Страница 132 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

583. Как разрезать торт тремя прямыми так, чтобы получилось семь частей и на каждой из них была розочка (рис. 127)?

Рис. 127

Чтобы разрезать торт тремя прямыми линиями на семь частей с розочкой на каждой, необходимо воспользоваться свойством прямых на плоскости: максимальное число областей, на которые три прямые могут разделить плоскость, равно семи. Это достигается, когда все три прямые попарно пересекаются в трёх различных точках, образуя в центре треугольник.

Задача сводится к тому, чтобы расположить эти три разреза относительно семи розочек так, чтобы каждая розочка оказалась в своей отдельной части.

Решение состоит в том, чтобы изолировать центральную розочку внутри треугольника, образованного тремя разрезами, а остальные шесть розочек распределить по одной в каждую из шести внешних областей.

Наглядная схема разрезов представлена ниже:

Таким образом, торт будет разделен на семь кусков, и на каждом из них окажется по одной розочке.

Ответ: Нужно сделать три попарно пересекающихся разреза так, чтобы они образовали в центре торта небольшой треугольник. Этот треугольник должен содержать только одну, центральную, розочку. Каждая из шести остальных розочек окажется в одной из шести внешних областей, созданных разрезами.

584. Можно ли двумя ударами топора разрубить подкову на шесть частей, не перемещая части после удара (рис. 128)?

Рис. 128

Да, подкову можно разрубить на шесть частей двумя ударами топора. Это классическая задача на нестандартное мышление, и вот её решение.

Первым ударом топора нужно рассечь подкову поперек, так, чтобы удар прошел через обе её ветви. Этот удар разделит подкову на три отдельные части: два прямых конца и одну дугообразную часть.

Затем эти три части следует сложить в стопку друг на друга. Вторым ударом топора нужно разрубить эту стопку. Так как стопка состоит из трех частей, этот удар разделит каждую из них пополам.

В результате мы получим $3 \times 2 = 6$ отдельных кусков.

Условие "не перемещая части после удара" является ключевым элементом загадки, который часто вводит в заблуждение. При строгом геометрическом подходе, когда объект остается неподвижным, двумя прямыми разрезами можно получить максимум пять частей. Решение же подразумевает, что перемещать части можно между ударами.

Ответ: Да, можно.

585. Улитка за день поднимается на 4 м, а за ночь опускается на 2 м. За сколько дней она поднимется на вершину столба высотой 8 м?

Для решения этой задачи нужно рассчитать, какой путь улитка преодолевает каждый день с учетом ночного спуска, и обратить внимание на последний день, когда она достигнет вершины.

1. Сначала определим, на какую высоту улитка поднимается за один полный цикл (день и ночь). За день она поднимается на 4 метра, а за ночь опускается на 2 метра. Таким образом, её чистый прогресс за сутки составляет:$4 \text{ м} - 2 \text{ м} = 2 \text{ м}$

2. Теперь рассмотрим путь улитки по дням. Важно понимать, что когда улитка достигнет вершины столба в течение дня, она завершит свой путь и больше не будет сползать вниз.

• День 1: Улитка поднимается на 4 м.
  Положение в конце дня 1: 4 м.
• Ночь 1: Улитка опускается на 2 м.
  Положение в начале дня 2: $4 \text{ м} - 2 \text{ м} = 2 \text{ м}$.
• День 2: Улитка начинает с 2 м и поднимается на 4 м.
  Положение в конце дня 2: $2 \text{ м} + 4 \text{ м} = 6 \text{ м}$.
• Ночь 2: Улитка опускается на 2 м.
  Положение в начале дня 3: $6 \text{ м} - 2 \text{ м} = 4 \text{ м}$.
• День 3: Улитка начинает с 4 м и поднимается на 4 м.
  Положение в течение дня 3: $4 \text{ м} + 4 \text{ м} = 8 \text{ м}$.

На третий день улитка достигает вершины столба высотой 8 метров.

Ответ: 3 дня.

586. Прямоугольник $4 \times 9$ разрежьте на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

Для решения этой задачи сначала определим параметры квадрата, который должен получиться в результате.

1. Нахождение стороны квадрата

Площадь исходного прямоугольника равна произведению его сторон:
$S_{прямоугольника} = 4 \times 9 = 36$ (квадратных единиц).
Поскольку из частей прямоугольника складывают квадрат, их общая площадь сохраняется. Таким образом, площадь квадрата также должна быть равна 36.
Площадь квадрата вычисляется по формуле $S_{квадрата} = a^2$, где $a$ – длина его стороны.
Отсюда находим сторону квадрата:
$a^2 = 36$
$a = \sqrt{36} = 6$ (единиц длины).
Следовательно, нам нужно разрезать прямоугольник 4×9 на две части и сложить из них квадрат 6×6.

