Страница 108 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

480. a) Определите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см.

б) Определите площадь квадрата со стороной 6 см.

а) Определите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле произведения длин его смежных сторон: $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ – это длины сторон. Согласно условию задачи, стороны прямоугольника равны $a = 4$ см и $b = 5$ см. Подставим эти значения в формулу: $S = 4 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 20 \text{ см}^2$.

Ответ: 20 см².

б) Определите площадь квадрата со стороной 6 см.

Площадь квадрата ($S$) вычисляется как квадрат длины его стороны. Формула для вычисления площади: $S = a^2$, где $a$ – это длина стороны. Согласно условию задачи, сторона квадрата равна $a = 6$ см. Подставим это значение в формулу: $S = (6 \text{ см})^2 = 6 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 36 \text{ см}^2$.

Ответ: 36 см².

481. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы:

1 мм | 1 см | 1 дм | 1 м | 10 м | 100 м | 1 км

$1 \text{ мм}^2$ | $1 \text{ см}^2$ | $1 \text{ дм}^2$ | $1 \text{ м}^2$ | 1 а | 1 га | $1 \text{ км}^2$

а) Во сколько раз увеличиваются единицы площади, записанные во второй строке таблицы, при переходе слева направо на одну клетку?

б) Во сколько раз уменьшаются единицы площади, записанные во второй строке таблицы, при переходе справа налево на одну клетку?

в) Во сколько раз:

1) $1 \text{ см}^2$ больше $1 \text{ мм}^2$;

2) $1 \text{ дм}^2$ больше $1 \text{ см}^2$;

3) $1 \text{ дм}^2$ больше $1 \text{ мм}^2$;

4) $1 \text{ м}^2$ больше $1 \text{ дм}^2$;

5) $1 \text{ м}^2$ больше $1 \text{ см}^2$;

6) $1 \text{ м}^2$ больше $1 \text{ мм}^2$;

7) $1 \text{ а}$ больше $1 \text{ м}^2$;

8) $1 \text{ а}$ больше $1 \text{ дм}^2$;

9) $1 \text{ а}$ больше $1 \text{ см}^2$;

10) $1 \text{ га}$ больше $1 \text{ а}$;

11) $1 \text{ га}$ больше $1 \text{ м}^2$;

12) $1 \text{ га}$ больше $1 \text{ дм}^2$;

13) $1 \text{ км}^2$ больше $1 \text{ га}$;

14) $1 \text{ км}^2$ больше $1 \text{ а}$;

15) $1 \text{ км}^2$ больше $1 \text{ м}^2$;

16) $1 \text{ км}^2$ больше $1 \text{ дм}^2$?

а) Чтобы определить, во сколько раз увеличиваются единицы площади при переходе на одну клетку вправо, сравним соседние единицы из второй строки таблицы:

• $1 \text{ см}^2 = 100 \text{ мм}^2$
• $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$
• $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2$
• $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$
• $1 \text{ га} = 100 \text{ а}$
• $1 \text{ км}^2 = 100 \text{ га}$

Каждая следующая единица площади в 100 раз больше предыдущей. Ответ: в 100 раз.

б) Переход справа налево является обратной операцией к переходу слева направо. Если при движении вправо величина увеличивается в 100 раз, то при движении влево она будет уменьшаться в 100 раз. Ответ: в 100 раз.

в)

1) Так как $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, то $1 \text{ см}^2 = (10 \text{ мм})^2 = 100 \text{ мм}^2$. Ответ: в 100 раз.

2) Так как $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, то $1 \text{ дм}^2 = (10 \text{ см})^2 = 100 \text{ см}^2$. Ответ: в 100 раз.

3) Так как $1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$, то $1 \text{ дм}^2 = (100 \text{ мм})^2 = 10 000 \text{ мм}^2$. Ответ: в 10 000 раз.

4) Так как $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, то $1 \text{ м}^2 = (10 \text{ дм})^2 = 100 \text{ дм}^2$. Ответ: в 100 раз.

5) Так как $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, то $1 \text{ м}^2 = (100 \text{ см})^2 = 10 000 \text{ см}^2$. Ответ: в 10 000 раз.

6) Так как $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$, то $1 \text{ м}^2 = (1000 \text{ мм})^2 = 1 000 000 \text{ мм}^2$. Ответ: в 1 000 000 раз.

7) 1 ар (сотка) равен площади квадрата со стороной 10 м, поэтому $1 \text{ а} = (10 \text{ м})^2 = 100 \text{ м}^2$. Ответ: в 100 раз.

8) $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2 = 100 \times (100 \text{ дм}^2) = 10 000 \text{ дм}^2$. Ответ: в 10 000 раз.

