Страница 110 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

494. На рисунке 101 изображён прямоугольный параллелепипед. Назовите его грани, рёбра и вершины.

$A$, $B$, $C$, $D$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$

длина

ширина

высота

Рис. 101

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это объемная фигура, у которой шесть граней, и все они являются прямоугольниками.

Грани

Грань — это плоская поверхность, ограничивающая геометрическое тело. У прямоугольного параллелепипеда 6 граней.
- Две грани основания: нижняя грань $ABCD$ и верхняя грань $A_1B_1C_1D_1$.
- Четыре боковые грани: передняя $AA_1B_1B$, задняя $DD_1C_1C$, левая $AA_1D_1D$ и правая $BB_1C_1C$.
Ответ: Гранями параллелепипеда являются прямоугольники $ABCD$, $A_1B_1C_1D_1$, $AA_1B_1B$, $DD_1C_1C$, $AA_1D_1D$, $BB_1C_1C$.

Рёбра

Ребро — это отрезок, по которому пересекаются две грани. У прямоугольного параллелепипеда 12 рёбер.
- Рёбра нижнего основания: $AB, BC, CD, DA$.
- Рёбра верхнего основания: $A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1A_1$.
- Боковые рёбра, соединяющие основания: $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$.
Ответ: Рёбрами параллелепипеда являются отрезки $AB, BC, CD, DA, A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1A_1, AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$.

Вершины

Вершина — это точка, в которой сходятся рёбра. У прямоугольного параллелепипеда 8 вершин.
- Вершины нижнего основания: $A, B, C, D$.
- Вершины верхнего основания: $A_1, B_1, C_1, D_1$.
Ответ: Вершинами параллелепипеда являются точки $A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1$.

495. Сколько у прямоугольного параллелепипеда граней, рёбер и вершин?

Прямоугольный параллелепипед — это объемная геометрическая фигура, все грани которой являются прямоугольниками. Давайте посчитаем количество его основных элементов.

Граней

Грани — это плоские многоугольники (в данном случае, прямоугольники), которые образуют поверхность параллелепипеда. У него есть:

• 2 основания (верхнее и нижнее).
• 4 боковые грани (передняя, задняя, левая и правая).

Всего получается $2 + 4 = 6$ граней.

Ответ: 6.

Рёбер

Рёбра — это отрезки, которые являются общими сторонами для двух смежных граней. Их можно посчитать так:

• 4 ребра у верхнего основания.
• 4 ребра у нижнего основания.
• 4 боковых ребра, которые соединяют вершины верхнего и нижнего оснований.

Суммируя, получаем $4 + 4 + 4 = 12$ рёбер.

Ответ: 12.

Вершин

Вершины — это точки, в которых сходятся три ребра (и три грани). Это "углы" параллелепипеда.

• 4 вершины принадлежат верхнему основанию.
• 4 вершины принадлежат нижнему основанию.

Всего у параллелепипеда $4 + 4 = 8$ вершин.

Ответ: 8.

Для справки: эти числа связаны между собой формулой Эйлера для многогранников: $В - Р + Г = 2$, где $В$ — число вершин, $Р$ — число рёбер, $Г$ — число граней. Для прямоугольного параллелепипеда: $8 - 12 + 6 = 2$. Равенство выполняется.

496. a) Что называют кубом?

б) Является ли любой прямоугольный параллелепипед кубом? Является ли любой куб прямоугольным параллелепипедом?

а) Что называют кубом?

Кубом называют прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения (длина, ширина и высота) равны между собой. Это означает, что все его шесть граней являются равными квадратами, а все двенадцать рёбер имеют одинаковую длину. Если длина ребра куба равна $a$, то все его рёбра равны $a$.

Ответ: Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны.

б) Является ли любой прямоугольный параллелепипед кубом? Является ли любой куб прямоугольным параллелепипедом?

