Номер 432, страница 96 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

432. а) На отрезке $AB$ отметьте точки $C'$ и $D$. Сколько отрезков получилось?

б) Постройте острый угол $AOB$. Проведите внутри этого угла два луча $OD$ и $OE$. Сколько острых углов получилось?

а) На отрезке AB отмечены точки C и D. Всего на прямой теперь 4 точки: A, B, C, D. Отрезок образуется двумя любыми из этих точек. Чтобы найти общее количество отрезков, можно их последовательно пересчитать, выбирая начальную точку и соединяя ее со всеми последующими.
- Отрезки, начинающиеся в точке A: AC, AD, AB (всего 3).
- Отрезки, начинающиеся в точке C (исключая уже учтенный отрезок AC): CD, CB (всего 2).
- Отрезок, начинающийся в точке D (исключая уже учтенные отрезки AD и CD): DB (всего 1).
Общее количество отрезков равно сумме: $3 + 2 + 1 = 6$.
Другой способ — использовать формулу для числа сочетаний, так как порядок точек в отрезке не важен (AC и CA — это один и тот же отрезок). Нам нужно выбрать 2 точки из 4:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.
Ответ: 6

б) Внутри острого угла AOB проведены два луча OD и OE. Таким образом, из вершины O исходят 4 луча: OA, OD, OE, OB. Любая пара этих лучей образует угол.
Поскольку исходный угол AOB острый (его мера меньше 90°), то любой угол, являющийся его частью (например, ∠AOD, ∠DOE и т.д.), также будет иметь меру меньше 90°, то есть будет острым. Следовательно, все образованные углы — острые.
Подсчет количества углов аналогичен подсчету отрезков в предыдущем пункте.
- Углы, одной из сторон которых является луч OA: ∠AOD, ∠AOE, ∠AOB (всего 3).
- Углы, одной из сторон которых является луч OD (исключая уже учтенный угол ∠AOD): ∠DOE, ∠DOB (всего 2).
- Угол, одной из сторон которого является луч OE (исключая уже учтенные углы): ∠EOB (всего 1).
Общее количество углов равно сумме: $3 + 2 + 1 = 6$.
Используя формулу для числа сочетаний (выбор 2 лучей из 4):
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.
Ответ: 6