Страница 133 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

Рис. 131

2 2

1 1

2 2

Рис. 132

прямоугольниками. На рисунке 131 показаны два способа покрытия пола паркетом из равных прямоугольников. Придумайте ещё два своих паркета из равных прямоугольников.

589. Фигуры домино, тримино, тетрамино¹ составляют из двух, трёх, четырёх квадратов так, чтобы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним квадратом. Из двух одинаковых квадратов можно составить только одну фигуру домино (рис. 132). Фигуры тримино можно получить из единственной фигуры домино, приставляя к ней различными способами ещё один квадрат. Получатся только две различные фигуры тримино (рис. 133). Цифры около фигуры домино соответствуют номеру фигуры тримино, которая получится, если на место цифры приложить третий квадрат. Убедитесь, что можно составить только 5 фигур тетрамино.

1

2

Рис. 133

¹ Тетра — четыре (греч.).

Задача состоит в том, чтобы доказать, что существует ровно 5 различных фигур тетрамино. Тетрамино — это полимино, состоящее из четырёх одинаковых квадратов, соединённых между собой сторонами. Фигуры считаются различными, если одну нельзя получить из другой путём поворотов или зеркальных отражений.

Все фигуры тетрамино можно получить, добавляя по одному квадрату к двум существующим фигурам тримино: I-тримино (прямой) и L-тримино (угловой).

I-тримино (прямое тримино) — это три квадрата, выстроенные в ряд.

С учётом симметрии, есть три принципиально разных места, куда можно добавить четвёртый квадрат:

1. К торцу фигуры. Получается I-тетрамино (прямая полоска из 4 квадратов).
2. Сбоку от центрального квадрата. Получается T-тетрамино.
3. Сбоку от одного из крайних квадратов. Получается L-тетрамино.

Таким образом, из I-тримино мы получили три различные фигуры тетрамино.

L-тримино (угловое тримино) имеет Г-образную форму.

Рассмотрим различные места для добавления четвертого квадрата:

• При добавлении квадрата к короткой стороне фигуры, можно получить уже известные нам I-тетрамино (если продлить короткую часть) или L-тетрамино (если продлить длинную часть).
• При добавлении квадрата сверху к "угловому" квадрату, мы получим T-тетрамино, которое также уже было найдено.
• Однако есть два способа получить новые фигуры:
• Добавить квадрат так, чтобы получился квадрат 2x2. Это новая фигура — O-тетрамино.
• Добавить квадрат сбоку от "углового" квадрата, создавая "ступеньку". Это новая фигура — S-тетрамино (или Z-тетрамино, являющееся его зеркальным отражением).

Из L-тримино мы получили две новые фигуры и три уже известные.

Проанализировав все возможные способы добавления одного квадрата к двум фигурам тримино, мы получили 5 уникальных фигур тетрамино:

1. I-тетрамино (прямая)
2. T-тетрамино
3. L-тетрамино (и его зеркальное отражение J-тетрамино)
4. O-тетрамино (квадрат)
5. S-тетрамино (и его зеркальное отражение Z-тетрамино)

Таким образом, мы убедились, что существует только 5 различных фигур тетрамино.

Ответ: Путём систематического добавления четвёртого квадрата ко всем возможным сторонам двух фигур тримино (прямой и угловой) можно убедиться, что существует ровно 5 различных фигур тетрамино: I, T, L, O, S.