Является ли любой прямоугольный параллелепипед кубом?
Нет, не любой. Прямоугольный параллелепипед является кубом только в том частном случае, когда все три его измерения равны. Если, например, длина, ширина и высота параллелепипеда равны $3$ см, $4$ см и $5$ см соответственно, то он не является кубом.

Является ли любой куб прямоугольным параллелепипедом?
Да, любой. Куб полностью соответствует определению прямоугольного параллелепипеда, так как все его грани являются прямоугольниками (квадрат — это частный случай прямоугольника), а все двугранные углы прямые. Таким образом, куб — это частный случай прямоугольного параллелепипеда.

Ответ: Не любой прямоугольный параллелепипед является кубом. Любой куб является прямоугольным параллелепипедом.

497. Выполните в тетради рисунок прямоугольного параллелепипеда. Обозначьте его вершины буквами.

Чтобы выполнить рисунок прямоугольного параллелепипеда и обозначить его вершины, можно следовать этому плану:

1. Начните с изображения нижнего основания. В пространстве это прямоугольник, но на плоскости для создания перспективы его рисуют в виде параллелограмма. Обозначьте его вершины, например, $A$, $B$, $C$, $D$.
2. Из каждой вершины основания ($A$, $B$, $C$, $D$) проведите вверх равные и параллельные друг другу отрезки. Это боковые ребра параллелепипеда.
3. Соедините верхние концы этих отрезков. Вы получите верхнее основание, которое также является параллелограммом, равным нижнему. Обозначьте новые вершины соответственно $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$.
4. Чтобы рисунок был наглядным, ребра, которые не видны зрителю (скрытые ребра), изображают штриховыми линиями.

Пример выполненного рисунка:

В данном примере прямоугольный параллелепипед обозначен как $ABCDA_1B_1C_1D_1$. $ABCD$ – нижнее основание, $A_1B_1C_1D_1$ – верхнее основание, а $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$ – боковые ребра.

Ответ: Рисунок прямоугольного параллелепипеда с обозначенными вершинами представлен выше.

498. Постройте развёртку куба со стороной 2 см.

Развёртка куба — это плоская фигура, из которой можно сложить объёмный куб. Она состоит из шести одинаковых квадратов, так как у куба шесть квадратных граней. По условию задачи, ребро куба равно 2 см, значит, и сторона каждого квадрата в развёртке также будет равна 2 см. Всего существует 11 различных видов развёрток куба. Для построения мы выберем одну из самых распространённых — крестообразную.

Для построения развёртки с помощью карандаша и линейки нужно выполнить следующие действия.

Сначала начертите четыре квадрата со стороной 2 см, расположив их в один вертикальный столбец. Для удобства можно начертить прямоугольник размером $2 \text{ см} \times 8 \text{ см}$ (так как $4 \times 2 \text{ см} = 8 \text{ см}$) и затем разделить его тремя горизонтальными линиями на четыре равных квадрата. Эти квадраты станут передней, верхней, задней и нижней гранями будущего куба.

Затем выберите один из центральных квадратов в этом столбце (например, второй сверху). К его левой стороне пристройте ещё один квадрат со стороной 2 см. Это будет левая боковая грань.

Наконец, к правой стороне того же центрального квадрата пристройте последний, шестой квадрат со стороной 2 см, который станет правой боковой гранью.

В результате у вас получится фигура, состоящая из шести квадратов и по форме напоминающая крест. Если вырезать её по контуру и согнуть по внутренним линиям, получится модель куба со стороной 2 см.

Ответ: Построена развёртка куба, которая представляет собой фигуру из шести соединённых квадратов со стороной 2 см. Четыре квадрата расположены в один ряд, а два других примыкают по бокам к одному из центральных квадратов этого ряда.

499. Постройте развёртку спичечного коробка на альбомном листе в натуральную величину. Вырежьте её, оставляя в нужных местах припуски для склеивания. Склейте прямоугольный параллелепипед.