2. Описание разреза

Чтобы из прямоугольника 4×9 получить квадрат 6×6, необходимо одну сторону уменьшить (с 9 до 6), а другую увеличить (с 4 до 6). Разрез должен быть выполнен таким образом, чтобы обеспечить такую перекомпоновку.
Оптимальным является ступенчатый разрез. Представим прямоугольник на клетчатой бумаге. Разрез нужно произвести по ломаной линии следующим образом:

• Отступить 3 клетки от края по длинной стороне (9) и сделать разрез вглубь на 2 клетки (до середины высоты 4).
• Далее сделать разрез параллельно длинной стороне на 3 клетки.
• Завершить разрез, двигаясь перпендикулярно длинной стороне до самого ее края.

Этот разрез делит прямоугольник на две равные по площади части, как показано на рисунке ниже:

На рисунке первая часть (A) окрашена в зеленый цвет, а вторая (B) — в оранжевый.

3. Сборка квадрата

Теперь необходимо переместить одну из частей, чтобы вместе с другой они образовали квадрат.

• Оставляем часть A на месте.
• Часть B сдвигаем на 3 единицы влево и на 2 единицы вверх.

В результате этого перемещения части идеально стыкуются, образуя квадрат со стороной 6. Нижняя сторона квадрата формируется нижней стороной части A (длина 6). Левая сторона квадрата формируется левой стороной части A (длина 4) и частью правой стороны перемещенной части B (длина 2). Аналогично формируются верхняя и правая стороны.

Таким образом, прямоугольник 4×9 разрезается на две части ступенчатым разрезом, и из этих частей складывается квадрат 6×6.

Ответ:

Прямоугольник 4×9 нужно разрезать ступенчатой линией, как показано на первом рисунке. На длинной стороне, равной 9, отступаем от одного края 3 единицы и делаем разрез вглубь на 2 единицы (до середины высоты). Затем делаем разрез параллельно длинной стороне на 3 единицы. После этого делаем разрез до противоположной длинной стороны. Полученные две части можно сложить в квадрат 6×6, переместив одну из частей относительно другой.

587. Из прямоугольника $10 \times 7$ вырезали прямоугольник $1 \times 6$ (рис. 129). Разрежьте полученную фигуру на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

Рис. 129

Для решения этой задачи необходимо найти способ разрезать исходную фигуру на две части, которые можно сложить в квадрат. Сначала определим параметры квадрата.

1. Найдем площадь фигуры.

Исходный прямоугольник имеет размеры 10×7. Его площадь равна $S_{1} = 10 \times 7 = 70$ условных единиц (клеток).

Из него вырезали прямоугольник размером 1×6. Его площадь равна $S_{2} = 1 \times 6 = 6$ клеток.

Площадь полученной фигуры равна разности площадей:

$S = S_{1} - S_{2} = 70 - 6 = 64$ клеток.

2. Определим сторону квадрата.

Поскольку из двух частей фигуры нужно сложить квадрат, его площадь также должна быть равна 64. Если сторона квадрата равна a, то его площадь — $a^2$.

$a^2 = 64$

$a = \sqrt{64} = 8$

Таким образом, мы должны получить квадрат со стороной 8 клеток (квадрат 8×8).

3. Найдем линию разреза.

Чтобы преобразовать фигуру размерами 10×7 в квадрат 8×8, нужно уменьшить её ширину на 2 клетки и увеличить высоту на 1 клетку. Это можно сделать с помощью ступенчатого разреза, который позволит одной из частей сместиться и занять новое положение.

Разрез нужно провести следующим образом (будем считать, что левый нижний угол фигуры имеет координаты (0,0)):

• Начать на верхней границе фигуры в точке с координатой x=2 (отступив 2 клетки слева).
• Провести вертикальную линию вниз на 3 клетки до верхней границы вырезанного прямоугольника (до линии y=4).
• Провести горизонтальную линию вправо вдоль верхней границы выреза на 6 клеток (до x=8).
• Провести вертикальную линию вниз от конца предыдущей линии до нижней границы фигуры (до линии y=0).

На рисунке ниже показана линия разреза (красная линия).

Этот разрез делит исходную фигуру на две равные по площади части, площадь каждой из которых составляет 32 клетки.

4. Сложим квадрат.

