Номер 440, страница 97 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

440. Касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку. Эту точку называют точкой касания. На рисунке 80 изображены окружность с центром $O$, касательная $AB$ и радиус окружности $OC$. $C$ — точка касания.

а) Определите углы, образованные касательной и радиусом окружности, проведённым в точку касания.

б) Покажите, как должны располагаться две окружности, чтобы они имели $a$ общих касательных. Рассмотрите все возможные случаи: $a=0, 1, 2, 3, 4$.

Рис. 80

а) По свойству касательной к окружности, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. На рисунке 80 радиус OC проведён в точку касания C к касательной AB.
Следовательно, радиус OC перпендикулярен касательной AB, то есть $OC \perp AB$.
Это означает, что углы, образованные касательной и радиусом в точке касания, являются прямыми. Таких углов два: ∠OCA и ∠OCB.
$∠OCA = 90°$
$∠OCB = 90°$
Ответ: образованные углы равны по 90°.

б) Рассмотрим две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ и радиусами $R_1$ и $R_2$ соответственно. Пусть $d$ — расстояние между их центрами ($d = |O_1O_2|$). Количество общих касательных ($a$) зависит от взаимного расположения этих окружностей.

Случай $a = 0$ (нет общих касательных)
Одна окружность находится внутри другой, не касаясь ее. Это происходит, когда расстояние между центрами меньше, чем разность их радиусов: $d < |R_1 - R_2|$.

Случай $a = 1$ (одна общая касательная)
Окружности касаются внутренним образом. У них одна общая точка касания и одна общая касательная, проходящая через эту точку. Это происходит, когда расстояние между центрами равно разности их радиусов: $d = |R_1 - R_2|$.

Случай $a = 2$ (две общие касательные)
Окружности пересекаются в двух точках. В этом случае у них есть две общие внешние касательные. Это происходит, когда расстояние между центрами больше разности радиусов, но меньше их суммы: $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$.

Случай $a = 3$ (три общие касательные)
Окружности касаются внешним образом. У них одна общая внутренняя касательная в точке касания и две общие внешние касательные. Это происходит, когда расстояние между центрами равно сумме их радиусов: $d = R_1 + R_2$.

Случай $a = 4$ (четыре общие касательные)
Окружности не пересекаются и не касаются, одна находится вне другой. В этом случае у них есть две общие внешние и две общие внутренние касательные. Это происходит, когда расстояние между центрами больше суммы их радиусов: $d > R_1 + R_2$.

Ответ: Расположение двух окружностей для заданного числа общих касательных a:
- при $a=0$: одна окружность находится внутри другой, не касаясь ($d < |R_1 - R_2|$).
- при $a=1$: окружности касаются внутренним образом ($d = |R_1 - R_2|$).
- при $a=2$: окружности пересекаются в двух точках ($|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$).
- при $a=3$: окружности касаются внешним образом ($d = R_1 + R_2$).
- при $a=4$: окружности расположены одна вне другой, не касаясь ($d > R_1 + R_2|$).