Страница 130 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

580. Пчёлы строят свои соты в виде правильных шестиугольников (рис. 124). Постройте на альбомном листе рисунок пчелиных сот.

Рис. 124

Для того чтобы построить рисунок пчелиных сот, состоящий из правильных шестиугольников, можно использовать циркуль и линейку. Весь процесс можно разбить на два последовательных шага: сначала построить один идеальный шестиугольник, а затем, используя его как основу, достроить остальные, создавая узор.

Построение правильного шестиугольника

Ключевое свойство правильного шестиугольника, которое используется при построении, заключается в том, что его сторона равна радиусу окружности, в которую он вписан.

1. На листе бумаги отметьте точку $O$ — это будет центр будущего шестиугольника.
2. Возьмите циркуль и начертите окружность с центром в точке $O$. Радиус окружности, обозначим его $R$, будет равен длине стороны шестиугольника. Выбирайте радиус не слишком маленьким, чтобы было удобно работать.
3. Выберите на окружности любую точку и обозначьте ее $A_1$. Это будет первая вершина.
4. Не меняя установленный на циркуле радиус $R$, поставьте иглу циркуля в точку $A_1$ и сделайте на окружности засечку. Обозначьте эту точку $A_2$.
5. Переместите иглу циркуля в новую точку $A_2$ и снова сделайте засечку на окружности, получив точку $A_3$.
6. Продолжайте повторять это действие, двигаясь по окружности, пока не получите шесть точек: $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$. Если все было сделано точно, то последняя засечка из точки $A_6$ попадет точно в начальную точку $A_1$.
7. С помощью линейки аккуратно соедините все шесть точек отрезками по порядку: $A_1A_2$, $A_2A_3$, $A_3A_4$, $A_4A_5$, $A_5A_6$ и $A_6A_1$.

В результате у вас получится один правильный шестиугольник.

Построение узора пчелиных сот

Пчелиные соты — это плотное соединение шестиугольников, где у каждой ячейки есть общие стороны с соседними. Такой узор называется замощением плоскости.

1. У вас уже есть первый шестиугольник. Чтобы построить соседний с ним, выберите одну из его сторон, например, $A_1A_2$. Эта сторона станет общей для двух шестиугольников.
2. Новый шестиугольник также будет иметь сторону длиной $R$. Его центр, назовем его $O_2$, будет находиться на расстоянии $R$ от вершин $A_1$ и $A_2$. Чтобы найти этот центр, проведите из точек $A_1$ и $A_2$ две дуги радиусом $R$ с внешней стороны от уже нарисованной фигуры. Точка пересечения этих дуг и будет центром $O_2$.
3. Установите иглу циркуля в найденный центр $O_2$ и проведите новую окружность радиусом $R$. Она должна пройти через точки $A_1$ и $A_2$.
4. На этой новой окружности, используя тот же радиус $R$, найдите остальные четыре вершины второго шестиугольника, делая засечки от уже известных точек $A_1$ и $A_2$.
5. Соедините вершины линейкой, чтобы завершить второй шестиугольник.
6. Повторяйте эти действия, пристраивая новые шестиугольники к свободным сторонам уже нарисованных. Так, шаг за шагом, вы создадите целый фрагмент пчелиных сот.

Ответ: В результате выполнения описанных шагов на альбомном листе будет построен геометрически правильный рисунок пчелиных сот, состоящий из соединенных между собой правильных шестиугольников.

581. Из листа фанеры размером $11 \text{ см} \times 15 \text{ см}$ выпилили два квадрата со стороной 5 см и три прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см. Определите площадь оставшейся части.

Чтобы найти площадь оставшейся части листа фанеры, необходимо из начальной площади всего листа вычесть общую площадь всех выпиленных фигур (двух квадратов и трех прямоугольников).

1. Найдем начальную площадь листа фанеры.

Лист фанеры имеет размеры 11 см на 15 см. Его площадь ($S_{фанеры}$) вычисляется как произведение длины на ширину:

$S_{фанеры} = 11 \cdot 15 = 165 \text{ см}^2$

2. Найдем общую площадь выпиленных фигур.

Сначала вычислим площадь двух квадратов. Сторона одного квадрата равна 5 см. Площадь одного квадрата ($S_{кв}$) равна:

$S_{кв} = 5 \cdot 5 = 25 \text{ см}^2$

Поскольку было выпилено два таких квадрата, их общая площадь ($S_{2кв}$) составляет:

$S_{2кв} = 2 \cdot 25 = 50 \text{ см}^2$

Теперь вычислим площадь трех прямоугольников. Стороны одного прямоугольника равны 4 см и 7 см. Его площадь ($S_{пр}$) равна:

$S_{пр} = 4 \cdot 7 = 28 \text{ см}^2$

Так как было выпилено три таких прямоугольника, их общая площадь ($S_{3пр}$) составляет:

$S_{3пр} = 3 \cdot 28 = 84 \text{ см}^2$

Общая площадь всех выпиленных фигур ($S_{выпилили}$) — это сумма площадей двух квадратов и трех прямоугольников:

$S_{выпилили} = S_{2кв} + S_{3пр} = 50 + 84 = 134 \text{ см}^2$

3. Найдем площадь оставшейся части.

Вычтем из начальной площади листа фанеры общую площадь выпиленных фигур:

$S_{остатка} = S_{фанеры} - S_{выпилили} = 165 - 134 = 31 \text{ см}^2$

Ответ: $31 \text{ см}^2$.

582. а) Определите периметр шестиугольника (рис. 125).

б) Определите площадь многоугольника (рис. 126).

