Номер 588, страница 132 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

588. Клетчатая бумага даёт представление о том, как можно равными квадратами выложить плоскость. На рисунке 130 показаны способы, которыми укладывают кафельную плитку на пол или на стены. Плоскость можно выложить также равными

Рис. 130

Чтобы можно было составить паркет (выложить плоскость без зазоров и наложений) из равных правильных многоугольников, необходимо, чтобы сумма углов нескольких многоугольников, сходящихся в одной общей вершине, была равна $360^\circ$.

Величина внутреннего угла правильного n-угольника вычисляется по формуле: $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.

Пусть в одной вершине сходится $k$ многоугольников. Тогда должно выполняться равенство: $k \cdot \alpha = 360^\circ$, где $k$ — целое число ($k \ge 3$).

Проверим, для каких правильных многоугольников выполняется это условие.

1. Правильный треугольник (n=3):
Угол равен $\alpha_3 = \frac{(3-2) \cdot 180^\circ}{3} = 60^\circ$.
Количество треугольников в одной вершине: $k = \frac{360^\circ}{60^\circ} = 6$. Так как $k=6$ — целое число, паркет составить можно.

2. Квадрат (n=4):
Угол равен $\alpha_4 = \frac{(4-2) \cdot 180^\circ}{4} = 90^\circ$.
Количество квадратов в одной вершине: $k = \frac{360^\circ}{90^\circ} = 4$. Так как $k=4$ — целое число, паркет составить можно.

3. Правильный пятиугольник (n=5):
Угол равен $\alpha_5 = \frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ$.
$k = \frac{360^\circ}{108^\circ} = \frac{10}{3}$. Это не целое число, значит паркет составить нельзя.

4. Правильный шестиугольник (n=6):
Угол равен $\alpha_6 = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.
Количество шестиугольников в одной вершине: $k = \frac{360^\circ}{120^\circ} = 3$. Так как $k=3$ — целое число, паркет составить можно.

Для многоугольников с числом сторон больше шести (n > 6) внутренний угол будет больше $120^\circ$. Так как в одной точке должно сходиться как минимум 3 многоугольника, то сумма их углов будет больше $360^\circ$ ($3 \cdot \alpha > 3 \cdot 120^\circ = 360^\circ$). Это означает, что для n > 6 составить паркет из одинаковых правильных многоугольников невозможно.

Таким образом, существует только три вида правильных многоугольников, которыми можно замостить плоскость.

Ответ: Паркет можно составить из равных правильных треугольников, квадратов и правильных шестиугольников.

Как было рассчитано выше, внутренний угол правильного пятиугольника равен $108^\circ$. Чтобы определить, можно ли составить паркет, нужно проверить, делится ли $360^\circ$ на $108^\circ$ без остатка. $k = \frac{360}{108} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}$. Поскольку результат не является целым числом, невозможно уложить целое число правильных пятиугольников вокруг одной точки без зазоров или наложений. Если уложить 3 пятиугольника, сумма углов будет $3 \cdot 108^\circ = 324^\circ$, что меньше $360^\circ$ (останется зазор). Если попробовать уложить 4, то сумма углов будет $4 \cdot 108^\circ = 432^\circ$, что больше $360^\circ$ (произойдет наложение).

Ответ: Нет, нельзя.

Внутренний угол правильного восьмиугольника равен $\alpha_8 = \frac{(8-2) \cdot 180^\circ}{8} = \frac{6 \cdot 180^\circ}{8} = 135^\circ$. Проверим, делится ли $360^\circ$ на $135^\circ$ нацело: $k = \frac{360}{135} = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3}$. Результат не является целым числом, поэтому составить паркет из равных правильных восьмиугольников невозможно. При соединении двух восьмиугольников в одной вершине сумма углов будет $2 \cdot 135^\circ = 270^\circ$ (останется зазор в $90^\circ$), а при соединении трех — $3 \cdot 135^\circ = 405^\circ$ (произойдет наложение).

Ответ: Нет, нельзя.