Страница 103 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

454. Определите периметр четырёхугольника ABCD (рис. 92).

Рис. 92.

Периметр четырёхугольника — это сумма длин всех его сторон. Для нахождения периметра четырёхугольника $ABCD$ необходимо сложить длины его сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$. Формула для расчёта периметра $P$:

$P = AB + BC + CD + AD$

Для решения задачи воспользуемся данными из условия, которое обычно сопровождает этот рисунок в учебнике, так как на самом изображении текст условия нечитаем.

Условие задачи:

• Сторона $AB$ четырёхугольника $ABCD$ равна 12 см.
• Сторона $BC$ на 4 см больше стороны $AB$.
• Сторона $CD$ в 2 раза меньше стороны $BC$.
• Сторона $AD$ на 5 см меньше стороны $CD$.

Вычислим длины каждой стороны по порядку:

1. Найдём длину стороны $BC$. Она на 4 см больше $AB$:

$BC = AB + 4 = 12 + 4 = 16$ см

2. Найдём длину стороны $CD$. Она в 2 раза меньше $BC$:

$CD = BC \div 2 = 16 \div 2 = 8$ см

3. Найдём длину стороны $AD$. Она на 5 см меньше $CD$:

$AD = CD - 5 = 8 - 5 = 3$ см

4. Теперь, когда известны длины всех четырёх сторон ($AB = 12$ см, $BC = 16$ см, $CD = 8$ см, $AD = 3$ см), мы можем вычислить периметр четырёхугольника:

$P = AB + BC + CD + AD = 12 + 16 + 8 + 3 = 39$ см

Ответ: 39 см.

455. Найдите на рисунке 93 равные четырёхугольники.

Рис. 93

Для того чтобы определить, равны ли два четырёхугольника, необходимо проверить, можно ли их совместить наложением. На клетчатой бумаге это можно сделать, сравнив их соответствующие стороны и углы. Мы можем вычислить длины сторон каждой фигуры, принимая сторону одной клетки за единицу длины, и используя теорему Пифагора для наклонных отрезков. Длина наклонного отрезка, соединяющего точки со смещением $\Delta x$ по горизонтали и $\Delta y$ по вертикали, равна $\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$.

Проанализируем последовательно все четырёхугольники:

1. Четырёхугольник 1: Его стороны имеют длины: $3$ (горизонтальная), $2$ (вертикальная), $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ (наклонная) и $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$ (наклонная). Набор длин сторон: $\{3, 2, \sqrt{5}, \sqrt{10}\}$.
2. Четырёхугольник 2: Его стороны имеют длины: $3$ (горизонтальная), $2$ (вертикальная), $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ (наклонная) и $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$ (наклонная). Набор длин сторон: $\{3, 2, \sqrt{5}, \sqrt{10}\}$.
3. Четырёхугольник 3: Это прямоугольник со сторонами $4$ и $2$. Набор длин сторон: $\{4, 2, 4, 2\}$.
4. Четырёхугольник 4: Это параллелограмм. Две стороны имеют длину $4$, а две другие, наклонные, имеют длину $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$. Набор длин сторон: $\{4, \sqrt{5}, 4, \sqrt{5}\}$.
5. Четырёхугольник 5: Это прямоугольная трапеция. Её стороны имеют длины $2$ (вертикальная), $1$ (вертикальная), $4$ (горизонтальная) и $\sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$ (наклонная). Набор длин сторон: $\{2, 1, 4, \sqrt{17}\}$.
6. Четырёхугольник 6: Это прямоугольник со сторонами $2$ и $3$. Набор длин сторон: $\{2, 3, 2, 3\}$.
7. Четырёхугольник 7: Его стороны имеют длины: $3$ (горизонтальная), $\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8}$, $\sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$ и $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$. Набор длин сторон: $\{3, \sqrt{8}, \sqrt{17}, \sqrt{10}\}$.
8. Четырёхугольник 8: Это дельтоид. Две смежные стороны имеют длину $\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$, а две другие стороны имеют длины $3$ и $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$. Набор длин сторон: $\{\sqrt{13}, \sqrt{13}, 3, \sqrt{5}\}$.

Сравнивая наборы длин сторон всех восьми четырёхугольников, мы видим, что только у фигур 1 и 2 они полностью совпадают. Фигура 2 является зеркальным отражением фигуры 1, что означает, что они равны. У всех остальных четырёхугольников наборы длин сторон уникальны, следовательно, среди них нет других равных пар.

