Номер 591, страница 134 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

591. Фигуры гексамино2 можно получить из фигур пентамино, приставляя к ним различными способами ещё один квадрат. Сколько фигур гексамино можно составить?

Задача состоит в том, чтобы определить количество уникальных фигур гексамино. Гексамино — это полимино, состоящее из шести соединённых по сторонам квадратов. В условии предлагается получать их из фигур пентамино (состоящих из пяти квадратов), добавляя к каждой из них ещё один квадрат всеми возможными способами.

Всего существует 12 уникальных фигур пентамино (их принято обозначать латинскими буквами F, I, L, P, N, T, U, V, W, X, Y, Z).

Метод решения заключается в следующем:

1. Взять каждую из 12 фигур пентамино.
2. Рассмотреть все возможные места, куда можно приставить дополнительный квадрат (т.е. ко всем свободным сторонам квадратов, образующих фигуру).
3. Сгенерировать все получившиеся фигуры гексамино.
4. Исключить все дубликаты. Две фигуры считаются одинаковыми, если одну можно получить из другой поворотом или зеркальным отражением.

Этот процесс достаточно трудоёмкий из-за большого количества вариантов и возникающих дубликатов. Продемонстрируем его на нескольких примерах.

Генерация из пентамино I

Пентамино I имеет форму прямой линии из пяти квадратов.

□ □ □ □ □

У этой фигуры есть две оси симметрии. Новый квадрат можно присоединить либо к торцу, либо к боковой стороне. С учётом симметрии, есть 4 уникальных способа присоединения:

1. К торцу фигуры. Получается прямая линия из 6 квадратов.

   □ □ □ □ □ □

2. К боковой стороне крайнего квадрата.

   □ □ □ □ □
   □

3. К боковой стороне второго с краю квадрата.

   □ □ □ □ □
   □

4. К боковой стороне центрального квадрата.

□ □ □ □ □
□

Таким образом, из пентамино I можно получить 4 различные фигуры гексамино.

Проблема дубликатов

Основная сложность в подсчёте — это учёт повторяющихся фигур. Дубликаты возникают по двум причинам:

• Симметрия внутри одного пентамино: присоединение квадрата к разным, но симметричным сторонам пентамино, может дать одну и ту же фигуру гексамино.
• Разные "родительские" пентамино: одну и ту же фигуру гексамино можно получить из разных фигур пентамино. Например, гексамино в форме прямоугольника $2 \times 3$ можно получить и из U-пентамино, и из P-пентамино.

Пример получения прямоугольника $2 \times 3$ из U-пентамино:

□ □ □ □ □
□ □ □ + ■ → □ □ □

Пример получения того же прямоугольника из P-пентамино:

□ □ □ □ □
□ □ + ■ → □ □ □
□

Итоговый подсчет

Полный перебор всех вариантов и аккуратное исключение всех дубликатов является сложной комбинаторной задачей. Если последовательно применить описанный метод ко всем 12 фигурам пентамино, сгенерировать все возможные гексамино и удалить все повторяющиеся фигуры (с учётом поворотов и отражений), то в результате получится 35 уникальных фигур.

Ответ: Можно составить 35 фигур гексамино.