Страница 121 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

537. a) Пешеход за 3 ч прошёл 12 км. Какова его скорость?

б) Какой путь прошёл катер по озеру за 2 ч со скоростью $12 \text{ км/ч}$?

в) Бревно плывёт по реке, скорость течения которой $3 \text{ км/ч}$. За какое время оно проплывёт 15 км?

а)

Для нахождения скорости движения необходимо разделить пройденное расстояние на время, затраченное на этот путь. Основная формула, связывающая скорость ($v$), расстояние ($S$) и время ($t$), выглядит так: $S = v \cdot t$. Из этой формулы можно выразить скорость: $v = \frac{S}{t}$.
В данной задаче известны:
Расстояние $S = 12$ км.
Время $t = 3$ ч.
Подставим эти значения в формулу для скорости:
$v = \frac{12 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 4 \text{ км/ч}$.
Таким образом, скорость пешехода составляет 4 километра в час.
Ответ: 4 км/ч.

б)

Чтобы найти расстояние (путь), которое прошёл катер, нужно его скорость умножить на время движения. Катер движется по озеру, где нет течения, поэтому его скорость постоянна.
Используем формулу: $S = v \cdot t$.
Известные величины:
Скорость катера $v = 12$ км/ч.
Время в пути $t = 2$ ч.
Вычислим пройденный путь:
$S = 12 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 24 \text{ км}$.
Катер прошёл по озеру 24 километра.
Ответ: 24 км.

в)

Бревно, плывущее по реке, не имеет собственной скорости. Его скорость равна скорости течения реки. Чтобы найти время, за которое бревно проплывёт определённое расстояние, нужно это расстояние разделить на скорость течения.
Используем формулу для нахождения времени: $t = \frac{S}{v}$.
В задаче дано:
Расстояние $S = 15$ км.
Скорость течения (и, следовательно, скорость бревна) $v = 3$ км/ч.
Подставим значения в формулу:
$t = \frac{15 \text{ км}}{3 \text{ км/ч}} = 5 \text{ ч}$.
Бревно проплывёт 15 км за 5 часов.
Ответ: 5 ч.

538. а) Мальчик заметил, что на путь по течению реки было затрачено меньше времени, чем на тот же путь против течения. Чем это можно объяснить, если мотор лодки работал одинаково хорошо во время всей поездки?

б) На путь из пункта А в пункт В теплоход затратил 1 ч 40 мин, а на обратный путь — 2 ч. В каком направлении течёт река?

в) Скорость катера в стоячей воде равна $18 \text{ км/ч}$. Какой путь пройдёт катер за $3 \text{ ч}$?

г) Скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$. На сколько километров река относит любой предмет (щепку, плот, лодку) за $1 \text{ ч}$, за $5 \text{ ч}$?

а) Разница во времени объясняется влиянием течения реки. Когда лодка движется по течению, её собственная скорость (от мотора) складывается со скоростью течения. Это увеличивает её итоговую скорость относительно берега. Скорость по течению равна $V_{по} = V_{собственная} + V_{течения}$. Когда лодка движется против течения, скорость течения вычитается из её собственной скорости, уменьшая итоговую скорость: $V_{против} = V_{собственная} - V_{течения}$. Поскольку расстояние $S$ в обоих случаях одинаковое, а время движения $t$ вычисляется по формуле $t = S/V$, то чем больше скорость, тем меньше времени требуется на преодоление пути. Поэтому путь по течению, где скорость выше, занимает меньше времени.

Ответ: Это объясняется тем, что течение реки увеличивает скорость лодки при движении по течению и уменьшает её скорость при движении против течения.

б) Чтобы определить направление течения, необходимо сравнить время, затраченное на путь в каждом направлении. Чем меньше времени затрачено на путь, тем выше была скорость движения.
Время на путь из пункта А в пункт В: $t_{А \to В} = 1 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 100 \text{ мин}$.
Время на обратный путь из В в А: $t_{В \to А} = 2 \text{ ч} = 120 \text{ мин}$.
Так как $t_{А \to В} < t_{В \to А}$ ($100 \text{ мин} < 120 \text{ мин}$), то скорость теплохода при движении из А в В была выше. Движение с более высокой скоростью означает движение по течению реки. Следовательно, река течёт от пункта А к пункту В.

Ответ: Река течёт в направлении от пункта А к пункту В.

в) Скорость катера в стоячей воде — это его собственная скорость. Чтобы найти путь, который катер пройдёт в стоячей воде, нужно его скорость умножить на время движения.
Скорость катера $V = 18 \text{ км/ч}$.
Время движения $t = 3 \text{ ч}$.
Путь $S$ находится по формуле $S = V \cdot t$.
$S = 18 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 54 \text{ км}$.

Ответ: 54 км.

г) Любой предмет, который не имеет собственной скорости (щепка, плот) или движется с выключенным мотором, будет унесён течением реки со скоростью самого течения. Чтобы найти, на какое расстояние река относит предмет, нужно скорость течения умножить на время.
Скорость течения $V_{теч} = 2 \text{ км/ч}$.
1) За время $t_1 = 1 \text{ ч}$ река отнесёт предмет на расстояние:
$S_1 = V_{теч} \cdot t_1 = 2 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 2 \text{ км}$.
2) За время $t_2 = 5 \text{ ч}$ река отнесёт предмет на расстояние:
$S_2 = V_{теч} \cdot t_2 = 2 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 10 \text{ км}$.