9) $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2 = 100 \times (10 000 \text{ см}^2) = 1 000 000 \text{ см}^2$. Ответ: в 1 000 000 раз.

10) 1 гектар равен 100 арам, то есть $1 \text{ га} = 100 \text{ а}$. Ответ: в 100 раз.

11) 1 гектар равен площади квадрата со стороной 100 м, поэтому $1 \text{ га} = (100 \text{ м})^2 = 10 000 \text{ м}^2$. Ответ: в 10 000 раз.

12) $1 \text{ га} = 10 000 \text{ м}^2 = 10 000 \times (100 \text{ дм}^2) = 1 000 000 \text{ дм}^2$. Ответ: в 1 000 000 раз.

13) Так как $1 \text{ км}^2 = 1 000 000 \text{ м}^2$ и $1 \text{ га} = 10 000 \text{ м}^2$, то $1 000 000 / 10 000 = 100$. Ответ: в 100 раз.

14) $1 \text{ км}^2 = 100 \text{ га} = 100 \times (100 \text{ а}) = 10 000 \text{ а}$. Ответ: в 10 000 раз.

15) Так как $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$, то $1 \text{ км}^2 = (1000 \text{ м})^2 = 1 000 000 \text{ м}^2$. Ответ: в 1 000 000 раз.

16) $1 \text{ км}^2 = 1 000 000 \text{ м}^2 = 1 000 000 \times (100 \text{ дм}^2) = 100 000 000 \text{ дм}^2$. Ответ: в 100 000 000 раз.

482. Сложите величины:

а) $\begin{array}{r}63 \text{ см}^2 \ 17 \text{ мм}^2 \\+ \ 32 \text{ см}^2 \ 90 \text{ мм}^2 \\\underline{\hspace{4em}}\end{array}$

б) $\begin{array}{r}3 \text{ м}^2 \ 76 \text{ дм}^2 \ 98 \text{ см}^2 \\+ \ 9 \text{ м}^2 \ 58 \text{ дм}^2 \ 43 \text{ см}^2 \\\underline{\hspace{7em}}\end{array}$

в) $\begin{array}{r}45 \text{ га } 72 \text{ а} \\+ \ 56 \text{ га } 55 \text{ а} \\\underline{\hspace{4em}}\end{array}$

г) $\begin{array}{r}32 \text{ а } 74 \text{ м}^2 \ 21 \text{ дм}^2 \\+ \ 48 \text{ а } 62 \text{ м}^2 \ 83 \text{ дм}^2 \\\underline{\hspace{7em}}\end{array}$

а) Чтобы сложить $63 \text{ см}^2 17 \text{ мм}^2$ и $32 \text{ см}^2 90 \text{ мм}^2$, нужно сложить величины в одинаковых единицах измерения.

Сначала сложим квадратные миллиметры:
$17 \text{ мм}^2 + 90 \text{ мм}^2 = 107 \text{ мм}^2$.

Затем сложим квадратные сантиметры:
$63 \text{ см}^2 + 32 \text{ см}^2 = 95 \text{ см}^2$.

В результате получаем $95 \text{ см}^2 107 \text{ мм}^2$.

Поскольку $1 \text{ см}^2 = 100 \text{ мм}^2$, мы можем преобразовать $107 \text{ мм}^2$ в более крупные единицы.
$107 \text{ мм}^2 = 100 \text{ мм}^2 + 7 \text{ мм}^2 = 1 \text{ см}^2 7 \text{ мм}^2$.

Теперь прибавим полученный $1 \text{ см}^2$ к имеющимся сантиметрам:
$95 \text{ см}^2 + 1 \text{ см}^2 = 96 \text{ см}^2$.

Итоговый результат: $96 \text{ см}^2$ и $7 \text{ мм}^2$.

Ответ: $96 \text{ см}^2 7 \text{ мм}^2$.

б) Чтобы сложить $3 \text{ м}^2 76 \text{ дм}^2 98 \text{ см}^2$ и $9 \text{ м}^2 58 \text{ дм}^2 43 \text{ см}^2$, сложим отдельно метры, дециметры и сантиметры.

Складываем квадратные сантиметры: $98 \text{ см}^2 + 43 \text{ см}^2 = 141 \text{ см}^2$.
Складываем квадратные дециметры: $76 \text{ дм}^2 + 58 \text{ дм}^2 = 134 \text{ дм}^2$.
Складываем квадратные метры: $3 \text{ м}^2 + 9 \text{ м}^2 = 12 \text{ м}^2$.

Получаем $12 \text{ м}^2 134 \text{ дм}^2 141 \text{ см}^2$.

