Страница 97 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

437. Внутри развёрнутого угла $AOB$ проведены два луча $OD$ и $OC$ так, что $\angle AOC = 130^\circ$, а $\angle DOB = 120^\circ$. Найдите $\angle DOC$.

Поскольку угол AOB развёрнутый, его градусная мера равна $180^\circ$. То есть, $\angle AOB = 180^\circ$.

Лучи OC и OD проведены внутри угла AOB. Это означает, что развёрнутый угол AOB состоит из трёх смежных углов: $\angle AOD$, $\angle DOC$ и $\angle COB$. Сумма этих углов равна $180^\circ$.

$\angle AOB = \angle AOD + \angle DOC + \angle COB = 180^\circ$

Из условия задачи известны углы $\angle AOC$ и $\angle DOB$. Мы можем выразить их через составляющие их углы:

$\angle AOC = \angle AOD + \angle DOC = 130^\circ$

$\angle DOB = \angle DOC + \angle COB = 120^\circ$

Сложим градусные меры этих двух углов:

$\angle AOC + \angle DOB = 130^\circ + 120^\circ = 250^\circ$

С другой стороны, сумма этих углов представляет собой сумму всех трех углов ($\angle AOD$, $\angle DOC$, $\angle COB$), составляющих развёрнутый угол, при этом угол $\angle DOC$ учитывается дважды.

$\angle AOC + \angle DOB = (\angle AOD + \angle DOC + \angle COB) + \angle DOC$

Мы знаем, что выражение в скобках равно $\angle AOB$, то есть $180^\circ$. Подставим это значение в уравнение:

$250^\circ = \angle AOB + \angle DOC$

$250^\circ = 180^\circ + \angle DOC$

Теперь найдем величину угла $\angle DOC$:

$\angle DOC = 250^\circ - 180^\circ = 70^\circ$

Ответ: $70^\circ$.

438. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 79). Углы $AOC$ и $BOD$ называют вертикальными. Назовите другую пару вертикальных углов. Чему равна сумма величин углов $1$ и $3$? Чему равна сумма величин углов $3$ и $2$? Верно ли, что $\angle 1 + \angle 3 = \angle 3 + \angle 2$? Верно ли, что $\angle 1 = \angle 2$? Верно ли утверждение: вертикальные углы равны?

Развёрнутый угол $ \angle AOB $ представляет собой прямую линию, поэтому его градусная мера составляет $ 180^\circ $.

Угол $ \angle AOB $ состоит из смежных углов $ \angle AOC $ и $ \angle BOC $. Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $. Зная $ \angle AOC $, мы можем найти $ \angle BOC $:

$ \angle BOC = \angle AOB - \angle AOC = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ $.

Теперь рассмотрим угол $ \angle DOB $. Он состоит из двух углов: $ \angle DOC $ и $ \angle COB $. То есть, $ \angle DOB = \angle DOC + \angle COB $. Мы знаем величины углов $ \angle DOB $ и $ \angle COB $, поэтому можем найти искомый угол $ \angle DOC $:

$ 120^\circ = \angle DOC + 50^\circ $

Выразим $ \angle DOC $:

$ \angle DOC = 120^\circ - 50^\circ = 70^\circ $.

Ответ: $ \angle DOC = 70^\circ $.

Назовите другую пару вертикальных углов.

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых и лежат друг напротив друга. Первая пара вертикальных углов, указанная в условии, — это $ \angle AOC $ ($ \angle 1 $) и $ \angle BOD $ ($ \angle 2 $). Вторая пара углов, также лежащих друг напротив друга, — это $ \angle AOD $ ($ \angle 3 $) и $ \angle BOC $.

Ответ: Другая пара вертикальных углов — $ \angle AOD $ и $ \angle BOC $.

Чему равна сумма величин углов 1 и 3?

Углы $ \angle 1 $ ($ \angle AOC $) и $ \angle 3 $ ($ \angle AOD $) являются смежными, так как они имеют общую сторону OA, а их другие стороны (OC и OD) образуют прямую линию CD. Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $.

Ответ: Сумма величин углов 1 и 3 равна $ 180^\circ $.

Чему равна сумма величин углов 3 и 2?

Углы $ \angle 3 $ ($ \angle AOD $) и $ \angle 2 $ ($ \angle BOD $) также являются смежными. У них общая сторона OD, а их другие стороны (OA и OB) образуют прямую линию AB. Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $.

Ответ: Сумма величин углов 3 и 2 равна $ 180^\circ $.

Верно ли, что $ \angle 1 + \angle 3 = \angle 3 + \angle 2 $?

Да, это верно. Как мы определили ранее, сумма углов $ \angle 1 $ и $ \angle 3 $ равна $ 180^\circ $, и сумма углов $ \angle 3 $ и $ \angle 2 $ также равна $ 180^\circ $. Поскольку обе суммы равны одному и тому же значению ($ 180^\circ $), то они равны между собой.

Ответ: Да, верно.

Верно ли, что $ \angle 1 = \angle 2 $?

Да, это верно. Исходя из предыдущего равенства $ \angle 1 + \angle 3 = \angle 3 + \angle 2 $, мы можем вычесть величину угла $ \angle 3 $ из обеих частей уравнения, что не нарушит равенства. В результате получим $ \angle 1 = \angle 2 $.

Ответ: Да, верно.

Верно ли утверждение: вертикальные углы равны?

