Страница 114 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

509. а) Какой куб называют единичным?

б) Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда?

в) Чему равен объём куба?

г) Какие единицы измерения объёмов вы знаете?

а) Какой куб называют единичным?

Единичным называют куб, длина ребра которого равна одной единице измерения длины (например, 1 сантиметр, 1 метр, 1 дециметр). Объём такого куба, соответственно, равен одной кубической единице (1 см³, 1 м³, 1 дм³). Единичный куб используется как эталон для измерения объёмов геометрических тел.

Ответ: Куб, ребро которого равно единице длины.

б) Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда?

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений — длины, ширины и высоты. Если обозначить его измерения буквами $a$, $b$ и $c$, то формула для вычисления объёма $V$ будет следующей:

$V = a \cdot b \cdot c$

Также объём прямоугольного параллелепипеда можно найти, умножив площадь его основания ($S_{осн}$) на высоту ($c$).

$V = S_{осн} \cdot c$

Ответ: Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

в) Чему равен объём куба?

Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны. Если длина ребра куба равна $a$, то его объём $V$ равен произведению трёх одинаковых рёбер, то есть третьей степени (кубу) длины его ребра.

$V = a \cdot a \cdot a = a^3$

Ответ: Объём куба равен кубу длины его ребра.

г) Какие единицы измерения объёмов вы знаете?

Существуют различные единицы измерения объёма. В Международной системе единиц (СИ) и в повседневной жизни наиболее часто используются:

1. Кубические единицы, производные от единиц длины: кубический миллиметр (мм³), кубический сантиметр (см³), кубический дециметр (дм³), кубический метр (м³), кубический километр (км³).

2. Внесистемные единицы, часто используемые для измерения объёма жидкостей и сыпучих тел: литр (л) и миллилитр (мл). При этом установлены следующие соотношения: $1 \text{ л} = 1 \text{ дм}^3$ и $1 \text{ мл} = 1 \text{ см}^3$.

В некоторых странах также используются свои традиционные единицы: галлон, баррель, бушель, пинта, кубический дюйм, кубический фут.

Ответ: Кубический сантиметр (см³), кубический метр (м³), литр (л), миллилитр (мл).

510. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы:

$1 \text{ мм}$, $1 \text{ см}$, $1 \text{ дм}$, $1 \text{ м}$, $10 \text{ м}$, $100 \text{ м}$, $1 \text{ км}$

$1 \text{ мм}^2$, $1 \text{ см}^2$, $1 \text{ дм}^2$, $1 \text{ м}^2$, $1 \text{ а}$, $1 \text{ га}$, $1 \text{ км}^2$

$1 \text{ мм}^3$, $1 \text{ см}^3$, $1 \text{ дм}^3$, $1 \text{ м}^3$, $1000 \text{ м}^3$, $1\,000\,000 \text{ м}^3$, $1 \text{ км}^3$

а) Во сколько раз увеличиваются единицы объёма, записанные в третьей строке таблицы, при переходе слева направо на одну клетку?

б) Во сколько раз уменьшаются единицы объёма при переходе справа налево на одну клетку?

в) Во сколько раз:

1) $1 \text{ см}^3$ больше $1 \text{ мм}^3$;

2) $1 \text{ дм}^3$ больше $1 \text{ см}^3$;

3) $1 \text{ дм}^3$ больше $1 \text{ мм}^3$;

4) $1 \text{ м}^3$ больше $1 \text{ дм}^3$;

5) $1 \text{ м}^3$ больше $1 \text{ см}^3$;

6) $1 \text{ км}^3$ больше $1 \text{ м}^3$?

Рассмотрим третью строку таблицы, где указаны единицы объёма. Чтобы определить, во сколько раз они увеличиваются при переходе на одну клетку слева направо, нужно найти соотношение между соседними значениями. Так как единицы объёма являются кубами соответствующих единиц длины (из первой строки), а соотношение между соседними линейными единицами (мм, см, дм, м) равно 10, то соотношение между их кубами будет $10^3 = 1000$.

Проверим это для всех переходов:

• $1 \text{ см}^3 = (10 \text{ мм})^3 = 1000 \text{ мм}^3$. Увеличение в 1000 раз.
• $1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3$. Увеличение в 1000 раз.
• $1 \text{ м}^3 = (10 \text{ дм})^3 = 1000 \text{ дм}^3$. Увеличение в 1000 раз.
• $1000 \text{ м}^3 / 1 \text{ м}^3 = 1000$. Увеличение в 1000 раз.
• $1 000 000 \text{ м}^3 / 1000 \text{ м}^3 = 1000$. Увеличение в 1000 раз.
• $1 \text{ км}^3 = (1000 \text{ м})^3 = 1 000 000 000 \text{ м}^3$. Отношение к предыдущей ячейке: $1 000 000 000 \text{ м}^3 / 1 000 000 \text{ м}^3 = 1000$. Увеличение в 1000 раз.