в) Определите периметр многоугольника, изображённого на рисунке 126, а. Какое условие лишнее?

Рис. 124

4 см

9 см

Рис. 125

а)

2 см

7 см

4 см

9 см

б)

7 см

7 см

6 см

в)

13 см

5 см

17 см

5 см

Рис. 126

а) Определите периметр шестиугольника (рис. 125).

Многоугольник, изображённый на рисунке 125, является шестиугольником, все углы которого прямые. Периметр многоугольника – это сумма длин всех его сторон. Обозначим стороны фигуры. Две стороны нам известны: левая вертикальная сторона равна 4 см, а нижняя горизонтальная сторона равна 9 см. Сумма длин всех вертикальных сторон равна удвоенной высоте фигуры. Сумма длин всех горизонтальных сторон равна удвоенной ширине фигуры. Высота фигуры равна 4 см. Ширина фигуры равна 9 см. Периметр $P$ можно найти по формуле периметра прямоугольника, в который можно вписать данную фигуру: $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ – ширина, $b$ – высота. $P = 2 \cdot (9 \text{ см} + 4 \text{ см}) = 2 \cdot 13 \text{ см} = 26 \text{ см}.$

Ответ: 26 см.

б) Определите площадь многоугольника (рис. 126).

Поскольку на рисунке 126 изображено три многоугольника, найдём площадь каждого из них.

Площадь многоугольника на рис. 126, а:
Эту фигуру можно рассматривать как большой прямоугольник со сторонами 9 см и 7 см, из которого вырезан маленький прямоугольник. Размеры вырезанного прямоугольника: Ширина (глубина выреза) = 2 см. Высота = (общая высота фигуры) - (высота нижней части) = $7 \text{ см} - 4 \text{ см} = 3 \text{ см}.$ Площадь большого прямоугольника: $S_{большого} = 9 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} = 63 \text{ см}^2.$ Площадь вырезанного прямоугольника: $S_{выреза} = 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см}^2.$ Площадь фигуры: $S_a = S_{большого} - S_{выреза} = 63 \text{ см}^2 - 6 \text{ см}^2 = 57 \text{ см}^2.$

Площадь многоугольника на рис. 126, б:
Это равнобедренный треугольник с основанием 6 см и боковыми сторонами по 7 см. Для нахождения площади используем формулу $S = \frac{1}{2}bh$, где $b$ – основание, а $h$ – высота. Проведём высоту к основанию. Она разделит основание на два отрезка по 3 см. Высоту найдём по теореме Пифагора: $h^2 + 3^2 = 7^2$ $h^2 + 9 = 49$ $h^2 = 40$ $h = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \text{ см}.$ Площадь треугольника: $S_б = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 2\sqrt{10} \text{ см} = 6\sqrt{10} \text{ см}^2.$

Площадь многоугольника на рис. 126, в:
Это равнобедренная трапеция. Верхнее основание $b_1 = 17$ см. Нижнее основание $b_2 = 5 \text{ см} + 17 \text{ см} + 5 \text{ см} = 27$ см. Боковая сторона $l = 13$ см. Для нахождения площади нужна высота $h$. Найдём её из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и частью нижнего основания, равной 5 см. По теореме Пифагора: $h^2 + 5^2 = 13^2$ $h^2 + 25 = 169$ $h^2 = 144$ $h = 12 \text{ см}.$ Площадь трапеции: $S_в = \frac{b_1 + b_2}{2}h = \frac{17 \text{ см} + 27 \text{ см}}{2} \cdot 12 \text{ см} = \frac{44}{2} \cdot 12 \text{ см}^2 = 22 \cdot 12 \text{ см}^2 = 264 \text{ см}^2.$

Ответ: площадь фигуры а) – 57 см², площадь фигуры б) – $6\sqrt{10}$ см², площадь фигуры в) – 264 см².

в) Определите периметр многоугольника, изображённого на рисунке 126, а. Какое условие лишнее?

Периметр – это сумма длин всех сторон многоугольника. Найдём длины всех сторон фигуры на рис. 126, а:

• Нижняя сторона: 9 см.
• Правая сторона: 7 см.
• Верхняя сторона: $9 \text{ см} - 2 \text{ см} = 7 \text{ см}.$
• Нижняя часть левой стороны: 4 см.
• Горизонтальная сторона выреза: 2 см.
• Вертикальная сторона выреза: $7 \text{ см} - 4 \text{ см} = 3 \text{ см}.$

Суммируем длины всех сторон, чтобы найти периметр $P$: $P = 9 + 7 + 7 + 4 + 2 + 3 = 32 \text{ см}.$

Также можно заметить, что сумма длин всех горизонтальных отрезков границы равна удвоенной ширине фигуры ($9 + (9-2) + 2 = 18 = 2 \cdot 9$), а сумма длин вертикальных отрезков равна удвоенной высоте ($7 + 4 + (7-4) = 14 = 2 \cdot 7$). Поэтому периметр такой фигуры равен периметру описанного прямоугольника: $P = 2 \cdot (9 \text{ см} + 7 \text{ см}) = 2 \cdot 16 \text{ см} = 32 \text{ см}.$

Для вычисления периметра нам понадобились только общая ширина (9 см) и общая высота (7 см) фигуры. Размеры выреза (глубина 2 см и расположение, определяемое стороной 4 см) не влияют на значение периметра. Таким образом, условия, задающие размеры 2 см и 4 см, являются лишними для нахождения периметра.

Ответ: периметр равен 32 см. Лишними являются условия, задающие размеры выреза: 2 см и 4 см.