Номер 438, страница 97 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

438. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 79). Углы $AOC$ и $BOD$ называют вертикальными. Назовите другую пару вертикальных углов. Чему равна сумма величин углов $1$ и $3$? Чему равна сумма величин углов $3$ и $2$? Верно ли, что $\angle 1 + \angle 3 = \angle 3 + \angle 2$? Верно ли, что $\angle 1 = \angle 2$? Верно ли утверждение: вертикальные углы равны?

Развёрнутый угол $ \angle AOB $ представляет собой прямую линию, поэтому его градусная мера составляет $ 180^\circ $.

Угол $ \angle AOB $ состоит из смежных углов $ \angle AOC $ и $ \angle BOC $. Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $. Зная $ \angle AOC $, мы можем найти $ \angle BOC $:

$ \angle BOC = \angle AOB - \angle AOC = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ $.

Теперь рассмотрим угол $ \angle DOB $. Он состоит из двух углов: $ \angle DOC $ и $ \angle COB $. То есть, $ \angle DOB = \angle DOC + \angle COB $. Мы знаем величины углов $ \angle DOB $ и $ \angle COB $, поэтому можем найти искомый угол $ \angle DOC $:

$ 120^\circ = \angle DOC + 50^\circ $

Выразим $ \angle DOC $:

$ \angle DOC = 120^\circ - 50^\circ = 70^\circ $.

Ответ: $ \angle DOC = 70^\circ $.

Назовите другую пару вертикальных углов.

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых и лежат друг напротив друга. Первая пара вертикальных углов, указанная в условии, — это $ \angle AOC $ ($ \angle 1 $) и $ \angle BOD $ ($ \angle 2 $). Вторая пара углов, также лежащих друг напротив друга, — это $ \angle AOD $ ($ \angle 3 $) и $ \angle BOC $.

Ответ: Другая пара вертикальных углов — $ \angle AOD $ и $ \angle BOC $.

Чему равна сумма величин углов 1 и 3?

Углы $ \angle 1 $ ($ \angle AOC $) и $ \angle 3 $ ($ \angle AOD $) являются смежными, так как они имеют общую сторону OA, а их другие стороны (OC и OD) образуют прямую линию CD. Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $.

Ответ: Сумма величин углов 1 и 3 равна $ 180^\circ $.

Чему равна сумма величин углов 3 и 2?

Углы $ \angle 3 $ ($ \angle AOD $) и $ \angle 2 $ ($ \angle BOD $) также являются смежными. У них общая сторона OD, а их другие стороны (OA и OB) образуют прямую линию AB. Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $.

Ответ: Сумма величин углов 3 и 2 равна $ 180^\circ $.

Верно ли, что $ \angle 1 + \angle 3 = \angle 3 + \angle 2 $?

Да, это верно. Как мы определили ранее, сумма углов $ \angle 1 $ и $ \angle 3 $ равна $ 180^\circ $, и сумма углов $ \angle 3 $ и $ \angle 2 $ также равна $ 180^\circ $. Поскольку обе суммы равны одному и тому же значению ($ 180^\circ $), то они равны между собой.

Ответ: Да, верно.

Верно ли, что $ \angle 1 = \angle 2 $?

Да, это верно. Исходя из предыдущего равенства $ \angle 1 + \angle 3 = \angle 3 + \angle 2 $, мы можем вычесть величину угла $ \angle 3 $ из обеих частей уравнения, что не нарушит равенства. В результате получим $ \angle 1 = \angle 2 $.

Ответ: Да, верно.

Верно ли утверждение: вертикальные углы равны?

Да, утверждение верно. Мы только что доказали на примере углов $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $, что они равны. $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ являются вертикальными. Это свойство (теорема о равенстве вертикальных углов) справедливо для любой пары вертикальных углов, образованных пересечением двух прямых.

Ответ: Да, верно.