Теперь преобразуем меньшие единицы в большие. Знаем, что $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$.
$141 \text{ см}^2 = 100 \text{ см}^2 + 41 \text{ см}^2 = 1 \text{ дм}^2 41 \text{ см}^2$.
Добавляем $1 \text{ дм}^2$ к $134 \text{ дм}^2$: $134 \text{ дм}^2 + 1 \text{ дм}^2 = 135 \text{ дм}^2$.
Теперь у нас $12 \text{ м}^2 135 \text{ дм}^2 41 \text{ см}^2$.

Далее, $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2$.
$135 \text{ дм}^2 = 100 \text{ дм}^2 + 35 \text{ дм}^2 = 1 \text{ м}^2 35 \text{ дм}^2$.
Добавляем $1 \text{ м}^2$ к $12 \text{ м}^2$: $12 \text{ м}^2 + 1 \text{ м}^2 = 13 \text{ м}^2$.

Итоговый результат: $13 \text{ м}^2 35 \text{ дм}^2 41 \text{ см}^2$.

Ответ: $13 \text{ м}^2 35 \text{ дм}^2 41 \text{ см}^2$.

в) Чтобы сложить $45 \text{ га } 72 \text{ а}$ и $56 \text{ га } 55 \text{ а}$, сложим отдельно гектары и ары.

Складываем ары: $72 \text{ а} + 55 \text{ а} = 127 \text{ а}$.
Складываем гектары: $45 \text{ га} + 56 \text{ га} = 101 \text{ га}$.

Получаем $101 \text{ га } 127 \text{ а}$.

Так как $1 \text{ га} = 100 \text{ а}$, преобразуем ары в гектары.
$127 \text{ а} = 100 \text{ а} + 27 \text{ а} = 1 \text{ га } 27 \text{ а}$.

Добавляем $1 \text{ га}$ к $101 \text{ га}$: $101 \text{ га} + 1 \text{ га} = 102 \text{ га}$.

Итоговый результат: $102 \text{ га } 27 \text{ а}$.

Ответ: $102 \text{ га } 27 \text{ а}$.

г) Чтобы сложить $32 \text{ а } 74 \text{ м}^2 21 \text{ дм}^2$ и $48 \text{ а } 62 \text{ м}^2 83 \text{ дм}^2$, сложим величины в одинаковых единицах.

Складываем квадратные дециметры: $21 \text{ дм}^2 + 83 \text{ дм}^2 = 104 \text{ дм}^2$.
Складываем квадратные метры: $74 \text{ м}^2 + 62 \text{ м}^2 = 136 \text{ м}^2$.
Складываем ары: $32 \text{ а} + 48 \text{ а} = 80 \text{ а}$.

Получаем $80 \text{ а } 136 \text{ м}^2 104 \text{ дм}^2$.

Преобразуем меньшие единицы в большие. Знаем, что $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2$.
$104 \text{ дм}^2 = 100 \text{ дм}^2 + 4 \text{ дм}^2 = 1 \text{ м}^2 4 \text{ дм}^2$.
Добавляем $1 \text{ м}^2$ к $136 \text{ м}^2$: $136 \text{ м}^2 + 1 \text{ м}^2 = 137 \text{ м}^2$.
Теперь у нас $80 \text{ а } 137 \text{ м}^2 4 \text{ дм}^2$.

Далее, $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$.
$137 \text{ м}^2 = 100 \text{ м}^2 + 37 \text{ м}^2 = 1 \text{ а } 37 \text{ м}^2$.
Добавляем $1 \text{ а}$ к $80 \text{ а}$: $80 \text{ а} + 1 \text{ а} = 81 \text{ а}$.

Итоговый результат: $81 \text{ а } 37 \text{ м}^2 4 \text{ дм}^2$.

Ответ: $81 \text{ а } 37 \text{ м}^2 4 \text{ дм}^2$.

483. Квадрат со стороной 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 дм и сложили полученные квадраты в ряд. Какой длины получился ряд?

Для решения задачи сначала необходимо привести все размеры к одной единице измерения. Удобнее всего перевести метры в дециметры.

1. Перевод единиц измерения.

Сторона большого квадрата равна 1 м. В одном метре содержится 10 дециметров:

$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$

Значит, сторона большого квадрата равна 10 дм.

2. Определение количества маленьких квадратов.

Большой квадрат разрезали на маленькие квадраты со стороной 1 дм. Чтобы найти, сколько маленьких квадратов получилось, можно вычислить, сколько их помещается вдоль одной стороны большого квадрата, а затем возвести это число в квадрат (так как фигура – квадрат).

Количество квадратов вдоль одной стороны: $10 \text{ дм} / 1 \text{ дм} = 10$ штук.

Общее количество маленьких квадратов: $10 \times 10 = 100$ штук.

Альтернативно, можно найти количество через площадь:

Площадь большого квадрата: $S_{большого} = 10 \text{ дм} \times 10 \text{ дм} = 100 \text{ дм}^2$.