Таким образом, при каждом переходе на одну клетку вправо единица объёма увеличивается в 1000 раз.

Ответ: в 1000 раз.

Переход справа налево является обратной операцией к переходу слева направо. Если при движении вправо величина увеличивается в 1000 раз, то при движении влево она будет уменьшаться в то же самое количество раз.

Ответ: в 1000 раз.

1) Чтобы найти, во сколько раз $1 \text{ см}^3$ больше $1 \text{ мм}^3$, используем соотношение линейных единиц: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$. Возведя это соотношение в куб, получаем: $1 \text{ см}^3 = (10 \text{ мм})^3 = 1000 \text{ мм}^3$.

Ответ: в 1000 раз.

2) Аналогично, используем соотношение $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$. Возводим в куб: $1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3$.

Ответ: в 1000 раз.

3) Сначала переведём дециметры в миллиметры: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см} = 10 \times 10 \text{ мм} = 100 \text{ мм}$. Затем возводим в куб: $1 \text{ дм}^3 = (100 \text{ мм})^3 = 1 000 000 \text{ мм}^3$.

Ответ: в 1 000 000 раз.

4) Используем соотношение $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$. Возводим в куб: $1 \text{ м}^3 = (10 \text{ дм})^3 = 1000 \text{ дм}^3$.

Ответ: в 1000 раз.

5) Переведём метры в сантиметры: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$. Возводим в куб: $1 \text{ м}^3 = (100 \text{ см})^3 = 1 000 000 \text{ см}^3$.

Ответ: в 1 000 000 раз.

6) Используем соотношение $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$. Возводим в куб: $1 \text{ км}^3 = (1000 \text{ м})^3 = 1 000 000 000 \text{ м}^3$.

Ответ: в 1 000 000 000 раз.

511. a) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд. Какой длины получился ряд?

б) Если куб с ребром 1 м разрезать на кубики с ребром 1 см и сложить их в ряд, то какой длины получится ряд?

а)

Для решения задачи сначала необходимо привести все величины к одной единице измерения. Переведем метры в дециметры. Мы знаем, что в 1 метре содержится 10 дециметров.

1. Ребро большого куба равно $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.

2. Ребро маленького кубика равно $1 \text{ дм}$.

3. Чтобы найти, сколько маленьких кубиков получится из большого, нужно найти отношение их объемов. Объем куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – длина ребра.

Объем большого куба: $V_{б} = (10 \text{ дм})^3 = 1000 \text{ дм}^3$.

Объем одного маленького кубика: $V_{м} = (1 \text{ дм})^3 = 1 \text{ дм}^3$.

4. Количество маленьких кубиков: $N = V_{б} / V_{м} = 1000 \text{ дм}^3 / 1 \text{ дм}^3 = 1000$ штук.

5. Если сложить все 1000 кубиков в один ряд, то его длина будет равна сумме длин ребер всех кубиков. Так как ребро каждого кубика равно 1 дм, общая длина ряда составит:

$L = 1000 \times 1 \text{ дм} = 1000 \text{ дм}$.

6. Переведем результат в метры: $1000 \text{ дм} = 100 \text{ м}$.

Ответ: 100 м.

б)

В этом случае будем использовать сантиметры. В 1 метре содержится 100 сантиметров.

1. Ребро большого куба равно $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.

2. Ребро маленького кубика равно $1 \text{ см}$.

3. Найдем общее количество маленьких кубиков, вычислив отношение объемов.

Объем большого куба: $V_{б} = (100 \text{ см})^3 = 1 \, 000 \, 000 \text{ см}^3$.

Объем одного маленького кубика: $V_{м} = (1 \text{ см})^3 = 1 \text{ см}^3$.

4. Количество маленьких кубиков: $N = V_{б} / V_{м} = 1 \, 000 \, 000 \text{ см}^3 / 1 \text{ см}^3 = 1 \, 000 \, 000$ штук.

5. Сложив все кубики в один ряд, получим общую длину. Ребро каждого кубика равно 1 см.

$L = 1 \, 000 \, 000 \times 1 \text{ см} = 1 \, 000 \, 000 \text{ см}$.

6. Переведем результат в метры и километры для лучшего представления масштаба.

$1 \, 000 \, 000 \text{ см} = 10 \, 000 \text{ м}$ (поскольку $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$).

$10 \, 000 \text{ м} = 10 \text{ км}$ (поскольку $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$).

Ответ: 10 км (или 10 000 м).

512. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, если его рёбра равны:

а) 18 см, 16 см, 5 см;

б) 12 см, 45 см, 2 см;

в) 16 см, 23 см, 25 см;

г) 11 см, 11 см, 11 см.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение трёх его измерений (длины, ширины и высоты). Формула для вычисления объёма $V$:$V = a \cdot b \cdot c$, где $a, b, c$ — длины рёбер параллелепипеда.

