Страница 96 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

427. а) Какой угол образуют часовая и минутная стрелки в: 6 ч; 3 ч; 1 ч; 5 ч?

б) На какой угол повернётся часовая стрелка за: 6 ч; 3 ч; 1 ч; 4 ч?

в) На какой угол повернётся минутная стрелка за: 30 мин; 15 мин; 10 мин; 1 мин?

Для решения задачи необходимо знать, что полный оборот стрелки по циферблату составляет $360^\circ$. На циферблате 12 часовых делений и 60 минутных делений.

Скорость движения минутной стрелки: она проходит полный круг ($360^\circ$) за 60 минут. Следовательно, её скорость составляет $360^\circ / 60 \text{ мин} = 6^\circ$ в минуту.

Скорость движения часовой стрелки: она проходит полный круг ($360^\circ$) за 12 часов. Следовательно, её скорость составляет $360^\circ / 12 \text{ ч} = 30^\circ$ в час.

а)

Когда часы показывают ровное количество часов, минутная стрелка всегда указывает на 12. Угол между двумя соседними цифрами на циферблате равен $360^\circ / 12 = 30^\circ$.

• В 6 ч: минутная стрелка на 12, часовая — на 6. Между ними 6 часовых делений. Угол равен $6 \times 30^\circ = 180^\circ$. Это развёрнутый угол.

• В 3 ч: минутная стрелка на 12, часовая — на 3. Между ними 3 часовых деления. Угол равен $3 \times 30^\circ = 90^\circ$. Это прямой угол.

• В 1 ч: минутная стрелка на 12, часовая — на 1. Между ними 1 часовое деление. Угол равен $1 \times 30^\circ = 30^\circ$.

• В 5 ч: минутная стрелка на 12, часовая — на 5. Между ними 5 часовых делений. Угол равен $5 \times 30^\circ = 150^\circ$.

Ответ: $180^\circ$; $90^\circ$; $30^\circ$; $150^\circ$.

б)

Часовая стрелка за 1 час поворачивается на $30^\circ$.

• За 6 ч: часовая стрелка повернётся на $6 \times 30^\circ = 180^\circ$.

• За 3 ч: часовая стрелка повернётся на $3 \times 30^\circ = 90^\circ$.

• За 1 ч: часовая стрелка повернётся на $1 \times 30^\circ = 30^\circ$.

• За 4 ч: часовая стрелка повернётся на $4 \times 30^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $180^\circ$; $90^\circ$; $30^\circ$; $120^\circ$.

в)

Минутная стрелка за 1 минуту поворачивается на $6^\circ$.

• За 30 мин: минутная стрелка повернётся на $30 \times 6^\circ = 180^\circ$.

• За 15 мин: минутная стрелка повернётся на $15 \times 6^\circ = 90^\circ$.

• За 10 мин: минутная стрелка повернётся на $10 \times 6^\circ = 60^\circ$.

• За 1 мин: минутная стрелка повернётся на $1 \times 6^\circ = 6^\circ$.

Ответ: $180^\circ$; $90^\circ$; $60^\circ$; $6^\circ$.

428. Выразите в минутах: $1^\circ$, $7^\circ$, $10^\circ$, $30^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$.

Для перевода градусов в угловые минуты используется основное соотношение: в одном градусе содержится 60 угловых минут. Математически это записывается как $1° = 60'$. Чтобы найти количество минут в заданном числе градусов, нужно это число умножить на 60.

1°
Чтобы перевести 1 градус в минуты, умножим 1 на 60:
$1° = 1 \times 60' = 60'$.
Ответ: 60'.

7°
Чтобы перевести 7 градусов в минуты, умножим 7 на 60:
$7° = 7 \times 60' = 420'$.
Ответ: 420'.

10°
Чтобы перевести 10 градусов в минуты, умножим 10 на 60:
$10° = 10 \times 60' = 600'$.
Ответ: 600'.

30°
Чтобы перевести 30 градусов в минуты, умножим 30 на 60:
$30° = 30 \times 60' = 1800'$.
Ответ: 1800'.

90°
Чтобы перевести 90 градусов в минуты, умножим 90 на 60:
$90° = 90 \times 60' = 5400'$.
Ответ: 5400'.

180°
Чтобы перевести 180 градусов в минуты, умножим 180 на 60:
$180° = 180 \times 60' = 10800'$.
Ответ: 10800'.

429. Выразите в секундах: $1''$; $1^\circ$; $1^\circ 1'$; $4^\circ 3'$; $10^\circ$; $10'$.