Да, утверждение верно. Мы только что доказали на примере углов $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $, что они равны. $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ являются вертикальными. Это свойство (теорема о равенстве вертикальных углов) справедливо для любой пары вертикальных углов, образованных пересечением двух прямых.

Ответ: Да, верно.

439. При пересечении двух прямых образовалось четыре угла. Определите величины этих углов, если один из них:

а) в 5 раз больше другого;

б) на $40^\circ$ больше другого.

При пересечении двух прямых образуются две пары углов: смежные и вертикальные. Вертикальные углы, расположенные друг напротив друга, равны. Смежные углы, имеющие общую сторону, в сумме составляют развернутый угол, то есть $180^\circ$.

Условие, что один угол больше другого, может относиться только к смежным углам, так как вертикальные углы всегда равны между собой. Обозначим смежные углы как $\alpha$ и $\beta$. Их свойство: $\alpha + \beta = 180^\circ$.

а) в 5 раз больше другого

Пусть меньший угол $\alpha$ равен $x$. Тогда по условию больший угол $\beta$ равен $5x$.

Так как эти углы смежные, их сумма равна $180^\circ$. Составим и решим уравнение:

$x + 5x = 180^\circ$

$6x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{6}$

$x = 30^\circ$

Таким образом, меньший угол $\alpha$ равен $30^\circ$.

Больший угол $\beta$ равен $5x = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$.

При пересечении двух прямых образуются две пары равных вертикальных углов. Значит, у нас есть два угла по $30^\circ$ и два угла по $150^\circ$.

Ответ: два угла по $30^\circ$ и два угла по $150^\circ$.

б) на 40° больше другого

Пусть меньший угол $\alpha$ равен $y$. Тогда по условию больший угол $\beta$ равен $y + 40^\circ$.

Так как эти углы смежные, их сумма равна $180^\circ$. Составим и решим уравнение:

$y + (y + 40^\circ) = 180^\circ$

$2y + 40^\circ = 180^\circ$

$2y = 180^\circ - 40^\circ$

$2y = 140^\circ$

$y = \frac{140^\circ}{2}$

$y = 70^\circ$

Таким образом, меньший угол $\alpha$ равен $70^\circ$.

Больший угол $\beta$ равен $y + 40^\circ = 70^\circ + 40^\circ = 110^\circ$.

При пересечении двух прямых образуются две пары равных вертикальных углов. Значит, у нас есть два угла по $70^\circ$ и два угла по $110^\circ$.

Ответ: два угла по $70^\circ$ и два угла по $110^\circ$.

440. Касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку. Эту точку называют точкой касания. На рисунке 80 изображены окружность с центром $O$, касательная $AB$ и радиус окружности $OC$. $C$ — точка касания.

а) Определите углы, образованные касательной и радиусом окружности, проведённым в точку касания.

б) Покажите, как должны располагаться две окружности, чтобы они имели $a$ общих касательных. Рассмотрите все возможные случаи: $a=0, 1, 2, 3, 4$.

Рис. 80

а) По свойству касательной к окружности, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. На рисунке 80 радиус OC проведён в точку касания C к касательной AB.
Следовательно, радиус OC перпендикулярен касательной AB, то есть $OC \perp AB$.
Это означает, что углы, образованные касательной и радиусом в точке касания, являются прямыми. Таких углов два: ∠OCA и ∠OCB.
$∠OCA = 90°$
$∠OCB = 90°$
Ответ: образованные углы равны по 90°.

б) Рассмотрим две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ и радиусами $R_1$ и $R_2$ соответственно. Пусть $d$ — расстояние между их центрами ($d = |O_1O_2|$). Количество общих касательных ($a$) зависит от взаимного расположения этих окружностей.

Случай $a = 0$ (нет общих касательных)
Одна окружность находится внутри другой, не касаясь ее. Это происходит, когда расстояние между центрами меньше, чем разность их радиусов: $d < |R_1 - R_2|$.

Случай $a = 1$ (одна общая касательная)
Окружности касаются внутренним образом. У них одна общая точка касания и одна общая касательная, проходящая через эту точку. Это происходит, когда расстояние между центрами равно разности их радиусов: $d = |R_1 - R_2|$.

Случай $a = 2$ (две общие касательные)
Окружности пересекаются в двух точках. В этом случае у них есть две общие внешние касательные. Это происходит, когда расстояние между центрами больше разности радиусов, но меньше их суммы: $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$.

Случай $a = 3$ (три общие касательные)
Окружности касаются внешним образом. У них одна общая внутренняя касательная в точке касания и две общие внешние касательные. Это происходит, когда расстояние между центрами равно сумме их радиусов: $d = R_1 + R_2$.

Случай $a = 4$ (четыре общие касательные)
Окружности не пересекаются и не касаются, одна находится вне другой. В этом случае у них есть две общие внешние и две общие внутренние касательные. Это происходит, когда расстояние между центрами больше суммы их радиусов: $d > R_1 + R_2$.

Ответ: Расположение двух окружностей для заданного числа общих касательных a:
- при $a=0$: одна окружность находится внутри другой, не касаясь ($d < |R_1 - R_2|$).
- при $a=1$: окружности касаются внутренним образом ($d = |R_1 - R_2|$).
- при $a=2$: окружности пересекаются в двух точках ($|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$).
- при $a=3$: окружности касаются внешним образом ($d = R_1 + R_2$).
- при $a=4$: окружности расположены одна вне другой, не касаясь ($d > R_1 + R_2|$).