Страница 127 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

565. a) Какую линию называют ломаной линией?

б) Что называют звеньями ломаной?

в) Как обозначают ломаную?

г) Какую ломаную называют замкнутой?

а) Ломаной линией (или просто ломаной) называют геометрическую фигуру, которая состоит из отрезков, последовательно соединенных своими концами так, что конец первого отрезка является началом второго, конец второго — началом третьего и так далее. Точки соединения отрезков называются вершинами ломаной. Соседние отрезки (звенья) не должны лежать на одной прямой.

Ответ: Линию, состоящую из последовательно соединенных отрезков, называют ломаной линией.

б) Звеньями ломаной называют отрезки, из которых она состоит. Например, если ломаная линия состоит из вершин $A$, $B$, $C$ и $D$, то её звеньями будут отрезки $AB$, $BC$ и $CD$.

Ответ: Звеньями ломаной называют отрезки, её составляющие.

в) Ломаную линию обозначают, перечисляя последовательно все её вершины. Например, ломаную с вершинами в точках $A$, $B$, $C$ и $D$ обозначают как $ABCD$. Порядок букв имеет значение, так как он указывает на последовательность соединения вершин.

Ответ: Ломаную обозначают, последовательно называя её вершины (например, $ABCD$).

г) Замкнутой называют такую ломаную линию, у которой начальная точка совпадает с конечной. Иными словами, конец последнего звена соединён с началом первого звена. Простая замкнутая ломаная линия образует многоугольник.

Ответ: Замкнутой называют ломаную, у которой концы совпадают.

566. Постройте ломаную $\mathrm{A}BCDE$. Назовите все её звенья.

Ломаная линия — это геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединённых своими концами. Эти отрезки называются звеньями ломаной, а концы отрезков — вершинами ломаной.

Чтобы построить ломаную ABCDE, нужно отметить на плоскости пять точек (вершин): A, B, C, D, E. Затем нужно последовательно соединить их отрезками: A с B, B с C, C с D и D с E.

Звенья ломаной — это отрезки, из которых она состоит. У ломаной ABCDE следующие звенья:

• Первое звено: отрезок AB, соединяющий вершины A и B.
• Второе звено: отрезок BC, соединяющий вершины B и C.
• Третье звено: отрезок CD, соединяющий вершины C и D.
• Четвертое звено: отрезок DE, соединяющий вершины D и E.

Всего у данной ломаной 4 звена.

Ответ: звенья ломаной ABCDE: AB, BC, CD, DE.

567. Существует ли замкнутая ломаная, имеющая три звена, длины которых равны:

а) 1 см, 2 см, 2 см;

б) 1 см, 2 см, 3 см;

в) 1 см, 2 см, 4 см?

Замкнутая ломаная из трех звеньев образует треугольник, длины сторон которого равны длинам звеньев. Существование такого треугольника определяется неравенством треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть строго больше длины третьей стороны. Если $a$, $b$, $c$ — длины сторон, то должны выполняться условия: $a+b>c$, $a+c>b$ и $b+c>a$. На практике достаточно проверить одно условие: сумма длин двух самых коротких сторон должна быть больше длины самой длинной стороны.

а) Даны длины звеньев: 1 см, 2 см, 2 см. Обозначим их как $a=1$ см, $b=2$ см, $c=2$ см. Проверим неравенство треугольника. Так как две стороны равны, проверим комбинации:
$1 + 2 > 2$, что равносильно $3 > 2$ — верно.
$2 + 2 > 1$, что равносильно $4 > 1$ — верно.
Все условия выполняются, следовательно, треугольник с такими сторонами, а значит и соответствующая замкнутая ломаная, существует.
Ответ: да, существует.

б) Даны длины звеньев: 1 см, 2 см, 3 см. Обозначим их как $a=1$ см, $b=2$ см, $c=3$ см. Проверим, больше ли сумма длин двух коротких сторон длины самой длинной стороны:
$1 + 2 > 3$, что равносильно $3 > 3$ — неверно.
Так как сумма длин двух сторон равна длине третьей стороны ($1+2=3$), все вершины треугольника будут лежать на одной прямой. Такая фигура называется вырожденным треугольником и не является замкнутой ломаной в общепринятом смысле.
Ответ: нет, не существует.

в) Даны длины звеньев: 1 см, 2 см, 4 см. Обозначим их как $a=1$ см, $b=2$ см, $c=4$ см. Проверим, больше ли сумма длин двух коротких сторон длины самой длинной стороны:
$1 + 2 > 4$, что равносильно $3 > 4$ — неверно.
Сумма длин двух коротких звеньев меньше длины самого длинного звена. В этом случае невозможно соединить концы звеньев, чтобы образовать замкнутую фигуру.
Ответ: нет, не существует.

568. На рисунке 117 изображена ломаная ABCD. $AB=3$ см, $BC=4$ см, $CD=13$ см, $AD=12$ см. Определите длину ломаной ABCD и расстояние между её концами.

Для решения задачи необходимо выполнить два действия: найти общую длину ломаной линии и определить расстояние между ее начальной и конечной точками.

Определение длины ломаной ABCD

Длина ломаной линии — это сумма длин всех составляющих ее отрезков (звеньев). Ломаная ABCD состоит из трех звеньев: AB, BC и CD.

По условию задачи, длины звеньев равны:

$AB = 3$ см,

$BC = 4$ см,

$CD = 13$ см.

Сложим длины этих звеньев, чтобы найти общую длину ломаной $L$:

$L = AB + BC + CD = 3 + 4 + 13 = 20$ см.

Ответ: 20 см.

Определение расстояния между её концами

Концами ломаной ABCD являются ее начальная точка A и конечная точка D. Расстояние между концами ломаной — это длина отрезка, напрямую соединяющего эти две точки, то есть длина отрезка AD.

Согласно условию задачи, длина этого отрезка уже дана:

$AD = 12$ см.

Следовательно, расстояние между концами ломаной равно 12 см.

Ответ: 12 см.

569. Докажите, что длина ломаной $ABC$ больше длины ломаной $ADC$ (рис. 118).

Рис. 118

Для доказательства данного утверждения воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит, что сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Выполним дополнительное построение: продолжим отрезок AD до пересечения с отрезком BC. Точку пересечения обозначим E. Таким образом, по построению, точка D лежит на отрезке AE, а точка E лежит на отрезке BC.

Теперь рассмотрим два треугольника, образовавшихся в результате нашего построения.

1. В треугольнике ABE, согласно неравенству треугольника, имеем:

$AB + BE > AE$

Так как точка D лежит на отрезке AE, то длина отрезка AE равна сумме длин отрезков AD и DE, то есть $AE = AD + DE$. Подставим это выражение в неравенство:

$AB + BE > AD + DE$ (1)

2. В треугольнике EDC, согласно неравенству треугольника, имеем:

$DE + EC > DC$ (2)

Теперь сложим левые и правые части полученных неравенств (1) и (2):

$(AB + BE) + (DE + EC) > (AD + DE) + DC$

Упростим полученное неравенство, вычтя из обеих частей отрезок DE:

$AB + BE + EC > AD + DC$

Поскольку точка E лежит на отрезке BC, то сумма длин отрезков BE и EC равна длине отрезка BC: $BE + EC = BC$. Заменим сумму $BE + EC$ на BC в левой части неравенства:

$AB + BC > AD + DC$

Таким образом, мы доказали, что длина ломаной ABC (сумма $AB + BC$) больше длины ломаной ADC (сумма $AD + DC$).

Ответ: Что и требовалось доказать.