Ответ: равными являются четырёхугольники 1 и 2.

456 Постройте два равных четырёхугольника.

Два четырёхугольника называются равными (или конгруэнтными), если их можно совместить наложением. У равных четырёхугольников соответственно равны все стороны и все углы.

Чтобы построить два равных четырёхугольника, проще всего взять какую-либо простую фигуру, например, квадрат или прямоугольник, и построить два одинаковых экземпляра.

Рассмотрим построение на примере двух равных прямоугольников:

1. Выберем размеры для нашего прямоугольника. Пусть его длина будет $a = 6$ см, а ширина $b = 4$ см.

2. Строим первый прямоугольник $ABCD$.

   • С помощью линейки чертим отрезок $AB$ длиной 6 см.

   • С помощью угольника или транспортира строим прямые углы в точках $A$ и $B$. Проводим из этих точек лучи, перпендикулярные отрезку $AB$.

   • На этих лучах откладываем отрезки $AD$ и $BC$ длиной по 4 см каждый.

   • Соединяем точки $D$ и $C$. Полученный четырёхугольник $ABCD$ — прямоугольник с заданными сторонами.

3. Строим второй прямоугольник $A_1B_1C_1D_1$.

   Повторяем все те же действия для построения второго прямоугольника, используя те же самые размеры: длину $a_1 = 6$ см и ширину $b_1 = 4$ см. В результате получаем второй прямоугольник $A_1B_1C_1D_1$.

Поскольку мы строили обе фигуры по одним и тем же параметрам, у них будут равны соответствующие стороны ($AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и т.д.) и соответствующие углы (все углы по $90^\circ$). Следовательно, построенные четырёхугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ равны.

Аналогично можно построить два любых равных четырёхугольника, не обязательно прямоугольника. Главное — чтобы у них были попарно равны все четыре стороны и все четыре угла.

Ответ: Чтобы построить два равных четырёхугольника, нужно начертить один четырёхугольник, а затем начертить второй с точно такими же длинами сторон и величинами углов. Например, можно построить два одинаковых квадрата со стороной 5 см.

457. а) Верно ли, что если четырёхугольники равны, то равны и их периметры?

б) Верно ли, что если периметры двух четырёхугольников равны, то эти четырёхугольники равны?

а) Верно ли, что если четырёхугольники равны, то равны и их периметры?

Данное утверждение верно.

По определению, два четырёхугольника (как и любые другие геометрические фигуры) называются равными, если их можно совместить наложением. Это означает, что у равных четырёхугольников соответственно равны все стороны и все углы.

Пусть есть два равных четырёхугольника со сторонами $a_1, b_1, c_1, d_1$ и $a_2, b_2, c_2, d_2$.

Из равенства четырёхугольников следует равенство их соответствующих сторон:

$a_1 = a_2$, $b_1 = b_2$, $c_1 = c_2$, $d_1 = d_2$.

Периметр первого четырёхугольника равен $P_1 = a_1 + b_1 + c_1 + d_1$.

Периметр второго четырёхугольника равен $P_2 = a_2 + b_2 + c_2 + d_2$.

Так как соответствующие стороны равны, то и сумма их длин будет одинаковой:

$P_1 = a_1 + b_1 + c_1 + d_1 = a_2 + b_2 + c_2 + d_2 = P_2$.

Следовательно, если четырёхугольники равны, то их периметры также равны.

Ответ: да, верно.

б) Верно ли, что если периметры двух четырёхугольников равны, то эти четырёхугольники равны?

Данное утверждение неверно. Равенство периметров двух четырёхугольников не гарантирует равенства самих четырёхугольников. Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример.

Рассмотрим, например, квадрат со стороной $a = 5$ см. Его периметр $P_1 = 4a = 4 \times 5 = 20$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольник, который не является квадратом, например, со сторонами $b = 6$ см и $c = 4$ см. Его периметр $P_2 = 2(b+c) = 2(6+4) = 2 \times 10 = 20$ см.

Периметры этих двух четырёхугольников равны ($P_1 = P_2 = 20$ см), однако сами фигуры не равны. Квадрат со стороной 5 см и прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см имеют разную форму и разные длины сторон, и их невозможно совместить наложением.

Следовательно, из равенства периметров не следует равенство четырёхугольников.

Ответ: нет, неверно.

