Номер 586, страница 132 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

586. Прямоугольник $4 \times 9$ разрежьте на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

Для решения этой задачи сначала определим параметры квадрата, который должен получиться в результате.

1. Нахождение стороны квадрата

Площадь исходного прямоугольника равна произведению его сторон:
$S_{прямоугольника} = 4 \times 9 = 36$ (квадратных единиц).
Поскольку из частей прямоугольника складывают квадрат, их общая площадь сохраняется. Таким образом, площадь квадрата также должна быть равна 36.
Площадь квадрата вычисляется по формуле $S_{квадрата} = a^2$, где $a$ – длина его стороны.
Отсюда находим сторону квадрата:
$a^2 = 36$
$a = \sqrt{36} = 6$ (единиц длины).
Следовательно, нам нужно разрезать прямоугольник 4×9 на две части и сложить из них квадрат 6×6.

2. Описание разреза

Чтобы из прямоугольника 4×9 получить квадрат 6×6, необходимо одну сторону уменьшить (с 9 до 6), а другую увеличить (с 4 до 6). Разрез должен быть выполнен таким образом, чтобы обеспечить такую перекомпоновку.
Оптимальным является ступенчатый разрез. Представим прямоугольник на клетчатой бумаге. Разрез нужно произвести по ломаной линии следующим образом:

• Отступить 3 клетки от края по длинной стороне (9) и сделать разрез вглубь на 2 клетки (до середины высоты 4).
• Далее сделать разрез параллельно длинной стороне на 3 клетки.
• Завершить разрез, двигаясь перпендикулярно длинной стороне до самого ее края.

Этот разрез делит прямоугольник на две равные по площади части, как показано на рисунке ниже:

На рисунке первая часть (A) окрашена в зеленый цвет, а вторая (B) — в оранжевый.

3. Сборка квадрата

Теперь необходимо переместить одну из частей, чтобы вместе с другой они образовали квадрат.

• Оставляем часть A на месте.
• Часть B сдвигаем на 3 единицы влево и на 2 единицы вверх.

В результате этого перемещения части идеально стыкуются, образуя квадрат со стороной 6. Нижняя сторона квадрата формируется нижней стороной части A (длина 6). Левая сторона квадрата формируется левой стороной части A (длина 4) и частью правой стороны перемещенной части B (длина 2). Аналогично формируются верхняя и правая стороны.

Таким образом, прямоугольник 4×9 разрезается на две части ступенчатым разрезом, и из этих частей складывается квадрат 6×6.

Ответ:

Прямоугольник 4×9 нужно разрезать ступенчатой линией, как показано на первом рисунке. На длинной стороне, равной 9, отступаем от одного края 3 единицы и делаем разрез вглубь на 2 единицы (до середины высоты). Затем делаем разрез параллельно длинной стороне на 3 единицы. После этого делаем разрез до противоположной длинной стороны. Полученные две части можно сложить в квадрат 6×6, переместив одну из частей относительно другой.