Для решения данной задачи необходимо использовать следующие соотношения между градусами ($^\circ$), угловыми минутами ($'$) и угловыми секундами ($''$):

• 1 градус равен 60 минутам: $1^\circ = 60'$.
• 1 минута равна 60 секундам: $1' = 60''$.
• Следовательно, 1 градус равен $60 \times 60 = 3600$ секундам: $1^\circ = 3600''$.

Теперь переведем каждое из заданных значений в секунды.

1'
Согласно определению, одна угловая минута содержит 60 угловых секунд.
$1' = 60''$
Ответ: $60''$

1°
Один градус содержит 60 минут, а каждая минута содержит 60 секунд. Поэтому, чтобы перевести градусы в секунды, нужно умножить количество градусов на 3600.
$1^\circ = 1 \times 60' = 60' = 60 \times 60'' = 3600''$
Ответ: $3600''$

1°1'
Для перевода этого значения в секунды, нужно сложить количество секунд в одном градусе и в одной минуте.
$1^\circ = 3600''$
$1' = 60''$
$1^\circ1' = 1^\circ + 1' = 3600'' + 60'' = 3660''$
Ответ: $3660''$

4°3'
Сначала переведем 4 градуса в секунды, затем 3 минуты в секунды, и сложим полученные значения.
Перевод градусов в секунды: $4^\circ = 4 \times 3600'' = 14400''$.
Перевод минут в секунды: $3' = 3 \times 60'' = 180''$.
Суммируем значения: $4^\circ3' = 14400'' + 180'' = 14580''$.
Ответ: $14580''$

10°
Чтобы выразить 10 градусов в секундах, умножим количество секунд в одном градусе ($3600''$) на 10.
$10^\circ = 10 \times 3600'' = 36000''$
Ответ: $36000''$

10'
Чтобы выразить 10 минут в секундах, умножим количество секунд в одной минуте ($60''$) на 10.
$10' = 10 \times 60'' = 600''$
Ответ: $600''$

430. Выполните сложение по образцу:

$4^\circ 7'19'' + 1^\circ 52'48'' = 5^\circ 59'67'' = 5^\circ 60'7'' = 6^\circ 7''$.

а) $37^\circ 12' + 5^\circ 7'19''$;

б) $49'33'' + 24'28''$;

в) $5^\circ 27' + 3^\circ 56'$;

г) $4^\circ 17'29'' + 1^\circ 45'38''$;

д) $23'52'' + 8''$;

е) $89^\circ 59'59'' + 1''$.

Сложение угловых величин выполняется поразрядно: градусы складываются с градусами, минуты с минутами, а секунды с секундами. Если в результате сложения количество минут или секунд становится равным 60 или больше, то выполняется перенос в старший разряд, учитывая, что $1^\circ = 60'$ и $1' = 60"$.

а) $37^\circ12' + 5^\circ7'19"$
Сначала приведем первое слагаемое к виду с секундами: $37^\circ12' = 37^\circ12'0"$.
$37^\circ12'0" + 5^\circ7'19" = (37+5)^\circ(12+7)'(0+19)" = 42^\circ19'19"$.
Поскольку количество минут и секунд меньше 60, дальнейшие преобразования не требуются.
Ответ: $42^\circ19'19"$.

б) $49'33" + 24'28"$
Складываем минуты и секунды по отдельности:
$49'33" + 24'28" = (49+24)'(33+28)" = 73'61"$.
Преобразуем секунды: $61" = 60" + 1" = 1'1"$.
Добавляем полученную минуту к минутам: $73' + 1' = 74'$. Остается $1"$. Результат: $74'1"$.
Преобразуем минуты: $74' = 60' + 14' = 1^\circ14'$.
Итоговый результат: $1^\circ14'1"$.
$49'33" + 24'28" = 73'61" = 74'1" = 1^\circ14'1"$.
Ответ: $1^\circ14'1"$.

в) $5^\circ27' + 3^\circ56'$
Складываем градусы и минуты по отдельности:
$5^\circ27' + 3^\circ56' = (5+3)^\circ(27+56)' = 8^\circ83"$.
Преобразуем минуты: $83' = 60' + 23' = 1^\circ23'$.
Добавляем полученный градус к градусам: $8^\circ + 1^\circ = 9^\circ$. Остается $23'$.
Итоговый результат: $9^\circ23'$.
$5^\circ27' + 3^\circ56' = 8^\circ83' = 9^\circ23'$.
Ответ: $9^\circ23"$.