458. Какой четырёхугольник называют прямоугольником?

Прямоугольником называют четырёхугольник, у которого все углы прямые. Это означает, что величина каждого из четырёх его углов составляет $90^\circ$.

Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, поскольку его противоположные стороны попарно параллельны и равны. Вследствие этого он обладает всеми свойствами параллелограмма, а также некоторыми особыми свойствами.

Свойства прямоугольника:

• Противоположные стороны равны и параллельны ($AB = CD$, $BC = AD$; $AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$).
• Все углы прямые ($\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$).
• Диагонали прямоугольника равны между собой.
• Диагонали в точке пересечения делятся пополам.
• Точка пересечения диагоналей является центром описанной около прямоугольника окружности.
• Квадрат длины диагонали равен сумме квадратов длин двух его смежных сторон (по теореме Пифагора). Для сторон $a$ и $b$ и диагонали $d$ справедливо равенство: $d^2 = a^2 + b^2$.

Для того чтобы параллелограмм был прямоугольником, достаточно выполнения одного из следующих условий:

1. Один из его углов является прямым.
2. Его диагонали равны.

Ответ: Прямоугольником называют четырёхугольник, у которого все углы прямые.

459. а) Какой прямоугольник называют квадратом?

б) Является ли любой квадрат прямоугольником? Является ли любой прямоугольник квадратом?

а) Квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны равны. Это означает, что квадрат является частным случаем прямоугольника и обладает всеми его свойствами: все углы прямые ($90^\circ$), противоположные стороны параллельны, диагонали равны. Отличительной чертой квадрата является то, что равенство всех сторон добавляет ему новые свойства, например, его диагонали перпендикулярны.
Ответ: Прямоугольник, у которого все стороны равны.

б) Этот вопрос состоит из двух частей.
Является ли любой квадрат прямоугольником?
Да, является. Основное свойство прямоугольника — это наличие четырех прямых углов. Поскольку у любого квадрата все четыре угла прямые, он полностью удовлетворяет определению прямоугольника. Таким образом, любой квадрат — это прямоугольник.
Является ли любой прямоугольник квадратом?
Нет, не является. Для того чтобы прямоугольник был квадратом, необходимо, чтобы все его стороны были равны. У обычного прямоугольника равны только противоположные стороны, а смежные стороны могут иметь разную длину. Например, прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см не является квадратом.
Ответ: Да, любой квадрат является прямоугольником. Нет, не любой прямоугольник является квадратом.

460. Какой из четырёхугольников, изображённых на рисунке 94, является:

а) прямоугольником;

б) квадратом?

$ABCD$

$MNKL$

$EFGH$

$PSQR$

Рис. 94

Для ответа на вопрос определим, что такое прямоугольник и квадрат.

• Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны $90^\circ$).
• Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Таким образом, квадрат является частным случаем прямоугольника.

Теперь рассмотрим каждую фигуру на рисунке 94:

• ABCD: У этого четырёхугольника все углы прямые, а смежные стороны имеют разную длину. Это прямоугольник.
• NKLM: Это параллелограмм, его углы не являются прямыми.
• FEHG: Это трапеция, и только два её угла могут быть прямыми.
• PQRS: У этого четырёхугольника, судя по изображению, все стороны равны и все углы прямые. Это квадрат.

Прямоугольником на рисунке является четырёхугольник ABCD, так как все его углы прямые. Четырёхугольник PQRS также является прямоугольником (поскольку это квадрат), но в данной задаче он выделен в отдельную категорию.

Ответ: ABCD.

Квадратом на рисунке является четырёхугольник PQRS, так как у него все углы прямые и все стороны равны.

Ответ: PQRS.

461. Постройте в тетради прямоугольник со сторонами:

а) 5 см и 3 см;

б) 71 мм и 27 мм.

а)

Чтобы построить прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см, нужно выполнить следующие шаги, используя линейку и угольник (или транспортир):

1. Начертите отрезок AB длиной 5 см. Это будет одна из сторон прямоугольника.
2. От точки A проведите перпендикулярный отрезок AD длиной 3 см. Угол DAB должен быть прямым, то есть равным $90^\circ$. Для этого используйте угольник или транспортир.
3. От точки B также проведите перпендикулярный отрезок BC длиной 3 см. Угол ABC должен быть прямым ($90^\circ$).
4. Соедините точки D и C. Отрезок DC должен быть параллелен отрезку AB и иметь длину 5 см.

