Страница 100 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

441. Какие виды треугольников вы знаете?

Треугольники можно классифицировать по двум основным признакам: по длине их сторон и по величине их углов.

Классификация по длине сторон

• Равносторонний (или правильный) треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. В таком треугольнике все углы также равны и составляют $60^\circ$.
• Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием. Углы при основании в равнобедренном треугольнике равны.
• Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. Следовательно, все три его угла также имеют разную величину.

Классификация по величине углов

• Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой, то есть равен $90^\circ$. Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами.
• Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые, то есть их градусная мера меньше $90^\circ$.
• Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов тупой, то есть его градусная мера больше $90^\circ$. Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, в нем может быть только один тупой угол.

Эти классификации могут сочетаться. Например, треугольник может быть одновременно равнобедренным и прямоугольным.

Ответ: Виды треугольников: по сторонам — равносторонний, равнобедренный, разносторонний; по углам — прямоугольный, остроугольный, тупоугольный.

442. Что такое периметр треугольника?

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Термин "периметр" происходит от греческих слов "пери" (вокруг) и "метрео" (измеряю), что дословно означает "измерение вокруг". Это общая длина границы плоской геометрической фигуры.

Для того чтобы найти периметр треугольника, необходимо измерить длину каждой из трех его сторон, а затем сложить полученные значения.

Формула для вычисления периметра

Если обозначить длины сторон треугольника буквами $a$, $b$ и $c$, то его периметр, который обычно обозначается буквой $P$, вычисляется по формуле:

$P = a + b + c$

Пример

Рассмотрим треугольник, у которого длины сторон равны 5 см, 7 см и 10 см. Чтобы найти его периметр, сложим длины этих сторон:

$P = 5 \text{ см} + 7 \text{ см} + 10 \text{ см} = 22 \text{ см}$

Таким образом, периметр этого треугольника равен 22 см.

Ответ: Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон.

443. Определите вид треугольника на рисунке 85.

Рис. 85

Для определения вида треугольников на рисунке 85, необходимо проанализировать их углы и стороны.

Треугольник AOB

Чтобы определить вид треугольника $AOB$, рассмотрим его стороны и углы. Визуально боковые стороны $AO$ и $AB$ равны между собой, а основание $OB$ имеет другую длину. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Все три угла треугольника, $\angle A$, $\angle O$ и $\angle B$, на вид являются острыми (то есть их градусная мера меньше $90^\circ$). Треугольник, у которого все углы острые, называется остроугольным. Таким образом, треугольник $AOB$ является равнобедренным и остроугольным.

Ответ: Равнобедренный, остроугольный.

Треугольник CDE

Рассмотрим треугольник $CDE$. Угол при вершине $D$ ($\angle D$) выглядит как прямой, то есть его величина равна $90^\circ$. Треугольник, один из углов которого прямой, называется прямоугольным. Длины всех трех сторон треугольника $CDE$ ($CD$, $DE$ и $CE$) визуально различны. Треугольник, у которого все стороны имеют разную длину, называется разносторонним. Следовательно, треугольник $CDE$ является прямоугольным и разносторонним.

Ответ: Прямоугольный, разносторонний.

Треугольник MNK

Рассмотрим треугольник $MNK$. Визуально все три стороны этого треугольника ($MN$, $NK$ и $MK$) равны между собой. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным. В равностороннем треугольнике все углы также равны и составляют по $60^\circ$, а значит, они все острые. Поэтому такой треугольник всегда является и остроугольным. Таким образом, треугольник $MNK$ является равносторонним.

Ответ: Равносторонний.

Треугольник TSR

Рассмотрим треугольник $TSR$. Угол при вершине $S$ ($\angle S$) визуально является прямым, то есть равен $90^\circ$. Это означает, что треугольник $TSR$ — прямоугольный. Стороны $TS$, $SR$ и гипотенуза $TR$ на вид имеют разную длину. Такой треугольник является разносторонним. Таким образом, треугольник $TSR$ является прямоугольным и разносторонним.

Ответ: Прямоугольный, разносторонний.

444. Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный треугольник с основанием $4 \text{ см}$ и боковой стороной $3 \text{ см}$. Сравните углы при основании построенного треугольника. Сделайте вывод.

Построение равнобедренного треугольника

1. С помощью линейки строим отрезок $AC$ длиной 4 см. Этот отрезок будет основанием будущего треугольника.
2. С помощью циркуля устанавливаем его раствор равным длине боковой стороны, то есть 3 см.
3. Устанавливаем острие циркуля в точку $A$ и проводим дугу окружности радиусом 3 см.
4. Не изменяя раствора циркуля, устанавливаем его острие в точку $C$ и проводим вторую дугу так, чтобы она пересеклась с первой.
5. Точку пересечения дуг обозначаем буквой $B$.
6. С помощью линейки соединяем точку $B$ с точками $A$ и $C$.
Полученный треугольник $ABC$ является искомым, так как по построению его основание $AC$ равно 4 см, а боковые стороны $AB$ и $BC$ равны 3 см.

Ответ: Равнобедренный треугольник $ABC$ построен.

Сравнение углов при основании

Углами при основании в построенном треугольнике $ABC$ являются $\angle BAC$ и $\angle BCA$. Сравнить их можно несколькими способами:
1. С помощью транспортира: измерив углы, мы обнаружим, что их градусные меры равны (примерно $48.2^\circ$).
2. С помощью кальки: можно скопировать один угол на кальку и приложить его ко второму, чтобы убедиться в их совпадении.
3. С помощью циркуля: можно сравнить углы, выполнив построение равного угла.
Любой из этих способов покажет, что углы при основании равны.

Ответ: Углы при основании построенного треугольника равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$.

Вывод

На основе выполненного построения и сравнения углов можно сделать вывод, который является одним из основных свойств равнобедренного треугольника: в любом равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Ответ: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

445. Постройте отрезок $AB$. Постройте равносторонний треугольник со стороной $AB$. Измерьте углы построенного треугольника. Сделайте вывод.

Построение равностороннего треугольника со стороной AB

1. С помощью линейки построим на плоскости произвольный отрезок и обозначим его концы буквами A и B.
2. Возьмем циркуль и установим его раствор (расстояние между иголкой и грифелем) равным длине отрезка AB.
3. Поставим иглу циркуля в точку A и, не меняя раствора, проведем дугу окружности.
4. Затем поставим иглу циркуля в точку B и проведем вторую дугу окружности тем же радиусом так, чтобы она пересекла первую.
5. Точку пересечения двух дуг обозначим буквой C.
6. С помощью линейки соединим точку C с точками A и B.

В результате мы получили треугольник ABC. Так как по построению отрезок AC равен радиусу первой дуги (то есть AB), и отрезок BC равен радиусу второй дуги (также AB), то все три стороны треугольника равны между собой: $AB = BC = AC$. Следовательно, треугольник ABC является равносторонним.

Ответ: Построен равносторонний треугольник ABC со стороной AB.

Измерение углов построенного треугольника

Для измерения углов полученного треугольника ABC воспользуемся транспортиром.

1. Приложим транспортир к вершине A так, чтобы центр транспортира совпал с точкой A, а сторона AB прошла вдоль нулевой отметки. Измерим угол CAB.
2. Аналогично измерим углы ABC при вершине B и BCA при вершине C.

В результате измерений мы обнаружим, что все три угла равны друг другу и составляют $60^\circ$.

$\angle CAB = 60^\circ$

$\angle ABC = 60^\circ$

$\angle BCA = 60^\circ$

Ответ: Каждый угол построенного равностороннего треугольника равен $60^\circ$.

Вывод

На основе выполненных построений и измерений можно сделать следующий вывод: у равностороннего треугольника все углы равны. Так как сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, то каждый угол равностороннего треугольника равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$. Этот вывод подтверждается нашими измерениями.

Ответ: Все углы в равностороннем треугольнике равны, и каждый из них составляет $60^\circ$.

