Страница 105 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

470. Стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см. Найдите сторону квадрата, имеющего такой же периметр, что и данный прямоугольник.

Чтобы решить задачу, сначала найдем периметр прямоугольника. Периметр прямоугольника ($P_{прямоуг}$) со сторонами $a$ и $b$ вычисляется по формуле:
$P_{прямоуг} = 2 \cdot (a + b)$
По условию, стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см. Подставим эти значения в формулу:
$P_{прямоуг} = 2 \cdot (16 + 12) = 2 \cdot 28 = 56$ см.
В задаче сказано, что периметр квадрата ($P_{кв}$) равен периметру прямоугольника. Следовательно:
$P_{кв} = P_{прямоуг} = 56$ см.
Периметр квадрата со стороной $s$ вычисляется по формуле:
$P_{кв} = 4 \cdot s$
Чтобы найти сторону квадрата $s$, нужно его периметр разделить на 4:
$s = \frac{P_{кв}}{4} = \frac{56}{4} = 14$ см.
Ответ: 14 см.

471. Сторону квадрата увеличили на 2 см. На сколько сантиметров увеличился периметр квадрата?

Периметр квадрата – это сумма длин всех его сторон. Поскольку у квадрата четыре одинаковые стороны, его периметр $P$ можно найти по формуле $P = 4 \times a$, где $a$ – длина стороны.

Чтобы найти, на сколько увеличился периметр, можно использовать два подхода.

1. Алгебраический подход

Пусть первоначальная длина стороны квадрата была $a$ см. Тогда его периметр, обозначим его $P_1$, был равен:
$P_1 = 4a$

После того как сторону увеличили на 2 см, новая длина стороны стала $(a + 2)$ см. Новый периметр, $P_2$, будет равен:
$P_2 = 4 \times (a + 2) = 4a + 8$

Чтобы найти, на сколько увеличился периметр, вычтем из нового периметра старый:
$P_2 - P_1 = (4a + 8) - 4a = 8$ см.

2. Логический подход

У квадрата 4 стороны. Если каждую сторону увеличили на 2 см, то общее увеличение длины всех сторон (периметра) будет в 4 раза больше, чем увеличение одной стороны.
$4 \times 2 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Оба способа показывают, что периметр увеличился на 8 см.

Ответ: 8 см.

472. Как изменится периметр квадрата, если его сторону:

а) увеличить в 2 раза;

б) уменьшить в 3 раза?

Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина его стороны. Это означает, что периметр прямо пропорционален длине стороны. Следовательно, во сколько раз изменяется сторона квадрата, во столько же раз изменится и его периметр.

а) увеличить в 2 раза;

Пусть первоначальная длина стороны квадрата равна $a$. Тогда его периметр $P_1 = 4a$.

Если сторону увеличить в 2 раза, то новая длина стороны станет $2a$.

Новый периметр $P_2$ будет равен $P_2 = 4 \cdot (2a) = 8a$.

Сравним новый периметр с первоначальным: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{8a}{4a} = 2$.

Таким образом, периметр увеличится в 2 раза.

Ответ: периметр увеличится в 2 раза.

б) уменьшить в 3 раза?

Пусть первоначальная длина стороны квадрата равна $a$. Тогда его периметр $P_1 = 4a$.

Если сторону уменьшить в 3 раза, то новая длина стороны станет $\frac{a}{3}$.

Новый периметр $P_2$ будет равен $P_2 = 4 \cdot (\frac{a}{3}) = \frac{4a}{3}$.

Сравним первоначальный периметр с новым: $\frac{P_1}{P_2} = \frac{4a}{\frac{4a}{3}} = 4a \cdot \frac{3}{4a} = 3$.

Таким образом, периметр уменьшится в 3 раза.

Ответ: периметр уменьшится в 3 раза.

473. Убедитесь, что на рисунке 95, а изображено 18 прямоугольников. Учтите, что квадрат является прямоугольником. Сколько прямоугольников изображено на рисунке 95, б?

а) б) Рис. 95

Чтобы посчитать общее количество прямоугольников на рисунке 95, а, который представляет собой сетку 3x2, можно воспользоваться комбинаторным методом. Любой прямоугольник в сетке образуется пересечением двух горизонтальных и двух вертикальных линий.