г) $4^\circ17'29" + 1^\circ45'38"$
Складываем градусы, минуты и секунды по отдельности:
$4^\circ17'29" + 1^\circ45'38" = (4+1)^\circ(17+45)'(29+38)" = 5^\circ62'67"$.
Преобразуем секунды: $67" = 60" + 7" = 1'7"$.
Добавляем минуту к минутам: $62' + 1' = 63'$. Получаем $5^\circ63'7"$.
Преобразуем минуты: $63' = 60' + 3' = 1^\circ3'$.
Добавляем градус к градусам: $5^\circ + 1^\circ = 6^\circ$. Получаем $6^\circ3'7"$.
$4^\circ17'29" + 1^\circ45'38" = 5^\circ62'67" = 5^\circ63'7" = 6^\circ3'7"$.
Ответ: $6^\circ3'7"$.

д) $23'52" + 8"$
Складываем секунды:
$23'52" + 8" = 23'(52+8)" = 23'60"$.
Преобразуем секунды: $60" = 1'$.
Добавляем минуту к минутам: $23' + 1' = 24'$.
$23'52" + 8" = 23'60" = 24'$.
Ответ: $24'$.

е) $89^\circ59'59" + 1"$
Складываем секунды:
$89^\circ59'59" + 1" = 89^\circ59'(59+1)" = 89^\circ59'60"$.
Преобразуем секунды: $60" = 1'$.
Добавляем минуту к минутам: $89^\circ(59+1)' = 89^\circ60"$.
Преобразуем минуты: $60' = 1^\circ$.
Добавляем градус к градусам: $89^\circ + 1^\circ = 90^\circ$.
$89^\circ59'59" + 1" = 89^\circ59'60" = 89^\circ60' = 90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

431. Выполните вычитание по образцу:

$4^\circ17'9'' - 3^\circ29'28'' = 4^\circ16'69'' - 3^\circ29'28'' = 3^\circ76'69'' - 3^\circ29'28'' = 47'41''$.

а) $17^\circ - 29'$;

б) $9^\circ31' - 2^\circ58'$;

в) $5'47'' - 3'56''$;

г) $4^\circ37'19'' - 3^\circ39'58''$;

д) $23'5'' - 8''$;

е) $1^\circ - 1''$;

ж) $1^\circ - 1'$;

з) $1^\circ - 59'55''$.

Для выполнения вычитания угловых величин (градусов, минут, секунд) необходимо помнить, что $1° = 60'$ и $1' = 60"$. Вычитание производится поразрядно, начиная с наименьших единиц (секунд). Если в уменьшаемом число единиц меньше, чем в вычитаемом, необходимо "занять" единицу из старшего разряда.

а) $17° - 29'$
Чтобы вычесть минуты, "займем" один градус из $17°$, представив его как $60'$.
$17° = 16° + 1° = 16°60'$.
Теперь выполним вычитание: $16°60' - 29' = 16°(60 - 29)' = 16°31' $.
Ответ: $16°31'$.

б) $9°31' - 2°58'$
Мы не можем вычесть $58'$ из $31'$, поэтому "займем" $1°$ из $9°$.
$9°31' = 8°(60 + 31)' = 8°91'$.
Теперь вычитаем: $8°91' - 2°58' = (8 - 2)°(91 - 58)' = 6°33'$.
Ответ: $6°33'$.

в) $5'47" - 3'56"$
Мы не можем вычесть $56"$ из $47"$, поэтому "займем" $1'$ из $5'$.
$5'47" = 4'(60 + 47)" = 4'107"$.
Теперь вычитаем: $4'107" - 3'56" = (4 - 3)'(107 - 56)" = 1'51"$.
Ответ: $1'51"$.

г) $4°37'19" - 3°39'58"$
1. Вычитаем секунды: $19" < 58"$. "Занимаем" $1'$ из $37'$, получаем $36'$ и $19"+60" = 79"$.
Выражение становится: $4°36'79" - 3°39'58"$.
2. Вычитаем минуты: $36' < 39"$. "Занимаем" $1°$ из $4°$, получаем $3°$ и $36'+60' = 96'$.
Выражение становится: $3°96'79" - 3°39'58"$.
3. Выполняем вычитание поразрядно:
$79" - 58" = 21"$.
$96' - 39' = 57'$.
$3° - 3° = 0°$.
Результат: $57'21"$.
Ответ: $57'21"$.