а)Даны рёбра: 18 см, 16 см, 5 см.
Подставляем значения в формулу объёма:
$V = 18 \cdot 16 \cdot 5$
Выполним умножение по шагам. Удобнее сначала умножить 16 на 5:
$16 \cdot 5 = 80$
Теперь умножим результат на 18:
$18 \cdot 80 = 1440$
Объём параллелепипеда равен 1440 см³.
Ответ: 1440 см³.

б)Даны рёбра: 12 см, 45 см, 2 см.
Подставляем значения в формулу объёма:
$V = 12 \cdot 45 \cdot 2$
Для удобства вычислений сначала умножим 45 на 2:
$45 \cdot 2 = 90$
Теперь умножим 12 на полученный результат:
$12 \cdot 90 = 1080$
Объём параллелепипеда равен 1080 см³.
Ответ: 1080 см³.

в)Даны рёбра: 16 см, 23 см, 25 см.
Подставляем значения в формулу объёма:
$V = 16 \cdot 23 \cdot 25$
Удобнее сначала перемножить 16 и 25:
$16 \cdot 25 = 400$
Теперь умножим результат на 23:
$400 \cdot 23 = 9200$
Объём параллелепипеда равен 9200 см³.
Ответ: 9200 см³.

г)Даны рёбра: 11 см, 11 см, 11 см.
Так как все рёбра равны, данный параллелепипед является кубом. Его объём вычисляется по формуле $V = a^3$.
Подставляем значение ребра в формулу:
$V = 11 \cdot 11 \cdot 11 = 11^3$
Выполним умножение:
$11 \cdot 11 = 121$
$121 \cdot 11 = 1331$
Объём куба равен 1331 см³.
Ответ: 1331 см³.

513. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, площадь основания и высота которого равны:

a) $136\text{ см}^2$, $5\text{ см}$;

б) $298\text{ см}^2$, $4\text{ см}$;

в) $154\text{ см}^2$, $8\text{ см}$;

г) $91\text{ см}^2$, $19\text{ см}$.

Объём прямоугольного параллелепипеда $V$ вычисляется как произведение площади его основания $S_{осн}$ на высоту $h$. Формула для вычисления объёма: $V = S_{осн} \cdot h$.

а) Даны площадь основания $S_{осн} = 136 \text{ см}^2$ и высота $h = 5 \text{ см}$.
Вычислим объём:
$V = 136 \text{ см}^2 \cdot 5 \text{ см} = 680 \text{ см}^3$.
Ответ: $680 \text{ см}^3$.

б) Даны площадь основания $S_{осн} = 298 \text{ см}^2$ и высота $h = 4 \text{ см}$.
Вычислим объём:
$V = 298 \text{ см}^2 \cdot 4 \text{ см} = 1192 \text{ см}^3$.
Ответ: $1192 \text{ см}^3$.

в) Даны площадь основания $S_{осн} = 154 \text{ см}^2$ и высота $h = 8 \text{ см}$.
Вычислим объём:
$V = 154 \text{ см}^2 \cdot 8 \text{ см} = 1232 \text{ см}^3$.
Ответ: $1232 \text{ см}^3$.

г) Даны площадь основания $S_{осн} = 91 \text{ см}^2$ и высота $h = 19 \text{ см}$.
Вычислим объём:
$V = 91 \text{ см}^2 \cdot 19 \text{ см} = 1729 \text{ см}^3$.
Ответ: $1729 \text{ см}^3$.

514. а) Площадь пола комнаты 24 $м^2$, высота комнаты 3 м. Найдите объём комнаты.

б) Объём комнаты 45 $м^3$, а площадь пола 15 $м^2$. Найдите высоту комнаты.

в) Объём комнаты 48 $м^3$, а высота 3 м. Найдите площадь пола.

а) Объём комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, вычисляется как произведение площади её основания (пола) на высоту. Формула для вычисления объёма ($V$) выглядит следующим образом: $V = S \times h$, где $S$ — площадь пола, а $h$ — высота комнаты.

В данном случае, площадь пола $S = 24$ м², а высота $h = 3$ м.

Подставим эти значения в формулу:

$V = 24 \text{ м²} \times 3 \text{ м} = 72 \text{ м³}$

Ответ: 72 м³.

б) Чтобы найти высоту комнаты, зная её объём и площадь пола, нужно разделить объём на площадь пола. Формула для нахождения высоты ($h$) выглядит так: $h = V / S$.

Известно, что объём комнаты $V = 45$ м³, а площадь пола $S = 15$ м².

Выполним вычисление:

$h = \frac{45 \text{ м³}}{15 \text{ м²}} = 3 \text{ м}$

Ответ: 3 м.

в) Чтобы найти площадь пола, зная объём комнаты и её высоту, нужно разделить объём на высоту. Формула для нахождения площади пола ($S$) выглядит так: $S = V / h$.

По условию, объём комнаты $V = 48$ м³, а высота $h = 3$ м.

Произведём расчёт:

$S = \frac{48 \text{ м³}}{3 \text{ м}} = 16 \text{ м²}$

Ответ: 16 м².