446. Кузнечик прыгает на $5$ единичных отрезков в любом направлении на плоскости. Сможет ли он за несколько прыжков из точки $0$ координатного луча попасть в точку $4$? Если сможет, то покажите, как кузнечик это сделает.

Да, кузнечик сможет за несколько прыжков попасть из точки 0 в точку 4. Это можно сделать, например, за два прыжка.

Как это сделать:

Поскольку кузнечик может прыгать в любом направлении на плоскости, его перемещения не ограничены только координатным лучом. Мы можем рассмотреть задачу на координатной плоскости. Начальная точка кузнечика — это начало координат O(0, 0). Конечная точка — A(4, 0). Длина каждого прыжка равна 5.

Идея состоит в том, чтобы найти такую промежуточную точку P(x, y), в которую кузнечик прыгнет из начала координат, и из которой он сможет вторым прыжком попасть в конечную точку. Оба прыжка должны иметь длину 5.

1. Длина первого прыжка из точки O(0, 0) в точку P(x, y) должна быть равна 5. Это задается уравнением:
$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$.

2. Длина второго прыжка из точки P(x, y) в точку A(4, 0) также должна быть равна 5. Это задается уравнением:
$(x-4)^2 + (y-0)^2 = 5^2 = 25$.

Теперь решим систему из этих двух уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ (x-4)^2 + y^2 = 25 \end{cases} $
Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:
$x^2 + y^2 = (x-4)^2 + y^2$
Вычтем $y^2$ из обеих частей:
$x^2 = (x-4)^2$
$x^2 = x^2 - 8x + 16$
$0 = -8x + 16$
$8x = 16$
$x = 2$

Теперь найдем $y$, подставив $x=2$ в первое уравнение системы:
$2^2 + y^2 = 25$
$4 + y^2 = 25$
$y^2 = 21$
$y = \sqrt{21}$ (можно выбрать и отрицательное значение, $y = -\sqrt{21}$, решение будет симметричным).

Таким образом, последовательность прыжков может быть следующей:
1. Первый прыжок: из точки (0, 0) в точку $(2, \sqrt{21})$. Проверим его длину: $\sqrt{(2-0)^2 + (\sqrt{21}-0)^2} = \sqrt{4 + 21} = \sqrt{25} = 5$.
2. Второй прыжок: из точки $(2, \sqrt{21})$ в точку (4, 0). Проверим его длину: $\sqrt{(4-2)^2 + (0-\sqrt{21})^2} = \sqrt{2^2 + 21} = \sqrt{25} = 5$.
После этих двух прыжков кузнечик окажется в искомой точке (4, 0) на координатном луче.

Ответ: Да, сможет. Например, за два прыжка: первый из точки (0, 0) в точку $(2, \sqrt{21})$, а второй из точки $(2, \sqrt{21})$ в точку (4, 0).

447. Постройте треугольник:

а) остроугольный;

б) прямоугольный;

в) тупоугольный;

г) равнобедренный;

д) равносторонний;

е) равнобедренный и остроугольный;

ж) равнобедренный и тупоугольный.

а) остроугольный

Для построения остроугольного треугольника необходимо, чтобы все его углы были меньше $90^\circ$.
1. Начертим произвольный отрезок $AB$.
2. От луча $AB$ с помощью транспортира отложим угол, меньший $90^\circ$, например, $\angle{BAC} = 60^\circ$.
3. От луча $BA$ отложим угол, также меньший $90^\circ$, например, $\angle{ABC} = 70^\circ$.
4. Точка пересечения сторон построенных углов (лучей $AC$ и $BC$) будет третьей вершиной треугольника $C$.
5. Третий угол $\angle{ACB}$ будет равен $180^\circ - (60^\circ + 70^\circ) = 50^\circ$.
6. Все углы треугольника $ABC$ ($60^\circ, 70^\circ, 50^\circ$) острые, следовательно, треугольник является остроугольным.
Ответ: Построен треугольник $ABC$ с углами $60^\circ, 70^\circ, 50^\circ$.

