Номер 590, страница 134 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

590. Фигуры пентамино1 можно получить из фигур тетрамино, приставляя к ним различными способами ещё один квадрат. Сколько фигур пентамино можно составить?

Для решения этой задачи необходимо найти все уникальные фигуры, состоящие из пяти квадратов (пентамино), путем добавления одного квадрата к фигурам из четырех квадратов (тетрамино). Уникальными считаются фигуры, которые нельзя совместить путем поворотов и зеркальных отражений.

Сначала перечислим все 5 уникальных фигур тетрамино:

1. I-тетрамино (прямая линия из 4 квадратов)
2. O-тетрамино (квадрат 2x2)
3. T-тетрамино
4. L-тетрамино
5. S-тетрамино

Теперь будем последовательно добавлять к каждой из этих фигур один квадрат всеми возможными способами, отслеживая появление новых уникальных фигур пентамино.

Из прямой фигуры 1x4 можно получить 3 различные фигуры пентамино:

• Присоединяя квадрат к торцу, получаем I-пентамино.
• Присоединяя квадрат сбоку к одному из центральных квадратов, получаем P-пентамино.
• Присоединяя квадрат сбоку к одному из крайних квадратов, получаем L-пентамино.

Найдено 3 уникальные фигуры: I, P, L.

Квадрат 2x2 — полностью симметричная фигура. Присоединение квадрата к любой из его сторон приводит к образованию одной и той же фигуры — P-пентамино, которая уже была найдена.

Новых фигур не найдено. Всего уникальных: 3.

Из этой фигуры можно получить 4 различные фигуры:

• Присоединяя квадрат к центральному квадрату (в "углубление"), получаем X-пентамино.
• Присоединяя квадрат к "ножке" снизу, получаем T-пентамино.
• Присоединяя квадрат к "ножке" сбоку, получаем U-пентамино.
• Присоединяя квадрат к одному из крайних квадратов "перекладины", получаем P-пентамино (уже найдено).

Найдено 3 новые фигуры: X, T, U. Всего уникальных: 3 + 3 = 6.

Эта асимметричная фигура дает наибольшее количество новых вариантов:

• Присоединяя квадрат к центральному квадрату длинной части сверху, получаем F-пентамино.
• Присоединяя квадрат к центральному квадрату длинной части снизу, получаем V-пентамино.
• Присоединяя квадрат рядом с "углом" фигуры, получаем W-пентамино.
• Присоединяя квадрат к крайнему квадрату длинной части (дальнему от "ножки"), получаем Y-пентамино.
• Еще один способ добавления приводит к появлению N-пентамино.
• Остальные варианты приводят к уже найденным фигурам: I, P, L, U.

Найдено 5 новых фигур: F, V, W, Y, N. Всего уникальных: 6 + 5 = 11.

Из этой фигуры можно получить последнюю, 12-ю фигуру пентамино:

• Один из способов присоединения квадрата дает Z-пентамино.
• Остальные варианты присоединения дают уже известные нам фигуры: L, P, Y, N, F.

Найдена 1 новая фигура: Z. Всего уникальных: 11 + 1 = 12.

Таким образом, перебрав все возможные способы добавления одного квадрата ко всем фигурам тетрамино, мы получили 12 уникальных фигур пентамино. Их принято обозначать латинскими буквами, форму которых они напоминают: F, I, L, P, N, T, U, V, W, X, Y, Z.

Ответ: Можно составить 12 фигур пентамино.