге точку, которая будет центром окружности (например, точка O).
5. Поставить острие циркуля в точку O и начертить окружность.

В результате будет построена окружность с центром в точке O и радиусом $R = 3,5$ см (или 3 см 5 мм). Ответ: Начерчена окружность с радиусом 3 см 5 мм.

407. Какая из фигур, изображённых на рисунке 64, является окружностью? Какая — кругом?

Рис. 63

1)

2)

3)

4)

Рис. 64

Какая из фигур является окружностью?

Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром. Другими словами, окружность — это замкнутая линия, граница. Все точки этой линии находятся на одинаковом расстоянии (радиусе $r$) от её центра.

Рассмотрим фигуры на рисунке 64:

• Фигура 1 — замкнутая кривая произвольной формы.
• Фигура 2 — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра. Это определение окружности.
• Фигура 3 — эллипс, расстояние от центра до его точек не является постоянным.
• Фигура 4 — закрашенная область, ограниченная окружностью.

Таким образом, фигура, которая является окружностью, — это фигура под номером 2.

Ответ: 2.

Какая из фигур является кругом?

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Круг включает в себя как саму окружность (границу), так и все точки, находящиеся внутри этой границы. В отличие от окружности, которая является линией, круг — это "заполненная" плоская фигура.

На рисунке 64 фигура под номером 4 изображена как окружность вместе с закрашенной внутренней областью. Это полностью соответствует определению круга.

Ответ: 4.