д) $23'5" - 8"$
Мы не можем вычесть $8"$ из $5"$, поэтому "займем" $1'$ из $23'$.
$23'5" = 22'(60 + 5)" = 22'65"$.
Теперь вычитаем: $22'65" - 8" = 22'(65 - 8)" = 22'57"$.
Ответ: $22'57"$.

е) $1° - 1"$
Представим $1°$ в виде минут и секунд.
$1° = 60' = 59' + 1' = 59'60"$.
Теперь вычитаем: $59'60" - 1" = 59'(60 - 1)" = 59'59"$.
Ответ: $59'59"$.

ж) $1° - 1'$
Представим $1°$ как $60'$.
$60' - 1' = 59'$.
Ответ: $59'$.

з) $1° - 59'55"$
Представим $1°$ в виде минут и секунд: $1° = 59'60"$.
Теперь вычитаем: $59'60" - 59'55" = (59 - 59)'(60 - 55)" = 0'5" = 5"$.
Ответ: $5"$.

432. а) На отрезке $AB$ отметьте точки $C'$ и $D$. Сколько отрезков получилось?

б) Постройте острый угол $AOB$. Проведите внутри этого угла два луча $OD$ и $OE$. Сколько острых углов получилось?

а) На отрезке AB отмечены точки C и D. Всего на прямой теперь 4 точки: A, B, C, D. Отрезок образуется двумя любыми из этих точек. Чтобы найти общее количество отрезков, можно их последовательно пересчитать, выбирая начальную точку и соединяя ее со всеми последующими.
- Отрезки, начинающиеся в точке A: AC, AD, AB (всего 3).
- Отрезки, начинающиеся в точке C (исключая уже учтенный отрезок AC): CD, CB (всего 2).
- Отрезок, начинающийся в точке D (исключая уже учтенные отрезки AD и CD): DB (всего 1).
Общее количество отрезков равно сумме: $3 + 2 + 1 = 6$.
Другой способ — использовать формулу для числа сочетаний, так как порядок точек в отрезке не важен (AC и CA — это один и тот же отрезок). Нам нужно выбрать 2 точки из 4:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.
Ответ: 6

б) Внутри острого угла AOB проведены два луча OD и OE. Таким образом, из вершины O исходят 4 луча: OA, OD, OE, OB. Любая пара этих лучей образует угол.
Поскольку исходный угол AOB острый (его мера меньше 90°), то любой угол, являющийся его частью (например, ∠AOD, ∠DOE и т.д.), также будет иметь меру меньше 90°, то есть будет острым. Следовательно, все образованные углы — острые.
Подсчет количества углов аналогичен подсчету отрезков в предыдущем пункте.
- Углы, одной из сторон которых является луч OA: ∠AOD, ∠AOE, ∠AOB (всего 3).
- Углы, одной из сторон которых является луч OD (исключая уже учтенный угол ∠AOD): ∠DOE, ∠DOB (всего 2).
- Угол, одной из сторон которого является луч OE (исключая уже учтенные углы): ∠EOB (всего 1).
Общее количество углов равно сумме: $3 + 2 + 1 = 6$.
Используя формулу для числа сочетаний (выбор 2 лучей из 4):
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.
Ответ: 6

433. Внутри развёрнутого угла $ABC$ проведите луч $BD$. Он разбивает развёрнутый угол на два угла $ABD$ и $DBC$, которые называют смежными углами. Чему равна сумма величин смежных углов?

Развёрнутый угол — это угол, стороны которого лежат на одной прямой. По определению, величина развёрнутого угла составляет $180°$. В данном случае угол $ABC$ является развёрнутым, следовательно, его величина равна $180°$.

$∠ABC = 180°$

Луч $BD$ проходит внутри угла $ABC$ и делит его на два угла: $∠ABD$ и $∠DBC$. Согласно аксиоме о сложении углов, сумма мер этих двух углов равна мере исходного угла $ABC$.

$∠ABD + ∠DBC = ∠ABC$

Так как мы знаем, что $∠ABC = 180°$, мы можем подставить это значение в равенство:

$∠ABD + ∠DBC = 180°$

Углы $∠ABD$ и $∠DBC$, которые образуются при делении развёрнутого угла лучом, исходящим из его вершины, называются смежными. Таким образом, сумма смежных углов всегда равна $180°$.

Ответ: Сумма величин смежных углов равна $180°$.

434. Луч $OC$ делит развёрнутый угол $AOB$ на два смежных угла $AOC$ и $BOC$ так, что угол $AOC$ на $30^\circ$ больше угла $BOC$. Найдите $\angle AOC$ и $\angle BOC$.