Получились две части. Назовем их Часть 1 (левая) и Часть 2 (правая).

Теперь нужно переместить Часть 2. Её необходимо сдвинуть на 2 клетки влево и на 4 клетки вверх.

После перемещения Часть 2 идеально дополнит Часть 1, образуя квадрат размером 8×8.

На рисунке ниже показан процесс сборки квадрата.

Ответ: Фигуру нужно разрезать ступенчатой линией, как показано на первом рисунке. Затем правую часть нужно переместить влево и вверх, чтобы сложить квадрат 8×8, как показано на втором рисунке.

588. Клетчатая бумага даёт представление о том, как можно равными квадратами выложить плоскость. На рисунке 130 показаны способы, которыми укладывают кафельную плитку на пол или на стены. Плоскость можно выложить также равными

Рис. 130

Чтобы можно было составить паркет (выложить плоскость без зазоров и наложений) из равных правильных многоугольников, необходимо, чтобы сумма углов нескольких многоугольников, сходящихся в одной общей вершине, была равна $360^\circ$.

Величина внутреннего угла правильного n-угольника вычисляется по формуле: $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.

Пусть в одной вершине сходится $k$ многоугольников. Тогда должно выполняться равенство: $k \cdot \alpha = 360^\circ$, где $k$ — целое число ($k \ge 3$).

Проверим, для каких правильных многоугольников выполняется это условие.

1. Правильный треугольник (n=3):
Угол равен $\alpha_3 = \frac{(3-2) \cdot 180^\circ}{3} = 60^\circ$.
Количество треугольников в одной вершине: $k = \frac{360^\circ}{60^\circ} = 6$. Так как $k=6$ — целое число, паркет составить можно.

2. Квадрат (n=4):
Угол равен $\alpha_4 = \frac{(4-2) \cdot 180^\circ}{4} = 90^\circ$.
Количество квадратов в одной вершине: $k = \frac{360^\circ}{90^\circ} = 4$. Так как $k=4$ — целое число, паркет составить можно.

3. Правильный пятиугольник (n=5):
Угол равен $\alpha_5 = \frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ$.
$k = \frac{360^\circ}{108^\circ} = \frac{10}{3}$. Это не целое число, значит паркет составить нельзя.

4. Правильный шестиугольник (n=6):
Угол равен $\alpha_6 = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.
Количество шестиугольников в одной вершине: $k = \frac{360^\circ}{120^\circ} = 3$. Так как $k=3$ — целое число, паркет составить можно.

Для многоугольников с числом сторон больше шести (n > 6) внутренний угол будет больше $120^\circ$. Так как в одной точке должно сходиться как минимум 3 многоугольника, то сумма их углов будет больше $360^\circ$ ($3 \cdot \alpha > 3 \cdot 120^\circ = 360^\circ$). Это означает, что для n > 6 составить паркет из одинаковых правильных многоугольников невозможно.

Таким образом, существует только три вида правильных многоугольников, которыми можно замостить плоскость.

Ответ: Паркет можно составить из равных правильных треугольников, квадратов и правильных шестиугольников.

Как было рассчитано выше, внутренний угол правильного пятиугольника равен $108^\circ$. Чтобы определить, можно ли составить паркет, нужно проверить, делится ли $360^\circ$ на $108^\circ$ без остатка. $k = \frac{360}{108} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}$. Поскольку результат не является целым числом, невозможно уложить целое число правильных пятиугольников вокруг одной точки без зазоров или наложений. Если уложить 3 пятиугольника, сумма углов будет $3 \cdot 108^\circ = 324^\circ$, что меньше $360^\circ$ (останется зазор). Если попробовать уложить 4, то сумма углов будет $4 \cdot 108^\circ = 432^\circ$, что больше $360^\circ$ (произойдет наложение).

Ответ: Нет, нельзя.

Внутренний угол правильного восьмиугольника равен $\alpha_8 = \frac{(8-2) \cdot 180^\circ}{8} = \frac{6 \cdot 180^\circ}{8} = 135^\circ$. Проверим, делится ли $360^\circ$ на $135^\circ$ нацело: $k = \frac{360}{135} = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3}$. Результат не является целым числом, поэтому составить паркет из равных правильных восьмиугольников невозможно. При соединении двух восьмиугольников в одной вершине сумма углов будет $2 \cdot 135^\circ = 270^\circ$ (останется зазор в $90^\circ$), а при соединении трех — $3 \cdot 135^\circ = 405^\circ$ (произойдет наложение).

Ответ: Нет, нельзя.