На рисунке 95, а, мы имеем 3 строки и 2 столбца. Это означает, что есть $3+1=4$ горизонтальные линии и $2+1=3$ вертикальные линии.

Количество способов выбрать 2 горизонтальные линии из 4 равно числу сочетаний из 4 по 2:

$C_{4}^{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$

Количество способов выбрать 2 вертикальные линии из 3 равно числу сочетаний из 3 по 2:

$C_{3}^{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$

Чтобы найти общее количество прямоугольников, нужно перемножить эти значения:

$N_a = C_{4}^{2} \times C_{3}^{2} = 6 \times 3 = 18$

Таким образом, мы убедились, что на рисунке 95, а, изображено 18 прямоугольников.

Ответ: 18.

Для подсчета количества прямоугольников на рисунке 95, б, который представляет собой сетку 4x2, применим тот же подход.

На этом рисунке 4 строки и 2 столбца. Следовательно, здесь $4+1=5$ горизонтальных линий и $2+1=3$ вертикальные линии.

Количество способов выбрать 2 горизонтальные линии из 5:

$C_{5}^{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

Количество способов выбрать 2 вертикальные линии из 3, как и в предыдущем случае, равно 3:

$C_{3}^{2} = 3$

Общее количество прямоугольников на рисунке 95, б, равно произведению этих двух чисел:

$N_б = C_{5}^{2} \times C_{3}^{2} = 10 \times 3 = 30$

Ответ: на рисунке 95, б, изображено 30 прямоугольников.

474. Четырёхугольник, все стороны которого равны, называют ромбом. На рисунке 96 изображены ромбы ABCD и MNKL. Измерьте их стороны и вычислите периметры.

Рис. 96

Ромб MNKL

Сначала найдем периметр ромба MNKL. Его стороны расположены вдоль линий сетки. Измерим одну из сторон, например, NK. Ее длина составляет 4 клетки. Для выполнения расчетов примем, что сторона одной клетки на рисунке равна 0,5 см. Тогда длина стороны ромба MNKL будет:

$a_{MNKL} = 4 \times 0,5 \text{ см} = 2 \text{ см}$

Периметр ромба ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Так как у ромба все четыре стороны равны, его периметр вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина стороны.

$P_{MNKL} = 4 \times 2 \text{ см} = 8 \text{ см}$

Ответ: Сторона ромба MNKL равна 2 см, периметр — 8 см.

Ромб ABCD

Теперь найдем периметр ромба ABCD. Стороны этого ромба не лежат на линиях сетки. Чтобы найти их длину, можно измерить их линейкой или вычислить с помощью теоремы Пифагора.

При измерении линейкой сторона AB будет примерно равна 1,4 см (при условии, что сторона клетки 0,5 см).

Для более точного вычисления рассмотрим сторону AB как гипотенузу прямоугольного треугольника. Катеты этого треугольника идут вдоль линий сетки, и длина каждого из них равна 2 клеткам (или $2 \times 0,5 \text{ см} = 1 \text{ см}$). По теореме Пифагора:

$a_{ABCD} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ см} \approx 1,41 \text{ см}$

Результат измерения (1,4 см) достаточно точен. Теперь вычислим периметр ромба ABCD:

$P_{ABCD} = 4 \times a_{ABCD} \approx 4 \times 1,4 \text{ см} = 5,6 \text{ см}$

Ответ: Сторона ромба ABCD примерно равна 1,4 см, периметр — примерно 5,6 см.

475. а) Чему равен периметр ромба, если одна его сторона равна 20 см?

б) Чему равна сторона ромба, если его периметр равен 20 см?

а) Чему равен периметр ромба, если одна его сторона равна 20 см?

Ромб — это четырехугольник, у которого все четыре стороны равны по длине. Периметр ($P$) фигуры — это сумма длин всех ее сторон. Если длина одной стороны ромба равна $a$, то его периметр вычисляется по формуле:

$P = a + a + a + a = 4a$

По условию задачи, сторона ромба $a = 20$ см. Подставим это значение в формулу:

$P = 4 \times 20 \text{ см} = 80 \text{ см}$

Ответ: 80 см.

б) Чему равна сторона ромба, если его периметр равен 20 см?