б) прямоугольный

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой ($90^\circ$).
1. Начертим произвольный отрезок $AC$.
2. В точке $C$ с помощью угольника или транспортира построим прямой угол, то есть проведём луч $CB$ перпендикулярно отрезку $AC$. Таким образом, $\angle{ACB} = 90^\circ$.
3. На луче $CB$ отметим произвольную точку $B$.
4. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком.
5. Полученный треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как $\angle{C} = 90^\circ$.
Ответ: Построен треугольник $ABC$, у которого $\angle{C} = 90^\circ$.

в) тупоугольный

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов больше $90^\circ$.
1. Начертим произвольный отрезок $AB$.
2. От луча $AB$ с помощью транспортира отложим угол, больший $90^\circ$, например, $\angle{CAB} = 110^\circ$.
3. На построенном луче $AC$ отметим произвольную точку $C$.
4. Соединим точки $C$ и $B$ отрезком.
5. Полученный треугольник $ABC$ является тупоугольным, так как $\angle{A} = 110^\circ > 90^\circ$.
Ответ: Построен треугольник $ABC$, у которого $\angle{A} = 110^\circ$.

г) равнобедренный

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.
1. Начертим произвольный отрезок $BC$, который будет основанием треугольника.
2. С помощью циркуля измерим расстояние, большее половины длины отрезка $BC$.
3. Установив ножку циркуля в точку $B$, проведём дугу этим радиусом.
4. Не меняя раствора циркуля, установим ножку в точку $C$ и проведём вторую дугу так, чтобы она пересекла первую.
5. Точку пересечения дуг обозначим буквой $A$.
6. Соединим точку $A$ с точками $B$ и $C$.
7. Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как по построению боковые стороны $AB$ и $AC$ равны.
Ответ: Построен треугольник $ABC$, у которого $AB = AC$.

д) равносторонний

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны.
1. Начертим произвольный отрезок $AB$.
2. Раствор циркуля установим равным длине отрезка $AB$.
3. Установив ножку циркуля в точку $A$, проведём дугу.
4. Не меняя раствора циркуля, установим ножку в точку $B$ и проведём вторую дугу так, чтобы она пересекла первую.
5. Точку пересечения дуг обозначим буквой $C$.
6. Соединим точку $C$ с точками $A$ и $B$.
7. Треугольник $ABC$ является равносторонним, так как по построению $AB = BC = AC$. Все его углы равны $60^\circ$.
Ответ: Построен треугольник $ABC$, у которого $AB = BC = AC$.

е) равнобедренный и остроугольный

Это равнобедренный треугольник, у которого все углы острые. Для этого углы при основании должны быть больше $45^\circ$ и меньше $90^\circ$.
1. Начертим отрезок $BC$ (основание).
2. С помощью транспортира построим при основании равные острые углы, например, $\angle{ABC} = \angle{ACB} = 70^\circ$.
3. Точку пересечения лучей $BA$ и $CA$ обозначим как $A$.
4. Полученный треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как углы при основании равны.
5. Третий угол $\angle{BAC} = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 40^\circ$.
6. Все углы ($70^\circ, 70^\circ, 40^\circ$) меньше $90^\circ$, значит треугольник остроугольный.
Ответ: Построен равнобедренный треугольник $ABC$ с углами $70^\circ, 70^\circ, 40^\circ$.

ж) равнобедренный и тупоугольный

Это равнобедренный треугольник, у которого один угол тупой. В равнобедренном треугольнике тупым может быть только угол при вершине (угол между равными сторонами).
1. Начертим произвольный отрезок $AB$ (одна из равных сторон).
2. С помощью транспортира в точке $A$ построим тупой угол, например, $\angle{BAC} = 120^\circ$.
3. На луче $AC$ отложим отрезок $AC$, равный отрезку $AB$. Это можно сделать с помощью циркуля или линейки.
4. Соединим точки $B$ и $C$.
5. Полученный треугольник $ABC$ является равнобедренным ($AB = AC$) и тупоугольным ($\angle{A} = 120^\circ$). Углы при основании будут равны $(180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.
Ответ: Построен равнобедренный треугольник $ABC$ с углом при вершине $120^\circ$ и равными сторонами $AB$ и $AC$.

448. Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Измерьте его углы.

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: построить треугольник по заданным сторонам и затем измерить его углы.

Построение

1. С помощью линейки постройте отрезок, равный самой длинной стороне. Назовем его AB, его длина составит 5 см.
2. Возьмите циркуль и с помощью линейки установите его раствор равным 4 см. Поставьте иглу циркуля в точку A и проведите дугу.
3. Теперь установите раствор циркуля равным 3 см. Поставьте иглу циркуля в точку B и проведите вторую дугу так, чтобы она пересеклась с первой.
4. Точку пересечения двух дуг обозначьте буквой C.
5. Соедините точку C с точками A и B с помощью линейки.

В результате этих действий будет построен искомый треугольник ABC со сторонами $AB = 5$ см, $AC = 4$ см и $BC = 3$ см.

Измерение углов

Углы полученного треугольника можно измерить при помощи транспортира. Однако можно также вычислить их значения, основываясь на свойствах данного треугольника.

Стороны 3 см, 4 см и 5 см образуют так называемую пифагорову тройку. Проверим, выполняется ли для них теорема Пифагора. Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, если квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.

Пусть $a=3$ см, $b=4$ см и $c=5$ см. Проверим равенство $a^2 + b^2 = c^2$.

$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$5^2 = 25$

Поскольку равенство $25 = 25$ выполняется, данный треугольник является прямоугольным. Угол, лежащий напротив самой длинной стороны (гипотенузы), равен $90^\circ$. В нашем построении это угол C.

Два других угла являются острыми. При измерении их транспортиром получатся следующие приблизительные значения:

• Угол, противолежащий стороне 3 см (угол A), равен примерно $37^\circ$.
• Угол, противолежащий стороне 4 см (угол B), равен примерно $53^\circ$.

Сумма углов треугольника: $90^\circ + 37^\circ + 53^\circ = 180^\circ$.

Ответ: Углы построенного треугольника равны $90^\circ$ и приблизительно $37^\circ$ и $53^\circ$.

449. a) Одна сторона треугольника равна 10 см, она на 2 см меньше второй стороны и на 3 см меньше третьей. Вычислите периметр этого треугольника.

б) Одна сторона треугольника равна 12 см, она на 4 см больше второй стороны и на 3 см больше третьей. Вычислите периметр этого треугольника.

в) Одна сторона треугольника равна 12 см, она на 3 см меньше второй стороны и на 2 см больше третьей. Вычислите периметр этого треугольника.

г) Одна сторона треугольника равна 25 см, она на 4 см больше второй стороны и на 5 см меньше третьей. Вычислите периметр этого треугольника.

а) Пусть первая сторона треугольника равна 10 см. По условию, она на 2 см меньше второй стороны, значит, вторая сторона равна $10 + 2 = 12$ см. Первая сторона также на 3 см меньше третьей, следовательно, третья сторона равна $10 + 3 = 13$ см. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: $P = 10 + 12 + 13 = 35$ см.
Ответ: 35 см.

б) Пусть первая сторона треугольника равна 12 см. По условию, она на 4 см больше второй стороны, значит, вторая сторона равна $12 - 4 = 8$ см. Первая сторона также на 3 см больше третьей, следовательно, третья сторона равна $12 - 3 = 9$ см. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: $P = 12 + 8 + 9 = 29$ см.
Ответ: 29 см.

в) Пусть первая сторона треугольника равна 12 см. По условию, она на 3 см меньше второй стороны, значит, вторая сторона равна $12 + 3 = 15$ см. Первая сторона также на 2 см больше третьей, следовательно, третья сторона равна $12 - 2 = 10$ см. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: $P = 12 + 15 + 10 = 37$ см.
Ответ: 37 см.

г) Пусть первая сторона треугольника равна 25 см. По условию, она на 4 см больше второй стороны, значит, вторая сторона равна $25 - 4 = 21$ см. Первая сторона также на 5 см меньше третьей, следовательно, третья сторона равна $25 + 5 = 30$ см. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: $P = 25 + 21 + 30 = 76$ см.
Ответ: 76 см.