В результате вы получите прямоугольник ABCD со сторонами 5 см и 3 см.

Ответ: Построен прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см.

б)

Чтобы построить прямоугольник со сторонами 71 мм и 27 мм, выполните аналогичные действия. Для удобства можно помнить, что 71 мм = 7 см 1 мм, а 27 мм = 2 см 7 мм.

1. Начертите отрезок EF длиной 71 мм.
2. От точки E под прямым углом ($90^\circ$) отложите отрезок EH длиной 27 мм.
3. От точки F под прямым углом ($90^\circ$) отложите отрезок FG длиной 27 мм.
4. Соедините точки H и G. Длина отрезка HG должна получиться равной 71 мм.

В результате вы получите прямоугольник EFGH со сторонами 71 мм и 27 мм.

Ответ: Построен прямоугольник со сторонами 71 мм и 27 мм.

462. Постройте в тетради квадрат со стороной:

а) $4$ см;

б) $34$ мм.

а)

Для построения квадрата со стороной 4 см понадобятся линейка и угольник (или транспортир для измерения прямого угла). Построение выполняется в несколько шагов:

1. С помощью линейки начертите отрезок AB длиной 4 см. Это будет первая сторона квадрата.
2. От точки A проведите перпендикулярный к AB отрезок AD, также длиной 4 см. Угол DAB должен быть равен $90^\circ$. Для построения прямого угла используйте угольник или транспортир.
3. Аналогично, от точки B проведите перпендикулярный к AB отрезок BC длиной 4 см. Угол CBA также должен быть равен $90^\circ$.
4. Соедините точки D и C отрезком.

В результате получится фигура ABCD, у которой все стороны равны 4 см и все углы прямые. Это и есть искомый квадрат.

Ответ: В результате выполнения данных шагов будет построен квадрат со стороной 4 см.

б)

Сторона квадрата равна 34 мм. Для удобства работы с линейкой можно перевести миллиметры в сантиметры: $34 \text{ мм} = 3,4 \text{ см}$. Алгоритм построения аналогичен предыдущему заданию.

1. Начертите отрезок EF длиной 34 мм (то есть 3 см 4 мм).
2. С помощью угольника или транспортира постройте в точке E прямой угол ($90^\circ$) и отложите на его стороне отрезок EH длиной 34 мм.
3. Аналогично, постройте в точке F прямой угол ($90^\circ$) и отложите на его стороне отрезок FG длиной 34 мм.
4. Соедините точки H и G отрезком.

Полученная фигура EFGH является квадратом, так как все его стороны равны 34 мм и все углы прямые.

Ответ: В результате выполнения данных шагов будет построен квадрат со стороной 34 мм.

463. Найдите периметр прямоугольника со сторонами:

а) 12 см и 9 см;

б) 93 см и 2 см;

в) 11 см и 47 мм;

г) 17 см и 3 дм.

а) Периметр прямоугольника находится по формуле $P = 2 \times (a + b)$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон. Для прямоугольника со сторонами 12 см и 9 см периметр равен:
$P = 2 \times (12 + 9) = 2 \times 21 = 42$ см.
Ответ: 42 см.

б) Для прямоугольника со сторонами 93 см и 2 см периметр равен:
$P = 2 \times (93 + 2) = 2 \times 95 = 190$ см.
Ответ: 190 см.

в) Стороны прямоугольника даны в разных единицах: 11 см и 47 мм. Чтобы найти периметр, необходимо привести их к одной единице измерения. Переведем миллиметры в сантиметры, зная, что $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$:
$47 \text{ мм} = 47 / 10 \text{ см} = 4,7 \text{ см}$.
Теперь вычислим периметр:
$P = 2 \times (11 + 4,7) = 2 \times 15,7 = 31,4$ см.
Можно также выразить периметр в миллиметрах, переведя 11 см в 110 мм:
$P = 2 \times (110 + 47) = 2 \times 157 = 314$ мм.
Ответ: 31,4 см (или 314 мм).

г) Стороны прямоугольника даны в разных единицах: 17 см и 3 дм. Приведем их к одной единице измерения, сантиметрам. Зная, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$:
$3 \text{ дм} = 3 \times 10 \text{ см} = 30 \text{ см}$.
Теперь вычислим периметр:
$P = 2 \times (17 + 30) = 2 \times 47 = 94$ см.
Ответ: 94 см.