По условию задачи, угол $ \angle AOB $ является развёрнутым. Градусная мера развёрнутого угла составляет $ 180^\circ $.

Луч $ OC $ делит угол $ \angle AOB $ на два смежных угла: $ \angle AOC $ и $ \angle BOC $. По свойству смежных углов, их сумма равна $ 180^\circ $. Таким образом, мы можем записать первое уравнение:

$ \angle AOC + \angle BOC = 180^\circ $

Из условия также известно, что угол $ \angle AOC $ на $ 30^\circ $ больше угла $ \angle BOC $. Это даёт нам второе уравнение:

$ \angle AOC = \angle BOC + 30^\circ $

Теперь мы имеем систему из двух уравнений. Для её решения подставим выражение для $ \angle AOC $ из второго уравнения в первое:

$ (\angle BOC + 30^\circ) + \angle BOC = 180^\circ $

Упростим полученное уравнение и найдём величину угла $ \angle BOC $:

$ 2 \cdot \angle BOC + 30^\circ = 180^\circ $

$ 2 \cdot \angle BOC = 180^\circ - 30^\circ $

$ 2 \cdot \angle BOC = 150^\circ $

$ \angle BOC = \frac{150^\circ}{2} $

$ \angle BOC = 75^\circ $

Теперь, зная величину угла $ \angle BOC $, мы можем найти величину угла $ \angle AOC $, подставив найденное значение во второе уравнение:

$ \angle AOC = 75^\circ + 30^\circ $

$ \angle AOC = 105^\circ $

Выполним проверку: сумма углов $ 105^\circ + 75^\circ = 180^\circ $, разница между углами $ 105^\circ - 75^\circ = 30^\circ $. Условия задачи выполнены.

Ответ: $ \angle AOC = 105^\circ $; $ \angle BOC = 75^\circ $.

435. Луч OC делит развёрнутый угол AOB на два смежных угла AOC и BOC так, что угол AOC в 3 раза больше угла BOC. Найдите $ \angle AOC $ и $ \angle BOC $.

По условию, угол $AOB$ — развёрнутый, а это значит, что его величина равна $180^\circ$. Луч $OC$ делит этот угол на два смежных угла: $\angle AOC$ и $\angle BOC$. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

Следовательно, $\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ$.

Пусть величина угла $\angle BOC$ равна $x$. Тогда, согласно условию, что угол $\angle AOC$ в 3 раза больше, его величина будет равна $3x$.

Составим уравнение на основе свойства смежных углов:

$3x + x = 180^\circ$

Решим это уравнение:

$4x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{4}$

$x = 45^\circ$

Мы нашли величину угла $\angle BOC$. Теперь найдем величину угла $\angle AOC$:

$\angle BOC = x = 45^\circ$

$\angle AOC = 3x = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$

Ответ: $\angle AOC = 135^\circ$, $\angle BOC = 45^\circ$.

436. Могут ли смежные углы быть:

a) оба прямые;

б) оба острые;

в) оба тупые?

По определению, смежные углы — это два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а две другие лежат на одной прямой (являются дополнительными лучами). Важнейшее свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

Пусть даны два смежных угла $\alpha$ и $\beta$. Тогда их сумма равна $\alpha + \beta = 180^\circ$.

а) оба прямые
Прямой угол — это угол, равный $90^\circ$. Если предположить, что оба смежных угла прямые, то $\alpha = 90^\circ$ и $\beta = 90^\circ$. Проверим их сумму: $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это равенство соответствует свойству смежных углов, значит, такое возможно.
Ответ: да.

б) оба острые
Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — острые углы. Тогда $\alpha < 90^\circ$ и $\beta < 90^\circ$. Сложив эти два неравенства, получим: $\alpha + \beta < 90^\circ + 90^\circ$, то есть $\alpha + \beta < 180^\circ$. Это противоречит свойству смежных углов, согласно которому их сумма должна быть строго равна $180^\circ$. Следовательно, два смежных угла не могут быть оба острыми.
Ответ: нет.

в) оба тупые
Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — тупые углы. Тогда $\alpha > 90^\circ$ и $\beta > 90^\circ$. Сложив эти два неравенства, получим: $\alpha + \beta > 90^\circ + 90^\circ$, то есть $\alpha + \beta > 180^\circ$. Это также противоречит свойству смежных углов. Следовательно, два смежных угла не могут быть оба тупыми.
Ответ: нет.