Номер 446, страница 100 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

446. Кузнечик прыгает на $5$ единичных отрезков в любом направлении на плоскости. Сможет ли он за несколько прыжков из точки $0$ координатного луча попасть в точку $4$? Если сможет, то покажите, как кузнечик это сделает.

Да, кузнечик сможет за несколько прыжков попасть из точки 0 в точку 4. Это можно сделать, например, за два прыжка.

Как это сделать:

Поскольку кузнечик может прыгать в любом направлении на плоскости, его перемещения не ограничены только координатным лучом. Мы можем рассмотреть задачу на координатной плоскости. Начальная точка кузнечика — это начало координат O(0, 0). Конечная точка — A(4, 0). Длина каждого прыжка равна 5.

Идея состоит в том, чтобы найти такую промежуточную точку P(x, y), в которую кузнечик прыгнет из начала координат, и из которой он сможет вторым прыжком попасть в конечную точку. Оба прыжка должны иметь длину 5.

1. Длина первого прыжка из точки O(0, 0) в точку P(x, y) должна быть равна 5. Это задается уравнением:
$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$.

2. Длина второго прыжка из точки P(x, y) в точку A(4, 0) также должна быть равна 5. Это задается уравнением:
$(x-4)^2 + (y-0)^2 = 5^2 = 25$.

Теперь решим систему из этих двух уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ (x-4)^2 + y^2 = 25 \end{cases} $
Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:
$x^2 + y^2 = (x-4)^2 + y^2$
Вычтем $y^2$ из обеих частей:
$x^2 = (x-4)^2$
$x^2 = x^2 - 8x + 16$
$0 = -8x + 16$
$8x = 16$
$x = 2$

Теперь найдем $y$, подставив $x=2$ в первое уравнение системы:
$2^2 + y^2 = 25$
$4 + y^2 = 25$
$y^2 = 21$
$y = \sqrt{21}$ (можно выбрать и отрицательное значение, $y = -\sqrt{21}$, решение будет симметричным).

Таким образом, последовательность прыжков может быть следующей:
1. Первый прыжок: из точки (0, 0) в точку $(2, \sqrt{21})$. Проверим его длину: $\sqrt{(2-0)^2 + (\sqrt{21}-0)^2} = \sqrt{4 + 21} = \sqrt{25} = 5$.
2. Второй прыжок: из точки $(2, \sqrt{21})$ в точку (4, 0). Проверим его длину: $\sqrt{(4-2)^2 + (0-\sqrt{21})^2} = \sqrt{2^2 + 21} = \sqrt{25} = 5$.
После этих двух прыжков кузнечик окажется в искомой точке (4, 0) на координатном луче.

Ответ: Да, сможет. Например, за два прыжка: первый из точки (0, 0) в точку $(2, \sqrt{21})$, а второй из точки $(2, \sqrt{21})$ в точку (4, 0).