Площадь одного маленького квадрата: $S_{маленького} = 1 \text{ дм} \times 1 \text{ дм} = 1 \text{ дм}^2$.

Общее количество квадратов: $N = \frac{S_{большого}}{S_{маленького}} = \frac{100 \text{ дм}^2}{1 \text{ дм}^2} = 100$ штук.

3. Вычисление длины ряда.

Все 100 полученных квадратов сложили в один ряд. Длина стороны каждого такого квадрата составляет 1 дм. Следовательно, общая длина ряда будет равна сумме длин сторон всех квадратов в ряду.

Длина ряда: $L = 100 \text{ квадратов} \times 1 \text{ дм/квадрат} = 100 \text{ дм}$.

Для удобства можно перевести результат обратно в метры:

$100 \text{ дм} = 10 \text{ м}$.

Ответ: 10 м.

484. Если квадрат со стороной 1 м разрезать на квадраты со стороной 1 см и сложить полученные квадраты в ряд, то какой длины получится ряд?

Для решения этой задачи необходимо сначала определить, сколько маленьких квадратов получится из одного большого.

1. Переведем длину стороны большого квадрата в сантиметры. В одном метре 100 сантиметров:

$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$

2. Теперь найдем площадь большого квадрата. Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина его стороны.

$S_{большого} = 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 10000 \text{ см}^2$

3. Вычислим площадь одного маленького квадрата со стороной 1 см:

$S_{маленького} = 1 \text{ см} \times 1 \text{ см} = 1 \text{ см}^2$

4. Чтобы найти, сколько маленьких квадратов получится, нужно разделить площадь большого квадрата на площадь маленького:

$N = \frac{S_{большого}}{S_{маленького}} = \frac{10000 \text{ см}^2}{1 \text{ см}^2} = 10000 \text{ квадратов}$

5. Полученные 10 000 квадратов со стороной 1 см складывают в один ряд. Длина такого ряда будет равна произведению количества квадратов на длину стороны одного квадрата:

$L = 10000 \times 1 \text{ см} = 10000 \text{ см}$

6. Для удобства переведем результат в метры:

$10000 \text{ см} = \frac{10000}{100} \text{ м} = 100 \text{ м}$

Ответ: 100 м.

485. Во сколько раз 18 гектаров больше 8 соток?

Чтобы определить, во сколько раз одна величина больше другой, необходимо привести их к одинаковым единицам измерения, а затем разделить большую величину на меньшую.

Вспомним соотношение между гектарами и сотками. Сотка (или ар) — это площадь квадрата со стороной 10 метров, то есть 100 квадратных метров. Гектар — это площадь квадрата со стороной 100 метров, то есть 10 000 квадратных метров.

Таким образом, в одном гектаре содержится 100 соток:

$1 \text{ гектар (га)} = 100 \text{ соток (ар)}$

1. Переведем 18 гектаров в сотки.

Для этого умножим количество гектаров на 100:

$18 \text{ га} = 18 \times 100 \text{ соток} = 1800 \text{ соток}$

2. Найдем отношение полученной величины к 8 соткам.

Разделим 1800 соток на 8 соток:

$\frac{1800}{8} = 225$

Следовательно, 18 гектаров больше 8 соток в 225 раз.

Ответ: в 225 раз.

486. Сад имеет форму прямоугольника со сторонами 500 м и 400 м. Выразите его площадь в квадратных метрах; в арах; в гектарах.

в квадратных метрах
Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле произведения его сторон: $S = a \cdot b$. В данном случае стороны сада равны 500 м и 400 м. Подставим эти значения в формулу: $S = 500 \, \text{м} \cdot 400 \, \text{м} = 200\,000 \, \text{м}^2$.
Ответ: $200\,000 \, \text{м}^2$.

в арах
Для перевода площади из квадратных метров в ары воспользуемся соотношением: $1 \, \text{ар} = 100 \, \text{м}^2$. Разделим площадь в квадратных метрах на 100: $200\,000 \, \text{м}^2 / 100 = 2\,000 \, \text{ар}$.
Ответ: $2\,000 \, \text{ар}$.

в гектарах
Для перевода площади из квадратных метров в гектары воспользуемся соотношением: $1 \, \text{га} = 10\,000 \, \text{м}^2$. Разделим площадь в квадратных метрах на 10 000: $200\,000 \, \text{м}^2 / 10\,000 = 20 \, \text{га}$. Также можно было перевести ары в гектары, зная, что $1 \, \text{га} = 100 \, \text{ар}$: $2\,000 \, \text{ар} / 100 = 20 \, \text{га}$.
Ответ: $20 \, \text{га}$.