Номер 582, страница 130 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

582. а) Определите периметр шестиугольника (рис. 125).

б) Определите площадь многоугольника (рис. 126).

в) Определите периметр многоугольника, изображённого на рисунке 126, а. Какое условие лишнее?

Рис. 124

4 см

9 см

Рис. 125

а)

2 см

7 см

4 см

9 см

б)

7 см

7 см

6 см

в)

13 см

5 см

17 см

5 см

Рис. 126

а) Определите периметр шестиугольника (рис. 125).

Многоугольник, изображённый на рисунке 125, является шестиугольником, все углы которого прямые. Периметр многоугольника – это сумма длин всех его сторон. Обозначим стороны фигуры. Две стороны нам известны: левая вертикальная сторона равна 4 см, а нижняя горизонтальная сторона равна 9 см. Сумма длин всех вертикальных сторон равна удвоенной высоте фигуры. Сумма длин всех горизонтальных сторон равна удвоенной ширине фигуры. Высота фигуры равна 4 см. Ширина фигуры равна 9 см. Периметр $P$ можно найти по формуле периметра прямоугольника, в который можно вписать данную фигуру: $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ – ширина, $b$ – высота. $P = 2 \cdot (9 \text{ см} + 4 \text{ см}) = 2 \cdot 13 \text{ см} = 26 \text{ см}.$

Ответ: 26 см.

б) Определите площадь многоугольника (рис. 126).

Поскольку на рисунке 126 изображено три многоугольника, найдём площадь каждого из них.

Площадь многоугольника на рис. 126, а:
Эту фигуру можно рассматривать как большой прямоугольник со сторонами 9 см и 7 см, из которого вырезан маленький прямоугольник. Размеры вырезанного прямоугольника: Ширина (глубина выреза) = 2 см. Высота = (общая высота фигуры) - (высота нижней части) = $7 \text{ см} - 4 \text{ см} = 3 \text{ см}.$ Площадь большого прямоугольника: $S_{большого} = 9 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} = 63 \text{ см}^2.$ Площадь вырезанного прямоугольника: $S_{выреза} = 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см}^2.$ Площадь фигуры: $S_a = S_{большого} - S_{выреза} = 63 \text{ см}^2 - 6 \text{ см}^2 = 57 \text{ см}^2.$

Площадь многоугольника на рис. 126, б:
Это равнобедренный треугольник с основанием 6 см и боковыми сторонами по 7 см. Для нахождения площади используем формулу $S = \frac{1}{2}bh$, где $b$ – основание, а $h$ – высота. Проведём высоту к основанию. Она разделит основание на два отрезка по 3 см. Высоту найдём по теореме Пифагора: $h^2 + 3^2 = 7^2$ $h^2 + 9 = 49$ $h^2 = 40$ $h = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \text{ см}.$ Площадь треугольника: $S_б = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 2\sqrt{10} \text{ см} = 6\sqrt{10} \text{ см}^2.$

Площадь многоугольника на рис. 126, в:
Это равнобедренная трапеция. Верхнее основание $b_1 = 17$ см. Нижнее основание $b_2 = 5 \text{ см} + 17 \text{ см} + 5 \text{ см} = 27$ см. Боковая сторона $l = 13$ см. Для нахождения площади нужна высота $h$. Найдём её из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и частью нижнего основания, равной 5 см. По теореме Пифагора: $h^2 + 5^2 = 13^2$ $h^2 + 25 = 169$ $h^2 = 144$ $h = 12 \text{ см}.$ Площадь трапеции: $S_в = \frac{b_1 + b_2}{2}h = \frac{17 \text{ см} + 27 \text{ см}}{2} \cdot 12 \text{ см} = \frac{44}{2} \cdot 12 \text{ см}^2 = 22 \cdot 12 \text{ см}^2 = 264 \text{ см}^2.$

Ответ: площадь фигуры а) – 57 см², площадь фигуры б) – $6\sqrt{10}$ см², площадь фигуры в) – 264 см².

в) Определите периметр многоугольника, изображённого на рисунке 126, а. Какое условие лишнее?

Периметр – это сумма длин всех сторон многоугольника. Найдём длины всех сторон фигуры на рис. 126, а:

• Нижняя сторона: 9 см.
• Правая сторона: 7 см.
• Верхняя сторона: $9 \text{ см} - 2 \text{ см} = 7 \text{ см}.$
• Нижняя часть левой стороны: 4 см.
• Горизонтальная сторона выреза: 2 см.
• Вертикальная сторона выреза: $7 \text{ см} - 4 \text{ см} = 3 \text{ см}.$

Суммируем длины всех сторон, чтобы найти периметр $P$: $P = 9 + 7 + 7 + 4 + 2 + 3 = 32 \text{ см}.$

Также можно заметить, что сумма длин всех горизонтальных отрезков границы равна удвоенной ширине фигуры ($9 + (9-2) + 2 = 18 = 2 \cdot 9$), а сумма длин вертикальных отрезков равна удвоенной высоте ($7 + 4 + (7-4) = 14 = 2 \cdot 7$). Поэтому периметр такой фигуры равен периметру описанного прямоугольника: $P = 2 \cdot (9 \text{ см} + 7 \text{ см}) = 2 \cdot 16 \text{ см} = 32 \text{ см}.$

Для вычисления периметра нам понадобились только общая ширина (9 см) и общая высота (7 см) фигуры. Размеры выреза (глубина 2 см и расположение, определяемое стороной 4 см) не влияют на значение периметра. Таким образом, условия, задающие размеры 2 см и 4 см, являются лишними для нахождения периметра.

Ответ: периметр равен 32 см. Лишними являются условия, задающие размеры выреза: 2 см и 4 см.