Данное задание является практической работой по созданию объёмной модели — прямоугольного параллелепипеда, имитирующего спичечный коробок. Для его выполнения необходимо последовательно выполнить шаги по построению развёртки, её вырезанию и склеиванию.

Подготовительный этап

Прежде чем начать, подготовьте следующие материалы и инструменты:

• Лист плотной бумаги или тонкого картона (например, альбомный лист).
• Карандаш и ластик.
• Линейка с миллиметровыми делениями.
• Ножницы.
• Клей для бумаги (ПВА или клей-карандаш).

Мы будем использовать стандартные, но удобные для измерения размеры спичечного коробка:

• Длина ($a$): $50$ мм ($5$ см)
• Ширина ($b$): $35$ мм ($3.5$ см)
• Высота ($c$): $15$ мм ($1.5$ см)

Постройте развёртку спичечного коробка на альбомном листе в натуральную величину

Развёртка — это плоский шаблон, из которого можно сложить объёмную фигуру. Следуйте этим шагам, чтобы аккуратно начертить её.

1. Центральная часть (основание и боковые стенки). Начните с построения фигуры в виде креста. В центре начертите прямоугольник — основание коробка. Его размеры $a \times b$ ($50 \times 35$ мм).

2. К каждой стороне основания причертите по одной стенке:

   • К двум длинным сторонам (длиной $a=50$ мм) причертите переднюю и заднюю стенки. Это будут два прямоугольника размером $a \times c$ ($50 \times 15$ мм).
   • К двум коротким сторонам (длиной $b=35$ мм) причертите левую и правую стенки. Это будут два прямоугольника размером $b \times c$ ($35 \times 15$ мм).

3. Крышка. К свободной стороне передней стенки причертите ещё один прямоугольник размером $a \times b$ ($50 \times 35$ мм). Это будет крышка коробка.

4. Припуски для склеивания. Нарисуйте клапаны для склейки шириной около 5–7 мм. Их удобнее всего расположить так:

   • На боковых сторонах передней и задней стенок (всего 4 клапана).
   • На трёх свободных сторонах крышки (на двух коротких и одной длинной).

Ниже приведена схема готовой развёртки. Сплошные линии обозначают места, где нужно резать, а пунктирные — места сгибов. Серым цветом показаны припуски для склеивания.

Ответ: Результатом этого этапа является аккуратно начерченная на листе бумаги развёртка прямоугольного параллелепипеда в натуральную величину, с нанесёнными линиями сгиба и припусками для склеивания.

Вырежьте её, оставляя в нужных местах припуски для склеивания

На этом этапе вам понадобятся ножницы. Аккуратно вырежьте развёртку по внешнему контуру, включая все клапаны для склеивания. Резать нужно только по сплошным внешним линиям. Не разрезайте по пунктирным линиям — это линии для сгиба.

Ответ: Результатом этого этапа является плоская бумажная заготовка, полностью готовая к сборке.

Склейте прямоугольный параллелепипед

Это заключительный этап, требующий аккуратности.

1. Сгибание. Согните заготовку по всем пунктирным линиям. Чтобы сгибы получились ровными, можно предварительно продавить их (провести по линии сгиба под линейку тупым предметом, например, непишущей ручкой).

2. Сборка. Нанесите клей на припуски (клапаны).

   • Сначала сформируйте "коробку" без крышки, приклеивая боковые стенки к передней и задней с помощью их клапанов. Припуски должны находиться внутри коробки.
   • Дайте клею немного схватиться.
   • Закройте коробку, приклеив крышку к боковым и задней стенкам с помощью оставшихся клапанов.

3. Завершение. Плотно прижмите склеенные части на несколько секунд. После высыхания клея у вас получится готовая модель спичечного коробка.

Ответ: Результатом выполнения задания является готовая объёмная модель прямоугольного параллелепипеда, склеенная из бумажной развёртки.