Мы знаем, что периметр ромба ($P$) связан с его стороной ($a$) формулой $P = 4a$. В этой задаче нам известен периметр, и нужно найти длину стороны. Для этого выразим сторону $a$ из формулы периметра:

$a = \frac{P}{4}$

По условию, периметр ромба $P = 20$ см. Подставим это значение в нашу новую формулу:

$a = \frac{20 \text{ см}}{4} = 5 \text{ см}$

Ответ: 5 см.

476. Постройте ромб $KLMN$, если $KL = 4$ см, $\angle K = 60^\circ$. Измерьте длину отрезка $LN$ и величину угла $L$.

Построение ромба KLMN

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Построение выполняется в следующей последовательности:

1. Начертите отрезок $KL$ длиной 4 см.
2. От точки $K$ с помощью транспортира отложите угол, равный $60^\circ$.
3. На луче, образующем этот угол, отложите отрезок $KN$ длиной 4 см (так как все стороны ромба равны).
4. Из точки $N$ проведите дугу окружности радиусом 4 см.
5. Из точки $L$ проведите дугу окружности радиусом 4 см до пересечения с первой дугой. Точка пересечения будет вершиной $M$.
6. Соедините точки $L$ и $M$, а также $N$ и $M$. Ромб $KLMN$ построен.

Измерение длины отрезка LN

Рассмотрим треугольник $KLN$. Поскольку $KLMN$ — ромб, все его стороны равны. Следовательно, $KL = KN = 4$ см. Это означает, что треугольник $KLN$ является равнобедренным. Угол при вершине $K$ по условию равен $60^\circ$. Углы при основании $LN$ в равнобедренном треугольнике равны:

$\angle KLN = \angle KNL = (180^\circ - \angle K) / 2 = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Так как все три угла треугольника $KLN$ равны $60^\circ$, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому длина отрезка (диагонали ромба) $LN$ равна длине его сторон.

$LN = KL = KN = 4$ см.

Ответ: $LN = 4$ см.

Измерение величины угла L

В ромбе, как и в любом параллелограмме, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Углы $K$ и $L$ прилежат к стороне $KL$.

Следовательно, $\angle K + \angle L = 180^\circ$.

Отсюда можно найти величину угла $L$:

$\angle L = 180^\circ - \angle K = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $\angle L = 120^\circ$.

477. Периметр треугольника $ABD$ равен 12 см, периметр треугольника $BDC$ — 30 см, а периметр четырёхугольника $ABCD$ — 32 см (рис. 97). Определите длину отрезка $BD$.

Рис. 97

Периметр — это сумма длин всех сторон фигуры.

Периметр треугольника $ABD$ ($P_{ABD}$) равен сумме длин его сторон: $P_{ABD} = AB + AD + BD$.

Периметр треугольника $BDC$ ($P_{BDC}$) равен сумме длин его сторон: $P_{BDC} = BC + CD + BD$.

Периметр четырехугольника $ABCD$ ($P_{ABCD}$) равен сумме длин его внешних сторон: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$.

По условию задачи известны следующие значения:

$P_{ABD} = 12$ см;

$P_{BDC} = 30$ см;

$P_{ABCD} = 32$ см.

Если сложить периметры двух треугольников, $ABD$ и $BDC$, то мы получим сумму длин всех сторон четырехугольника $ABCD$ и удвоенную длину общего отрезка $BD$.

Запишем это в виде уравнения:

$P_{ABD} + P_{BDC} = (AB + AD + BD) + (BC + CD + BD)$

Сгруппируем слагаемые:

$P_{ABD} + P_{BDC} = (AB + BC + CD + AD) + 2 \cdot BD$

Поскольку выражение в скобках является периметром четырехугольника $ABCD$, можно записать:

$P_{ABD} + P_{BDC} = P_{ABCD} + 2 \cdot BD$

Чтобы найти длину отрезка $BD$, выразим ее из полученного уравнения:

$2 \cdot BD = (P_{ABD} + P_{BDC}) - P_{ABCD}$

Подставим известные значения периметров:

$2 \cdot BD = (12 + 30) - 32$

$2 \cdot BD = 42 - 32$

$2 \cdot BD = 10$

$BD = \frac{10}{2}$

$BD = 5$ см

Ответ: 5 см.