Ответ: За 1 ч река относит предмет на 2 км, а за 5 ч — на 10 км.

539. Скорость катера в стоячей воде 18 км/ч, скорость течения реки 2 км/ч. С какой скоростью будет двигаться катер по течению реки? против течения?

Для решения данной задачи воспользуемся основными формулами для расчета скорости движения по реке.

Обозначим:

• $v_{с}$ — собственная скорость катера (в стоячей воде), $v_{с} = 18$ км/ч.
• $v_{т}$ — скорость течения реки, $v_{т} = 2$ км/ч.

по течению реки

При движении катера по течению реки его собственная скорость складывается со скоростью течения, так как течение помогает движению. Скорость катера по течению ($v_{по}$) вычисляется по формуле:
$v_{по} = v_{с} + v_{т}$
Подставим в формулу известные значения:
$v_{по} = 18 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 20 \text{ км/ч}$
Ответ: $20$ км/ч.

против течения

При движении катера против течения реки из его собственной скорости вычитается скорость течения, так как течение замедляет движение. Скорость катера против течения ($v_{против}$) вычисляется по формуле:
$v_{против} = v_{с} - v_{т}$
Подставим в формулу известные значения:
$v_{против} = 18 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 16 \text{ км/ч}$
Ответ: $16$ км/ч.

540. Скорость катера в стоячей воде равна 12 $ \text{км/ч} $, а скорость течения реки — 3 $ \text{км/ч} $. Определите:

a) скорость катера по течению реки;

б) скорость катера против течения реки;

в) путь катера по течению реки за 3 ч;

г) путь катера против течения реки за 5 ч.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• Собственная скорость катера (в стоячей воде): $v_{с} = 12$ км/ч.
• Скорость течения реки: $v_{т} = 3$ км/ч.

а) скорость катера по течению реки;

Когда катер движется по течению, его скорость является суммой его собственной скорости и скорости течения. Обозначим ее $v_{по}$.
Формула: $v_{по} = v_{с} + v_{т}$.
Подставляем значения: $v_{по} = 12 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 15 \text{ км/ч}$.
Ответ: 15 км/ч.

б) скорость катера против течения реки;

Когда катер движется против течения, его скорость равна разности его собственной скорости и скорости течения. Обозначим ее $v_{пр}$.
Формула: $v_{пр} = v_{с} - v_{т}$.
Подставляем значения: $v_{пр} = 12 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$.
Ответ: 9 км/ч.

в) путь катера по течению реки за 3 ч;

Путь ($S$) рассчитывается как произведение скорости ($v$) на время ($t$). Формула: $S = v \cdot t$.
Скорость катера по течению, как мы нашли в пункте (а), равна $v_{по} = 15$ км/ч. Время движения $t = 3$ ч.
Рассчитываем путь: $S_{по} = 15 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 45 \text{ км}$.
Ответ: 45 км.

г) путь катера против течения реки за 5 ч.

Используем ту же формулу для расчета пути: $S = v \cdot t$.
Скорость катера против течения из пункта (б) равна $v_{пр} = 9$ км/ч. Время движения $t = 5$ ч.
Рассчитываем путь: $S_{пр} = 9 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 45 \text{ км}$.
Ответ: 45 км.

541. a) Собственная скорость теплохода $27 \text{ км/ч}$, скорость течения реки $3 \text{ км/ч}$. Сколько времени затратит теплоход на путь по течению реки между двумя причалами, если расстояние между ними $120 \text{ км}$?

б) Сколько времени потребуется для того, чтобы проплыть на моторной лодке $90 \text{ км}$ против течения, если её собственная скорость $20 \text{ км/ч}$, а скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$?

а)

Для того чтобы найти время, которое теплоход затратит на путь по течению реки, необходимо сначала определить его скорость движения по течению. Скорость по течению равна сумме собственной скорости теплохода и скорости течения реки.

Дано:
Собственная скорость теплохода ($V_{соб}$) = 27 км/ч.
Скорость течения реки ($V_{теч}$) = 3 км/ч.
Расстояние ($S$) = 120 км.

1. Найдём скорость теплохода по течению ($V_{по}$):
$V_{по} = V_{соб} + V_{теч}$
$V_{по} = 27 \, \text{км/ч} + 3 \, \text{км/ч} = 30 \, \text{км/ч}$

2. Теперь, зная скорость и расстояние, найдём время в пути ($t$) по формуле $t = \frac{S}{V}$:
$t = \frac{120 \, \text{км}}{30 \, \text{км/ч}} = 4 \, \text{ч}$

Ответ: 4 часа.

б)

Чтобы найти время, которое потребуется моторной лодке для прохождения пути против течения, сначала нужно вычислить её скорость движения против течения. Скорость против течения равна разности собственной скорости лодки и скорости течения реки.

Дано:
Собственная скорость моторной лодки ($V_{соб}$) = 20 км/ч.
Скорость течения реки ($V_{теч}$) = 2 км/ч.
Расстояние ($S$) = 90 км.

1. Найдём скорость лодки против течения ($V_{пр}$):
$V_{пр} = V_{соб} - V_{теч}$
$V_{пр} = 20 \, \text{км/ч} - 2 \, \text{км/ч} = 18 \, \text{км/ч}$

2. Теперь, зная скорость и расстояние, найдём время в пути ($t$) по формуле $t = \frac{S}{V}$:
$t = \frac{90 \, \text{км}}{18 \, \text{км/ч}} = 5 \, \text{ч}$

Ответ: 5 часов.